.

Στη γεωμετρία το οκτάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις οκτώ και γωνία) είναι ένα πολύγωνο σχήμα με οκτώ πλευρές και οκτώ κορυφές. Σε ένα κανονικό οκτάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, οι γωνίες είναι ίσες με 3π/4 ακτίνια ή 135 μοίρες (°) η καθεμιά, ενώ οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε οκταγώνου έχουν άθροισμα 6π ακτίνια ή 1080 μοίρες. Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι {8}.

Κανονικό οκτάγωνο

Το κανονικό οκτάγωνο έχει οκτώ γραμμές ανακλαστικής συμμετρίας και έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως. Το εμβαδό (Ε) ενός κανονικού οκταγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

\( E = 2 \cot \frac{\pi}{8} a^2 = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4,828427125 a^2. \)

Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε το εμβαδό του οκταγώνου είναι

\( E = 4 \sin \frac{\pi}{4} R^2 = 2\sqrt{2}R^2 \simeq 2,828427 R^2 \)

ενώ αν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, τότε το εμβαδό εκφράζεται ως

\( E = 8 \tan \frac{\pi}{8} r^2 = 8(\sqrt{2}-1)r^2 \simeq 3,3137085 r^2. \)

Ας σημειωθεί ότι οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,828... και 3,31...) «περικλείουν» την τιμή του π, που είναι το εμβαδό του μοναδιαίου κύκλου.

Το εμβαδό του κανονικού οκταγώνου ισούται επίσης με:

\( \,\!E=S^2-a^2 \)

όπου S είναι το μήκος της δεύτερης μικρότερης διαγωνίου του και α το μήκος μιας πλευράς του. Η σχέση αυτή αποδείχνεται εύκολα αν σχεδιάσουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο (οι 4 από τις 8 πλευρές του οκταγώνου αγγίζουν τις 4 πλευρές του τετραγώνου), πάρουμε τα γωνιακά τρίγωνα και (είναι ορθογώνια τρίγωνα με μικρές γωνίες 45°) και τα τοποθετήσουμε με τις ορθές γωνίες τους στραμμένες προς τα μέσα, σχηματίζοντας έτσι ένα τετράγωνο. Οι πλευρές αυτού του τετραγώνου είναι ίσες με αυτές του οκταγώνου.

Τα α και S συνδέονται με τη σχέση:

\( S=\frac{a}{\sqrt{2}}+a+\frac{a}{\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2})a \)
\( S \approx 2,414a \)

Μία άλλη απλή σχέση για το εμβαδό είναι

\( \ E=2ad \)

όπου d είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων πλευρών του κανονικού οκταγώνου.
Κατασκευή

Το κανονικό οκτάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Ορθογώνιες συντεταγμένες

Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι:

(±1, ±(1+√2))
(±(1+√2), ±1).

Παράγωγα σχήματα

`Ενα Αστεροειδές πολύγωνο, γνωστό ως οκτάγραμμα, με σύμβολο Schläfli {8/3}, εμπεριέχεται σε ένα κανονικό οκτάγωνο.
Το σχήμα που σχηματίζουν οι κορυφές του ομοιόμορφου πολυέδρου που ονομάζεται μέγα διρομβοεικοσιδωδεκάεδρο εμπεριέχεται σε ένα μη κανονικό οκτάπλευρο αστεροειδές πολύγωνο του οποίου 4 πλευρές περνούν από το κέντρο του.
Το οκταγωνικό πρίσμα περιλαμβάνει δύο οκτάγωνα.
Η κολωβή τετραγωνική επικάλυψη διαθέτει 2 οκτάγωνα γύρω από κάθε κορυφή
Το κόλουρο κυβοκτάεδρο περιλαμβάνει 6 οκτάγωνα.
Το οκταγωνικό αντιπρίσμα περιλαμβάνει δύο οκτάγωνα.

Πολύγωνα Petrie

Το κανονικό οκτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω 12 ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε επίπεδα Coxeter A₇, B₄ και D₅:

A₇	7-simplex	ανορθωμένο 7-simplex	διανορθωμένο 7-simplex	τριανορθωμένο 7-simplex
B₄	16-cell	ανορθωμένο 16-cell	ανορθωμένο tesseract	Tesseract
D₅	5-orthoplex	ανορθωμένο 5-orthoplex	ανορθωμένο demipenteract	Demipenteract

Δείτε επίσης

Οκτάγραμμα
Οκταγωνικός αριθμός
Οκταγωνικό σπίτι
Το Oktogon, μία μεγάλη διασταύρωση στη Βουδαπέστη
Bumper pool
Το Ρουμπ ελ Χιζμπ (γνωστό και ως «Αστέρι του Αλ Κουντς» ή Octa Star)
Στρογγυλευμένο οκτάγωνο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Οκταγωνικός υπολογιστής
Ορισμός και ιδιότητες του οκταγώνου Με διαδραστικά animation
Weisstein, Eric W., "Octagon" από το MathWorld.

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Octagon της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License

Οκτάγωνο

.