.
Μια ακεραία περιοχή R καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο.
Παραδείγματα
Γνωρίζουμε ότι αν R σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το R=<1> και το μηδενικό ιδεώδες \( \{0_R\}=<0_R> \) και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Ο\( \mathbb{Z}[x] \) είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες <2,x> υπάρχει \( h(x) \in \mathbb{Z}[x] \) τέτοιο ώστε <2,x>=<h(x)> προκύπτει ότι \(h(x)=\pm 1 ήh(x)=\pm x \). Στην πρώτη περίπτωση έχουμε \( \pm 1=2k(x)+x \), άτοπο, ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι \( 2 \in <2,x>=<h(x)>=<x> \)και άρα 2=x k(x) ,άτοπο.
Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος \( \{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,a\equiv b \pmod{2} \} \).
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
