Λογισμός των μεταβολών

.

Ο λογισμός των μεταβολών είναι κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με τη μεγιστοποίηση ή την ελαχιστοποίηση συναρτησοειδών, οι οποίες είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο συναρτήσεων στους πραγματικούς αριθμούς. Τα συναρτησοειδή συχνά εκφράζονται ως ορισμένα ολοκληρώματα συναρτήσεων και παραγώγων αυτών. Στο λογισμό των μεταβολών το ενδιαφέρον μας στρέφεται γύρω από τις ακρότατες συναρτήσεις, που είναι εκείνες για τις οποίες το συναρτησοειδές λαμβάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, ή γύρω από τις στάσιμες συναρτήσεις, για τις οποίες η τιμή του συναρτησοειδούς παραμένει αμετάβλητη.

Εισαγωγικά

Ένα απλό παράδειγμα ενός τέτοιου προβλήματος είναι η εύρεση της καμπύλης βραχύτερου μήκους που συνδέει δυο σημεία. Απουσία περιορισμών, η λύση είναι προφανώς το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία. Ωστόσο, αν η καμπύλη πρέπει να κείται σε δεδομένη επιφάνεια στο χώρο, τότε η λύση είναι λιγότερο προφανής και πιθανώς να υπάρχουν πολλές λύσεις. Τέτοιες λύσεις είναι γνωστές ως γεωδαισιακές. Ένα σχετικό πρόβλημα ανακύπτει από την αρχή του Fermat: το φως ακολουθεί τη διαδρομή του ελάχιστου οπτικού μήκους που συνδέει δυο σημεία, όπου το οπτικό μήκος εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες του μέσου. Μία αντίστοιχη έννοια στη μηχανική είναι η αρχή της ελαχίστης δράσης.

Πολλά σημαντικά προβλήματα περιέχουν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Οι λύσεις των προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Laplace ικανοποιούν την αρχή του Dirichlet. Το πρόβλημα του Plateau απαιτεί την εύρεση επιφάνειας ελαχίστου εμβαδού με δεδομένο σύνορο στο χώρο· συνήθως η λύση (ή μία από τις λύσεις) μπορεί να βρεθεί εμπειρικά με την εμβάπτιση ειδικά κατασκευασμένου πλαισίου σε σαπουνάδα. Πειραματικές προσεγγίσεις όπως η προηγούμενη είναι σχετικά εύκολες, ωστόσο η μαθηματική τους ερμηνεία είναι πολύ δυσκολότερη: μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μια επιφάνειες ελαχιστοποίησης, και μάλιστα με μη-τετριμμένη τοπολογία.

Ιστορία

Ο λογισμός των μεταβολών μπορεί να θεωρηθεί ότι ξεκινά με το πρόβλημα της βραχύχρονης καμπύλης που έθεσε ο Γιόχαν Μπερνούλι (1696).[1] Το πρόβλημα αμέσως τράβηξε το ενδιαφέρον του Γιακόμπ Μπερνούλι και του Μαρκισίου de l'Hôpital, όμως η πρώτη σοβαρή μελέτη έγινε από το Λέοναρντ Όιλερ. Η συνεισφορά του άρχισε το 1733, και το έργο του «Elementa Calculi Variationum» έδωσε το όνομα του νεοσύστατου κλάδου.Σε μεγάλο βαθμό συνέβαλε και ο Λαγκράνζ, ενώ ο Λεζάντρ (1786) δημιούργησε μια,όχι εντελώς ικανοποιητική, μέθοδο για τη διάκριση μεγίστων - ελαχίστων. Μάλιστα, το συγκεκριμένο ζήτημα απασχόλησε από νωρίς και τους Ισαάκ Νεύτωνα και Γκότφριντ Λάιμπνιτς.[2] Σε αυτή τη διάκριση συνέβαλαν επίσης και οι Βιτσέντζο Μπρουνάτσι (1810), Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1829), Σιμεών Πουασόν (1831), Μιχαήλ Οστρογκράντσκι (1834) και Κάρλ Γιακόμπι (1837). Μια σημαντική δουλεία ήταν και αυτή του Sarrus (1842), την οποία βελτίωσε και συνόψισε ο Cauchy (1844). Άλλες πολύτιμες διατριβές αλλά και απομνημονεύματα έχουν γραφτεί απο τους Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) και Carll (1885), αλλά ίσως η πιο καθοριστική συμβολή του αιώνα είναι αυτή του Karl Weierstraß: οι περίφημες διαλέξεις του άφησαν εποχή, και μπορεί να θεωρηθεί πως ήταν ο πρώτος που μας παρείχε μία πραγματικά αυστηρή θεωρητική θεμελίωση. Το 20ό και το 23ο πρόβλημα του Χίλμπερτ (1900) ενθάρρυναν την περεταίρω ανάπτυξη του κλάδου.[2] Στον 20ο αιώνα πλέον, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, η Έμμυ Ναίτερ, ο Λεωνίδα Τονέλι, ο Ανρί Λεμπέγκ και ο Ζακ Ανταμάρ μεταξύ άλλων είχαν σημαντική συνεισφορά.[2] Ακόμη, ο Μάρστον Μορς εφάρμοσε το λογισμό των μεταβολών σε αυτό που τώρα ονομάζεται θεωρία του Morse,[3] ενώ οι Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar και F. H. Clarke ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία για το λογισμό των μεταβολών στη θεωρία βέλτιστου ελέγχου.[3] Ο δυναμικός προγραμματισμός του Μπέλμαν είναι μια εναλλακτική θεωρία για το λογισμό των μεταβολών.[4][5][6]

