Στη Στερεομετρία, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο, που ανήκει στα καταλανικά στερεά, τα οποία είναι δυϊκά των αρχιμήδειων στερεών. Συγκεκριμένα, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο είναι το δυϊκό του πεπλατυσμένου κύβου. Διαθέτει 24 έδρες σχήματος μη κανονικού πενταγώνου (εξού και το όνομα του στερεού).
| Πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο | |
 (κινούμενο μοντέλο) |
|
| Τύπος | Καταλανικό στερεό |
| Έδρες | 24 μη κανονικά πεντάγωνα |
| Ακμές | 60 |
| Κορυφές | 38 |
| Ομάδα συμμετρίας | οκταεδρική (O) |
| Δυϊκό |  Πεπλατυσμένος κύβος |
| Ανάπτυγμα |  |
Γεωμετρικά χαρακτηριστικά
Η κάθε έδρα του πολυέδρου είναι ένα μη κανονικό πεντάγωνο το οποίο διαθέτει δύο ειδών πλευρές, τρεις μικρές (που είναι γειτονικές μεταξύ τους) και δύο μεγάλες. Αυτό σημαίνει ότι οι ακμές του στερεού είναι δύο ειδών.
Οι μετρικές ιδιότητες του πενταγωνικού εικοσιτετράεδρου είναι στενά συνδεδεμένες με τη σταθερά tribonacci:
\( {\displaystyle t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1,8393} \)
Έτσι, αν λάβουμε το μήκος της ακμής του δυϊκού πεπλατυσμένου κύβου ίσο με τη μονάδα, τότε τα μήκη των ακμών του πενταγωνικού εικοσιτετράεδρου είναι:
\( {\displaystyle s_{1}={\frac {1}{\sqrt {t+1}}}\approx 0,5935} \)
\( {\displaystyle s_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {t+1}}\approx 0,8425} \)
Ο λόγος της μεγάλης προς τη μικρή ακμή είναι:
\( {\displaystyle {\frac {s_{2}}{s_{1}}}={\frac {t+1}{2}}\approx 1,4196} \)
Τώρα, αν θεωρήσουμε το μήκος της μικρής ακμής (s1) του στερεού ίσο με τη μονάδα, τότε ισχύουν τα εξής:
| Συνολική επιφάνεια | \({\displaystyle S=3(t+1){\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}\approx 54,7965} \) |
| Όγκος | \({\displaystyle V={\frac {t(3t+1)}{(t-1){\sqrt {2-t}}}}\approx 35,6302} \) |
Το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο είναι χειρικό, δηλαδή εμφανίζεται σε δύο αντικατοπτρικές μορφές, τα εναντιόμορφα (δεξιόστροφο και αριστερόστροφο).
Πηγές
(Αγγλικά) Weisstein, Eric W., Pentagonal Icositetrahedron στο MathWorld
(Αγγλικά) pentagonal icositetrahedron στο Wolfram Alpha
γεωμετρικά στερεά
τυπικά γεωμετρικά στερεά
κύβος παραλληλεπίπεδο πυραμίδα (κυκλικός) κύλινδρος κώνος σφαίρα
Πλατωνικά στερεά
τετράεδρο κύβος οκτάεδρο δωδεκάεδρο εικοσάεδρο
στερεά του Αρχιμήδη
κόλουρο τετράεδρο κυβοκτάεδρο κόλουρος κύβος κόλουρο οκτάεδρο ρομβοκυβοκτάεδρο κόλουρο κυβοκτάεδρο πεπλατυσμένος κύβος εικοσιδωδεκάεδρο κόλουρο δωδεκάεδρο κόλουρο εικοσάεδρο ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο
Καταλανικά στερεά
τριάκις τετράεδρο ρομβικό δωδεκάεδρο τριάκις οκτάεδρο τετράκις εξάεδρο δελτοειδές εικοσιτετράεδρο δισδυάκις δωδεκάεδρο πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο ρομβικό τριακοντάεδρο τριάκις εικοσάεδρο πεντάκις δωδεκάεδρο δελτοειδές εξηκοντάεδρο δισδυάκις τριακοντάεδρο πενταγωνικό εξηκοντάεδρο
άλλα στερεά
πρίσμα κύλινδρος ελλειψοειδή ωοειδές δίσκος τόρος σχήμα εκ περιστροφής αντιπρίσμα
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