Ακρότατα

Ο λογισμός των μεταβολών ασχολείται με μέγιστα ή ελάχιστα συναρτησοειδών, τα οποία συλλογικά ονομάζονται ακρότατα. Ένα συναρτησοειδές εξαρτάται από μια συνάρτηση, όπως, κατ' αναλογία, μια συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται από μία αριθμητική μεταβλητή, γι' αυτό και ένα συναρτησοειδές έχει περιγραφτεί ως συνάρτηση μίας συνάρτησης. Τα συναρτησοειδή έχουν ακρότατα ως προς τα στοιχεία y δεδομένου χώρου συναρτήσεων με συγκεκριμένο πεδίο ορισμού. Ένα συναρτησοειδές J [ y ] έχει ακρότατο στη συνάρτηση f αν η ΔJ = J [ y ] - J [ f] έχει το ίδιο πρόσημο για κάθε y που ανήκει σε μία αυθαίρετα μικρή περιοχή της f .[Σημείωση 1] Η συνάρτηση f ονομάζεται ακρότατη συνάρτηση. Το ακρότατο J [ f ] ονομάζεται μέγιστο αν ΔJ ≤ 0 σε μία οσοδήποτε μικρή περιοχή της f , και ελάχιστο αν ΔJ ≥ 0 αντίστοιχα. Σε ένα χώρο συνεχών συναρτήσεων, τα ακρότατα των αντίστοιχων συναρτησοειδών λέγονται ασθενή ακρότατα ή ισχυρά ακρότατα, ανάλογα με το αν οι πρώτοι παράγωγοι των συνεχών συναρτήσεων είναι αντίστοιχα κατ' ανάγκην όλες συνεχείς ή όχι.[8]

Τόσο τα ισχυρά όσο και τα ασθενή ακρότατα ενός συναρτησοειδούς αναφέρονται σε ένα διάστημα συνεχών συναρτήσεων, όμως το ασθενές ακρότατο έχει την πρόσθετη προϋπόθεση οι πρώτοι παραγώγοι των συναρτήσεων στο διάστημα να είναι συνεχείς. Έτσι, ένα ισχυρό ακρότατο είναι ταυτόχρονα και ασθενές, αλλά το αντίστοφο δεν ισχύει. Η εύρεση των ισχυρών ακρότατων είναι πιο δύσκολη σε σχέση με την εύρεση ασθενών.[9] Ένα παράδειγμα που αποτελεί αναγκαία συνθήκη και χρησιμοποιείται για την εύρεση ασθενών ακρότατων είναι η εξίσωση Euler-Lagrange.[10] [Σημείωση 2]

Εξίσωση Euler-Lagrange

Κύριο λήμμα: Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ

Η εύρεση των ακρότατων των συναρτησοειδών είναι παρόμοια με την εύρεση των μέγιστων και ελάχιστων μιας συναρτήσης. Για να ορίσουμε τα μέγιστα και τα ελάχιστα μίας συνάρτησης χρειάζεται να βρούμε τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγό της. Ανάλογα, το ακρότατο του συναρτησοειδούς μπορεί να βρεθεί με την κατασκευή μίας συνάρτησης όπου η συναρτησιακή παράγωγος είναι ίση με 0. Αυτό μας οδηγεί στην επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης Euler-Lagrange.[Σημείωση 3]

Ας θεωρήσουμε το συναρτησοειδές

\( J[y] = \int_{x_1}^{x_2} L[x,y(x),y'(x)]\, dx \, ,

όπου

x1, x2 είναι σταθερές,
y (x) είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη,
y ′(x) = dy / dx ,
L[x, y (x), y ′(x)] είναι δύο φορές συνεχώς (ολικά) παραγωγίσημη ως προς τα x, y, y ′ .
Αν το συναρτησοειδές J[y ] επιτυγχάνει ένα τοπικό μέγιστο στην f , και η η(x) είναι μία αυθαίρετη συνάρτηση η οποία έχει τουλάχιστον μία παράγωγο και μηδενίζεται στα όρια ολοκλήρωσης x1 και x2 , τότε για κάθε αριθμό ε κοντά στο 0,
\( J[f] \le J[f + \varepsilon \eta] \, .
Ο όρος εη ονομάζεται μεταβολή της συνάρτησης f και συμβολίζεται με δf .[11]

Αντικαθιστώντας όπου y το f + εη στο συναρτησοειδές J[ y ] , το αποτέλεσμα είναι μια συνάρτηση του ε,

\( \Phi(\varepsilon) = J[f+\varepsilon\eta] \, . \)

Δεδομένου ότι το συναρτησοειδές J[ y ] παίρνει ελάχιστο για y = f , η συνάρτηση Φ(ε) έχει ελάχιστο στο ε = 0 και έτσι [Σημείωση 4]

\( \Phi'(0) \equiv \left.\frac{d\Phi}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx = 0 \, . \)

Λαμβάνοντας την ολική παράγωγο της L[x, y, y ′] , όπου οι y = f + ε η και y ′ = f ′ + ε η′ είναι συναρτήσεις των ε αλλά το x δεν είναι,

\( \frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial y'}\frac{dy'}{d\varepsilon} \)

και δεδομένου ότι dy /dε = η και dy ′/dε = η' ,

\( \frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta' . \)
Επομένως, χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες,

\( \begin{align} \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta + \frac{\partial L}{\partial f'} \eta'\right)\, dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta - \eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right)\, dx + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} \eta \right|_{x_1}^{x_2}\\ \end{align} \)

όπου L[x, y, y ′] → L[x, f, f ′] όταν ε = 0. Ο τελευταίος όρος χάνεται η = 0 στα x1 και x2 εξ ορισμού. Επίσης, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως το αριστερό μέρος της εξίσωσης είναι μηδενικό, έτσι παίρνουμε

\( \int_{x_1}^{x_2} \eta \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \, dx = 0 \, . \)

Σύμφωνα με το θεμελειώδες λήμμα του λογισμού των μεταβολών, ο όρος στην παρένθεση είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή

\( \frac{\part L}{\part f} -\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'}=0 \)

το οποίο λέγεται εξίσωση Euler–Lagrange. Το αριστερό μέλος της εξίσωσης ονομάζεται συναρτησιακή παράγωγος της J[f] και συμβολίζεται με δJ/δf(x) .

Σε γενικές γραμμές αυτό δίνει μία δεύτερης τάξης συνήθη διαφορική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί για να πάρουμε την ακρότατη συνάρτηση f(x). Η εξίσωση των Euler–Lagrange είναι αναγκαία, αλλά όχι ικανή συνθήκη για να είναι το J[f] ακρότατο. Μία ικανή συνθήκη για το ελάχιστο δίνεται στην ενότητα Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο.
Παράδειγμα

Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω, ας θεωρήσουμε το πρόβλημα της εύρεσης της ακρότατης συνάρτησης y = f (x) , η οποία είναι η βραχύτερη καμπύλη που συνδέει δυο σημεία (x1, y1) και (x2, y2) . Το μήκος τόξου της καμπύλης δίνεται από τον τύπο

\( A[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ y'(x) ]^2} \, dx \, , \)

με

\( y\,'(x) = \frac{dy}{dx} \, , \ \ y_1=f(x_1) \, , \ \ y_2=f(x_2) \, . \)

Η εξίσωση των Euler–Lagrange θα χρησιμοποιηθεί τώρα για την εύρεση της ακρότατης συνάρτησης f (x) η οποία ελαχιστοποιεί την συναρτησοειδή A[y ] .

\( \frac{\part L}{\part f} -\frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'}=0 \)

με

\( L = \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, . \)

Εφόσον η f δεν εμφανίζεται αυτή καθ' αυτή στην L , ο πρώτος όρος της εξίσωσης Euler–Lagrange μηδενίζεται για όλα τα f (x) και τότε έχουμε

\( \frac{d}{dx} \frac{\part L}{\part f'} = 0 \, . \)

Αντικαθιστώντας το L και παίρνοντας τη μερική παράγωγο έχουμε,

\( \frac{d}{dx} \ \frac{ f'(x) } {\sqrt{1 + [ f'(x) ]^2}} \ = 0 \, \) .

Παίρνωντας τωρα την παράγωγο d/dx, μετά από απλοποιήσεις καταλήγουμε στην

\( \frac{d^2 f}{dx^2}\ \cdot\ \frac{1}{\left[\sqrt{1+[f'(x)]^2}\ \right]^3} = 0 \, , \)

αλλά αφού το 1+[f ′(x)]2 είναι μη-μηδενικό,

\( \frac{d^2 f}{dx^2} = 0 \, , \)

απ' όπου συνάγουμε ότι η βραχύτερη καμπύλη που συνδέει δύο σημεία (x1, y1) και (x2, y2) είναι η

\( f(x) = m x + b, \qquad \mu \varepsilon \ \ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad \kappa \alpha \iota \quad b = \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1} , \)

και έχουμε τότε βρει την ακρότατη συνάρτηση f(x) που ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές A[y] έτσι ώστε A[f] να είναι ελάχιστο. Να σημειώσουμε εδώ ότι η y = f(x) είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, με άλλα λόγια, η βραχύτερη απόσταση μεταξύ δυο σημείων είναι μία ευθεία.[Σημείωση 5]

Ταυτότητα Beltrami

Σε προβλήματα φυσικής αποδεικνύεται συχνά ότι ∂L / ∂x = 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση Euler-Lagrange μπορεί να απλοποιηθεί στην ταυτότητα Μπελτράμι:[12]

\( L-f'\frac{\part L}{\part f'}=C \, , \)

όπου C είναι μια σταθερά. Στο αριστερό μέρος της παραπάνω εξίσωσης φαίνεται ο μετασχηματισμός Legendre της L ως προς την f ′ .

Θεώρημα του Du Bois-Reymond

Mέχρι στιγμής έχει υποτεθεί ότι τα ακρότατα μιας συνάρτησης διαθέτουν δύο συνεχείς παραγώγους, αν και η ύπαρξη του ολοκληρώματος A απαιτεί μόνο την πρώτη παράγωγο από τις δοκιμαστικές συναρτήσεις. Η συνθήκη του μηδενισμού της πρώτης μεταβολής στις ακρότατες συναρτήσεις μπορεί να θεωρηθεί ως μία αδύναμη μορφή της εξίσωσης Euler-Lagrange. Το θεώρημα του Du Bois-Reymond αποφαίνεται ότι αυτή η αδύναμη μορφή συνεπάγεται την ισχυρή. Αν η L έχει συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ως προς όλες τις μεταβλητές της και αν ισχύει ότι

\( \frac{\part^2 L}{(\part f')^2} \ne 0, \)

τότε η f_0 έχει δύο συνεχείς παραγώγους και ικανοποιεί την εξίσωση Euler-Lagrange.

Φαινόμενο Lavrentiev

O πρώτος που έδωσε καλές συνθήκες για να έχουν οι εξισώσεις Euler-Lagrange στάσιμη λύση ήταν ο Χίλμπερτ. Μέσα σε μια κυρτή επιφάνεια και μία θετική τρεις φορές παραγωγίσιμη Λαγκραζιανή οι λύσεις αποτελούνται απο ένα αριθμήσιμο συνόλο από τομές που είτε εντοπίζονται κατά μήκος του συνόρου, είτε ικανοποιούν τις εξισώσεις Euler-Lagrange στο εσωτερικό.

Ωστόσο Lavrentiev το 1926 έδειξε ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει βέλτιστη λύση αλλά μια από αυτές μπορεί να προσεγγιστεί με αυθαίρετη ακρίβεια αυξάνοντας τον αριθμό των τομών. Για παράδειγμα η ακόλουθη:

\( L(t,x,x') = (x^3-t)^2 x'^6,\, \)
\( x(0)=0,\, x(1)=1.\, \)

Εδώ μία καμπύλη σε σχήμα «ζικ-ζακ» δίνει καλύτερη λύση από οποιαδήποτε ομαλή καμπύλη και η αύξηση του αριθμού των τομών βελτιώνει την λύση.
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Προβλήματα μεταβολών με πολλαπλά ολοκληρώματα προκύπτουν σε πλήθος εφαρμογών. Για παράδειγμα, αν η \( {\textstyle \varphi (x,y)} \) δίνει τη μετατόπιση μεμβράνης επί πεδίου ορισμού \) {\textstyle D} \) στο επίπεδο x,y, τότε η δυναμική του ενέργεια είναι ανάλογη του εμβαδού της:

\( U[\varphi] = \iint_D \sqrt{1 +\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi} dx\,dy.\, \)

Το πρόβλημα του Plateau αφορά την εύρεση συνάρτησης που ελαχιστοποιεί το εμβαδό επιφάνειας με δεδομένο σύνορο του συνόλου \( {\textstyle D ^{.}} οι λύσεις ονομάζονται ελάχιστες επιφάνειες. Η εξίσωση Euler-Lagrange εδώ είναι μη-γραμμική:

\( \varphi_{xx}(1 + \varphi_y^2) + \varphi_{yy}(1 + \varphi_x^2) - 2\varphi_x \varphi_y \varphi_{xy} = 0.\, \)

Δείτε Courant (1950) για περισσότερες λεπτομέρειες.
Η αρχή του Dirichlet

Συνήθως φτάνει να θεωρήσουμε μικρές μετατοπίσεις της μεμβράνης, της οποίας η ενεργειακή διαφορά από την αρχική της θέση δίνεται προσεγγιστικά από τον τύπο

\( V[\varphi] = \frac{1}{2}\iint_D \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \, dx\, dy.\, \)

Ζητείται η ελαχιστοποίηση του συναρτησοειδούς \( {\textstyle V} με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων \({\textstyle \varphi : D \rightarrow \mathbb{R}} \) (όπου τ \( ο {\textstyle D} \) έχει δεδομένο σύνορο). Αν \( {\textstyle u} \) είναι μία συνάρτηση ελαχιστοποίησης και {\textstyle v} είναι μία αυθαίρετη ομαλή συνάρτηση που μηδενίζεται στο σύνορο του \({\textstyle D,} τ \) ότε η πρώτη μεταβολή της \( V[u + \varepsilon v] \) πρέπει να μηδενίζεται:

\( \frac{d}{d\varepsilon} V[u + \varepsilon v]|_{\varepsilon=0} = \iint_D \nabla u \cdot \nabla v \, dx\,dy = 0.\, \)

Δεδομένου ότι η \( {\textstyle u} \) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της απόκλισης απ' όπου παίρνουμε την

\( \iint_D \nabla \cdot (v \nabla u) \,dx\,dy = \ \) iint_D \nabla u \cdot \nabla v + v \nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy = \iint_C v \frac{\part u}{\part n} ds, \,

όπου \( {\textstyle C} \) είναι το σύνορο του \( {\textstyle D,} {\textstyle s} \) είναι το μήκος του συνόρου και \( \part u / \part n \) είναι η κανονική παράγωγος του \( {\textstyle u} \) στο \( {\textstyle C.} \) Καθώς το \({\textstyle v} \) μηδενίζεται στο σύνορο, όπως και η πρώτη μεταβολή, καταλήγουμε στη σχέση

\( \iint_D v\nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy =0 \, \)

για κάθε τέτοια ομαλή συνάρτηση \( {\textstyle v.} \) Η απόδειξη για την περίπτωση των μονοδιάστατων ολοκληρωμάτων μπορεί να αναχθεί στην παρούσα έτσι ώστε να μας δίνει

\( \nabla \cdot \nabla u= 0 \, \)

στο \({\textstyle D.} \)

Η δυσκολία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης \( {\textstyle u} \) πρέπει να έχει δύο παραγώγους. Ο Riemann υποστήριξε ότι η ύπαρξη ομαλής συνάρτησης ελαχιστοποίησης αναμένεται βάσει του αντίστοιχου φυσικού προβλήματος: οι μεμβράνες πράγματι παίρνουν θέσεις που ελαχιστοποιούν τη δυναμική τους ενέργεια. Ο Riemann ονόμασε την ιδέα αυτή «αρχή του Dirichlet» προς τιμήν του δασκάλου του Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Παρ' όλα αυτά ο Weirstrass έδωσε αντιπαράδειγμα με ένα πρόβλημα μεταβολών χωρίς λύση: Να ελαχιστοποιηθεί το

\( W[\varphi] = \int_{-1}^{1} (x\varphi')^2 \, dx\, \)

με πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των δοκιμαστικών συναρτήσεων \({\textstyle \varphi} \) που ικανοποιούν τις σχέσεις \({\textstyle \varphi(-1)=-1} \) και \( {\textstyle \varphi(1)=1.} \) Το \( {\textstyle W} \) γίνεται αυθαίρετα μικρό με την επιλογή συναρτήσεων γραμμικών κατά κλάδους που μεταβάλλονται μεταξύ των τιμών \( {\textstyle -1} \) και \( {\textstyle 1} \) σε μία μικρή περιοχή γύρω από την αρχή {\textstyle \vec{0}.} Εντούτοις, δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία \({\textstyle W=0.} \) Η συζήτηση περί της ισχύος της αρχής του Dirichlet εξηγείται αναλυτικά στον ιστότοπο http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Riemann.html (στα Αγγλικά). Τελικά αποδείχθηκε πως η αρχή ισχύει, χρειάζεται όμως μία προχωρημένη εφαρμογή της θεωρίας κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998).

Προβλήματα ιδιοτιμών

Τόσο τα μονοδιάστατα, όσο και τα πολυδιάστατα προβλήματα ιδιοτιμών ανάγονται σε προβλήματα μεταβολών.
Προβλήματα Sturm-Liouville

Το πρόβλημα ιδιοτιμών Sturm-Liouville αφορά μια γενική τριωνυμική μορφή

\( Q[\varphi] = \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) \varphi'(x)^2 + q(x) \varphi(x)^2 \right] \, dx, \, \)

όπου η \( {\textstyle \varphi} \) είναι περιορισμένη στις συναρτήσεις που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες

\( \varphi(x_1)=0, \quad \varphi(x_2)=0. \, \)

Έστω \({\textstyle R} ένα ολοκλήρωμα κανονικοποίησης

\( R[\varphi] =\int_{x_1}^{x_2} r(x)\varphi(x)^2 \, dx.\, \)

Οι συναρτήσεις p(x) και r(x) απαιτούμε να είναι αυστηρά θετικές παντού. Έχουμε λοιπόν το εξής πρόβλημα μεταβολών: Να ελαχιστοποιηθεί ο λόγος \({\textstyle Q / R} \) στο πεδίο ορισμού ορισμού του \( {\textstyle Q.} \) Η εξίσωση Euler-Lagrange όταν \( {\textstyle u} \) είναι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης έχει ως εξής:

\( -(pu')' +q u -\lambda r u =0, \, \)

όπου \({\textstyle \lambda} \) είναι ο λόγος

\( \lambda = \frac{Q[u]}{R[u]}. \, \)

Αποδεικνύεται (δείτε Gelfand και Fomin 1963) ότι η συνάτηση ελαχιστοποίησης \( {\textstyle u} \) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την εξίσωση των Euler-Lagrange. Το αντίστοιχο {\textstyle \lambda} συμβολίζεται ως \({\textstyle \lambda_1 ^{\ .}} \) αυτό είναι η μικρότερη ιδιοτιμή για τη δεδομένη εξίσωση (υπ' όψη των περιορισμών του \( {\textstyle Q}) \) . Επίσης, θα γράφουμε {\textstyle u_1(x)} για την αντίστοιχη συνάρτηση ελαχιστοποίησης. Αυτός ο τρόπος εύρεσης ιδιοτιμών οδηγεί στη μέθοδο Rayleigh–Ritz: επιλέγουμε μία συνάρτηση προσέγγισης {\textstyle u} την οποία εκφράζουμε ως γραμμικό συνδιασμό των συναρτήσεων μίας βάσης συναρτήσεων (για παράδειγμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων), και αυτόν τον γραμμικό συνδυασμό τον ελαχιστοποιούμε σε πεπερασμένο πλήθος διαστάσεων. Αυτή η μέθοδος συνήθως είναι εκπληκτικά ακριβής.

Η αμέσως μικρότερη ιδιοτιμή και ιδιοσυνάρτηση μπορεί να βρεθεί ελαχιστοποιώντας το {\textstyle Q} με τον επιπλέον περιορισμό

\( \( \int_{x_1}^{x_2} r(x) u_1(x) \varphi(x) \, dx=0. \, \)

Η παρούσα διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί για να πάρουμε μία πλήρη ακολουθία ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων για το πρόβλημα.

Στο ίδιο πρόβλημα μεταβολών καταλήγουμε επίσης και όταν έχουμε πιο γενικές οριακές συνθήκες. Αντί να απαιτούμε το μηδενισμό της \({\textstyle \varphi} \) στα όρια ολοκλήρωσης μπορούμε να μην επιβάλουμε κανέναν περιορισμό και να θέσουμε

\( Q[\varphi] = \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) \v \) arphi'(x)^2 + q(x)\varphi(x)^2 \right] \, dx + a_1 \varphi(x_1)^2 + a_2 \varphi(x_2)^2, \, \)

όπου τα \( a_1 και \( a_2 είναι επιλεγμένα αυθαίρετα. Θέτοντας \({\textstyle \varphi = u + \varepsilon v } η πρώτη μεταβολή του πηλίκου {\textstyle Q/R} \) είναι

\( V_1 = \frac{2}{R[u]} \left( \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) u'(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) -\lambda u(x) v(x) \right] \, dx + a_1 u(x_1)v(x_1) + a_2 u(x_2)v(x_2) \right) , \, \)

όπου το {\textstyle \lambda} δίνεται από το λόγο {\textstyle Q[u]/R[u],} όπως προηγουμένως. Εφαρμόζοντας κατά παράγοντες ολοκλήρωση παίρνουμε

\( \frac{R[u]}{2} V_1 = \int_{x_1}^{x_2} v(x) \left[ -(p u')' + q u -\lambda r u \right] \, dx + v(x_1)[ -p(x_1)u'(x_1) + a_1 u(x_1)] + v(x_2) [p(x_2) u'(x_2) + a_2 u(x_2)]. \,

Αν πρώτα απαιτήσουμε η {\textstyle v } να μηδενίζεται στα {\textstyle x_1, } {\textstyle x_2, } \) \) τότε η πρώτη μεταβολή θα μηδενίζεται για κάθε τέτοια {\textstyle v } μόνον αν

\( -(p u')' + q u -\lambda r u =0 \quad \gamma \iota \alpha \quad x_1 < x < x_2.\, \)

Αν το {\textstyle u} ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, τότε η πρώτη μεταβολή θα μηδενίζεται για αυθαίρετα επιλεγμένο {\textstyle v} μόνο αν

\( -p(x_1)u'(x_1) + a_1 u(x_1)=0 \quad \kappa \alpha \iota \quad p(x_2) u'(x_2) + a_2 u(x_2)=0.\, \)

Οι τελευταίοι αυτοί περιορισμοί είναι οι φυσικές οριακές συνθήκες του προβλήματος, καθώς δεν επιβάλλονται στις δοκιμαστικές συναρτήσεις για την ελαχιστοποίηση, αλλά είναι συνέποια αυτής.

Προβλήματα ιδιοτιμών σε πολλές διαστάσεις

Το πρόβλημα ιδιοτιμών σε περισσότερες από μία διαστάσεις ορίζεται κατ' αναλογία με το αντίστοιχο μονοδιάστατο. Για παράδειγμα, δεδομένου πεδίου ορισμού {\textstyle D} με σύνορο {\textstyle B} σε τρεις διαστάσεις, ορίζουμε

\( Q[\varphi] = \iiint_D p(X) \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi + q(X) \varphi^2 \, dx \, dy \, dz + \iint_B \sigma(S) \varphi^2 \, dS \, \)

και

\( R[\varphi] = \iiint_D r(X) \varphi(X)^3 \, dx \, dy \, dz.\, \)

Έστω {\textstyle u} μία συνάρτηση που ελαχιστοποιεί το πηλίκο Q[\varphi] / R[\varphi], χωρίς κανένα περιορισμό στο σύνορο {\textstyle B.} Η εξίσωση Euler-Lagrange που ικανοποιείται από τη {\textstyle u} είναι η

\( -\nabla \cdot (p(X) \nabla u) + q(x) u - \lambda r(x) u=0,\,

όπου

\( \lambda = \frac{Q[u]}{R[u]}.\, \)

Η συνάτηση ελαχιστοποίησης {\textstyle u} πρέπει επίσης να ικανοποιεί τη φυσική οριακή συνθήκη

\( p(S) \frac{\part u}{\part n} + \sigma(S) u =0 \)

στο σύνορο \( {\textstyle B.} \) Αυτό το αποτέλεσμα βασίζεται στη θεωρία κανονικότητας για τις ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις· δείτε Jost και Li-Jost (1998) για λεπτομέρειες. Πολλές επεκτάσεις, συμπεριλαμβανομένων αποτελεσμάτων πληρότητας, ασυμπτωτικών ιδιοτήτων των ιδιοτιμών και αποτελεσμάτων που αφορούν τους κόμβους ιδιοσυναρτήσεων, βρίσκονται στο σύγγραμμα των Courant και Hilbert (1953).

Εφαρμογές

Μερικές εφαρμογές του λογισμού των μεταβολών περιλαμβάνουν:

Την εύρεση της αλυσοειδούς καμπύλης.
Το πρόβλημα του βράχιστου (ελάχιστου) χρόνου του Γιόχαν Μπερνούλι.
Ισοπεριμετρικά προβλήματα.
Γεωδαισιακά προβλήματα σε επίπεδα.
Προβλήματα ελαχιστοποίησης επιφάνειας και το πρόβλημα του Plateau.
Προβλήματα βέλτιστου ελέγχου.

Αρχή του Φερμά

Σύμφωνα με την αρχή του Φερμά, το φως κατά τη διαδρομή του μέσα σε ένα μέσο από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β, ακολουθεί τον οπτικό δρόμο που (τοπικά) ελαχιστοποιεί το οπτικό μήκος του. Αν η τετμημένη x οριστεί ως παράμετρος κατά μήκος του οπτικού δρόμου, με {\textstyle y=f(x),} τότε το οπτικό μήκος δίνεται από τον τύπο:

\(A[f] = \int_{x=x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, \,

όπου ο δείκτης διαθλάσεως n(x,y) εξαρτάται από το υλικό του οπτικ \) ού μέσου. Αν θεωρήσουμε \({\textstyle f(x) = f_0 (x) + \varepsilon f_1 (x)} τότε η πρώτη μεταβολή του A (η οποία εξαρτάται από το ε) είναι \)

\(\delta A[f_0,f_1] = \int_{x=x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx. \)

Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες στον πρώτο όρο, καταλήγουμε στην εξίσωση Euler–Lagrange:

\(-\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} =0. \,

Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση μπορούν να υπολογιστούν οι ακτίνες φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της Λαγκατζιανής οπτικής, καθώς και της Χαμιλτονιανής οπτικής.
Ο νόμος του Σνελ

Υπάρχει μια ασυνέχεια του δείκτη διάθλασης όταν το φως εισέρχεται ή εξέρχεται ενός φακού. Ας υποθέσουμε

\(n(x,y) = n_- \quad \alpha \nu \quad x<0, \, \)

\(n(x,y) = n_+ \quad \alpha \nu \quad x>0,\, \)

όπου \( n_- και \( n_+ είναι σταθερές. Συνεπώς, η εξίσωση του Euler-Lagrange παραμένει ως προηγουμένως στο διάστημα \({\textstyle x<0} και \({\textstyle x>0,} και ο οπτικός δρόμος αποτελεί μια ευθεία γραμμή, καθώς ο δείκτης διάθλασης παραμένει σταθερός. Για \({\textstyle x=0} η {\textstyle f} πρέπει να είναι συνεχής, με την {\textstyle f'} να μπορεί να είναι ασυνεχής. Εφαρμόζοντας την κατά παράγοντες μέθοδο στα ξεχωριστά χωρία και αξιοποιώντας την εξίσωση των Euler-Lagrange, η πρώτη μεταβολή παίρνει τη μορφή

\(\delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_-\fr \) ac{f_0'(0_-)}{\sqrt{1 + f_0'(0_-)^2}} -n_+\frac{f_0'(0_+)}{\sqrt{1 + f_0'(0_+)^2}} \right].\, \)

Ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το \( n_- είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η προσπίπτουσα ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων (άξονας των x)· αντιστοίχως ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το n_+ είναι το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η διαθλόμενη ακτίνα με τον άξονα των τετμημένων. Ο Νόμος του Σνελ για τη διάθλαση απαιτεί αυτοί οι όροι να είναι ίσοι. Όπως μας αποδεικνύει ο παραπάνω υπολογισμός, ο νόμος του Σνελ (Willebrord Snel van Royen) είναι ισοδύναμος με την απαίτηση η πρώτη μεταβολή του μήκους του οπτικού δρόμου να μηδενίζεται.

Η αρχή του Φερμά σε τρεις διαστάσεις

Είναι δόκιμο να χρησιμοποιήσουμε το διανυσματικό συμβολισμό: έστω {\textstyle X=(x_1,x_2,x_3)} και μια παράμετρος {\textstyle t,} θα συμβολίζουμε ως X(t) την παραμετρική παράσταση καμπύλης {\textstyle C} και ως \dot X(t) το εφαπτόμενο διάνυσμα αυτής. Το οπτικό μήκος της καμπύλης δίνεται από τον εξής τύπο:

\( A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} n(X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} dt. \, \)

Ας σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα παραμένει αναλλοίωτο σε σχέση με τις μεταβολές στην παραμετρική παράσταση της {\textstyle C.} Οι εξισώσεις Euler–Lagrange για μία καμπύλη ελάχιστοποίησης παίρνουν την εξής συμμετρική μορφή

\( \frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n, \, \)

όπου

\( P = \frac{n(X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }.\, \)

Εξ ορισμού η {\textstyle P} ικανοποιεί την εξίσωση

\( P \cdot P = n(X)^2. \, \)

Άρα το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί και ως

\( A[C] = \int_{t=t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt.\, \)

Από την τελευταία μορφή έπεται ότι αν μπορέσουμε να βρούμε συνάρτηση \( {\textstyle \psi (X)} τέτοια ώστε \nabla \psi = P, τότε το ολοκλήρωμα A δίνεται από τη διαφορά \( \psi (X(t_1)) - \psi (X(t_0)). Επομένως, το πρόβλημα της μελέτης των καμπυλών για τις οποίες το ολοκλήρωμα είναι στάσιμο συνδεέται με τη μελέτη των σταθμικών επιφανειών (level surfaces) της \({\textstyle \psi .} Για την εύρεση μίας τέτοιας συνάρτησης θα χρησιμοποιήσουμε την κυματική εξίσωση, που περιγράφει τη διάδοση του φωτός. Αυτός ο φορμαλισμός χρησιμοποιείται ως γενικό πλαίσιο στη Λαγκατζιανή οπτική και στην Χαμιλτονιανή οπτική.
Συσχέτιση της \psi με την κυματική εξίσωση

Η κυματική εξίσωση για ένα μη-ομογενές μέσο είναι η

\(u_{tt} = c^2 \nabla \cdot \nabla u, \, \)

όπου \( {\textstyle c} είναι η ταχύτητα, που γενικά εξαρτάται από το X. Τα μέτωπα των φωτεινών κυμάτων είναι χαρακτηριστικές επιφάνειες αυτής της διαφορικής εξίσωσης, για τις οποίες ισχύει:

\( \varphi_t^2 = c(X)^2 \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi. \, \)

Ας ψάξουμε για λύσεις της μορφής

\( \varphi(t,X) = t - \psi(X) ^{.} \)

σε αυτή την περίπτωση η \psi ικανοποιεί τη σχέση

\( \nabla \psi \cdot \nabla \psi = n^2, \,

όπου n=1/c. Σύμφωνα με τη θεωρία των πρωτοβάθμιω \) ν μερικών διαφορικών εξισώσεων, αν P = \nabla \psi, τότε ισχύει

\( \frac{dP}{ds} = n \nabla n, \, \)

όταν έχουμε ένα σύστημα καμπυλών (ακτίνων φωτός) που δίνονται από τον τύπο

\( \frac{dX}{ds} = P. \)

Αυτές οι εξισώσεις για τη λύση μιας πρωτοβάθμιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ταυτίζονται με εκείνες των Euler-Lagrange,φυσικά αν θεωρήσουμε ότι

\( \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{ \dot X \cdot \dot X} }{n}. \, \)

Συμπεραίνουμε λοιπόν, πως η \psi είναι η τιμή του \( {\textstyle A[C]} \) συναρτήσει του σημείου {\textstyle X(t_1)} που αντιστοιχεί στο άνω όριο ολοκλήρωσης \({\textstyle t_1,} \) όταν C είναι μια καμπύλη ελαχιστοποίησης. Ώστε, όταν μια οικογένεια καμπυλών ελαχιστοποίησης κατασκευαστεί, οι τιμές του οπτικού μήκους ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί στην κυματική εξίσωση. Ως εκ τούτου, η επίλυση της σχετικής πρωτοβάθμιας μερικής διαφορικής εξίσωσης ισοδυναμεί με την εύρεση οικογενειών λύσεων του αντίστοιχου προβλήματος μεταβολών. Αυτή είναι η ουσία της θεωρίας των Hamilton–Jacobi, η οποία ισχύει και σε πιο γενικά προβλήματα μεταβολών.

Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης

Κυρίως Άρθρο: Δράση (φυσική)

Στην κλασσική μηχανική, η δράση, S, ορίζεται ως η χρονική ολοκλήρωση της Λαγκρανζιανής, L. Η Λαγκρανζιανή είναι η διαφορά των ενεργειών,

\(L = T - U, \, \)

όπου T είναι η κινητική ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος και U η δυναμική του ενέργεια. Η αρχή του Hamilton (ή η αρχη της ελάχιστης δράσης) υποστηρίζει οτι η κίνηση σε ένα συντηρητικό ολονομικό (με ακέραιους περιορισμούς) μηχανικό σύστημα είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα της δράσης

\( S = \int_{t=t_0}^{t_1} L(x, \dot x, t) dt \, \)

είναι στάσιμο σε σχέση με τις μεταβολές της διαδρομής x(t). Οι εξισώσεις Euler–Lagrange αυτού του συστήματος είναι γνωστές ως εξισώσεις Lagrange:

\( \frac{d}{dt} \frac{\part L}{\part \dot x} = \frac{\part L}{\part x}, \, \)

και είναι ισοδύναμες με τις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (για τέτοιου είδους συστήματα).

Οι συζυγείς ορμές P ορίζονται από

\( p = \frac{\part L}{\part \dot x}. \, \)

Για παράδειγμα, αν

\( T = \frac{1}{2} m \dot x^2, \, \)

τότε

\(p = m \dot x. \, \)

Η μηχανική του Hamilton προκύπτει εαν θέσουμε τις συζυγείς ορμές στη θέση του \dot x, και η Λαγκρανζιανή L αντικατασταθεί από την Χαμιλτονιανή H, η οποία ορίζεται ως

\( H(x, p, t) = p \,\dot x - L(x,\dot x, t).\, \)

Η Χαμιλτονιανή είναι η συνολική ενέργεια του συστήματος: H = T + U. Η αναλογία με τις αρχές του Fermat ορίζει ότι οι λύσεις των Λαγκρανζιανών εξισώσεων (οι τροχές των σωματιδίων) μπορούν να περιγραφούν σε όρους επιπέδων των επιφανειών μιας συνάρτησης του X. Αυτή η συνάρτηση είναι η λύση της εξίσωσης Hamilton–Jacobi :

\( \frac{\part \psi}{\part t} + H\left(x,\frac{\part \psi}{\part x},t\right) =0.\, \)

Μεταβολές και επαρκείς συνθήκες για ελάχιστο

Ο Λογισμός των μεταβολών ασχολείται με τις μεταβολές των συναρτησοειδών, οι οποίες είναι μικρές μεταβολές στην αξία του συναρτησοειδούς λόγω μικρών μεταβολών στη συνάρτηση που είναι το όρισμά της. Η πρώτη μεταβολή[Σημείωση 6] ορίζεται ως το γραμμικό μέρος της μεταβολής στο συναρτησοειδές και η δεύτερη μεταβολή[Σημείωση 7] ορίζεται ως τετραγωνικό μέρος.[13]

Για παράδειγμα, αν J[y] είναι ένα συναρτησοειδές με συνάρτηση y = y(x) ως όρισμά της, και υπάρχει μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της από y σε y + h, όπου h = h(x) είναι μια συνάρτηση στον ίδιο συναρτησιακό χώρο με την y, τότε η μεταβολή που αντιστοιχεί στο συναρτησοειδές είναι

\(\Delta J[h] = J[y+h] - J[y] \) .[Σημείωση 8]

Το συναρτησοειδές J[y] λέγεταιι διαφορίσιμο αν

\Delta J[h] = \phi [h] + \epsilon \|h\| , \)

όπου φ[h] είναι ένα γραμμικό συναρτησοειδές,[Σημείωση 9] ||h|| η νόρμα της h,[Σημείωση 10] και ε → 0 as ||h|| → 0. Το γραμμικό συαναρτησοειδές φ[h] είναι η πρώτη διαφορά του J[y] και δίνεται από,[14]

\( \delta J[h] = \phi(h) .

Το συναρτησοειδές J[y] λέγεται δυο φορές διαφορίσιμο αν

\( \Delta J[h] = \phi_1 [h] + \phi_2 [h] + \epsilon \|h\|^2 , \)

όπου φ1[h] είναι ένα γραμμικό συναρτησοειδές (πρώτη μεταβολή), φ2[h] είναι ένα τετραγωνικό συναρτησοειδές,[Σημείωση 11] και ε → 0 as ||h|| → 0. Το τετραγωνικό συναρτησοειδές φ2[h] είναι η δεύτερη μεταβολή του J[y] και δίνεται από,[15]

\( \delta^2 J[h] = \phi_2(h) . \)

Η δεύτερη μεταβολή δ2J[h] λέγεται αυστηρά θετική αν

\( \delta^2J[h] \ge k \|h\|^2 , \)

για όλα τα h και για κάποια σταθερά k > 0 .[16]

Επαρκής συνθήκη για ένα ελάχιστο:

Το συναρτησοειδές J[y] έχει ένα ελάχιστο στο y = ŷ αν η πρώτη μεταβολή του δJ[h] = 0 στο y = ŷ και η δεύτερη μεταβολή του δ2J[h] είναι αυστηρά θετικη στο y = ŷ.[17][Σημείωση 12]
Δείτε επίσης

Πρώτη μεταβολή
Ισομετρική ανισότητα
Αρχή της μεταβολής
Μεταβολική bicomplex
Αρχή του Φερμά
Αρχή της ελάχιστης δράσης
Βελτιστοποίηση άπειρης διάστασης
Συναρτησοειδής ανάλυση
Αρχή της μεταβολής του Ekeland
[Αντίστροφο πρόβλημα Λαγκρανζιανών μηχανικών]]
Πρόβλημα εμποδίου
Μέθοδος διαταραχής
Μέτρηση Young
Βέλτιστος έλεγχος

Άμεση μέθοδος στον Λογισμό των μεταβολών
Θεώρημα του Noether
Θεωρία των De Donder–Weyl
Variational Bayesian methods
Πρόβλημα Chaplygin
Nehari manifold
Αρχή του Hu Washizu
Luke's variational principle
Mountain pass theorem
Category:Variational analysts
Measures of central tendency as solutions to variational problems
Stampacchia Medal
Fermat Prize
Convenient vector space

Σημειώσεις

Η περιοχή του f είναι το τμήμα του δεδομένου χώρου συναρτήσεων όπου | y - f| < h σε όλο το συναρτησιακό πεδίο ορισμού, με το h να είναι (αυστηρά) θετικός αριθμός που δίνει το πλάτος της περιοχής.[7]
Για μια ικανή συνθήκη, δείτε την ενότητα Μεταβολές και ικανή συνθήκη ελαχίστου.
Η ακόλουθη απόδειξη της εξίσωσης Euler–Lagrange αντιστοιχεί σε αυτή των σελ. 184–5 του:
Courant, R., Hilbert, D. (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (πρώτη αγγλική έκδοση). New York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
Το γινόμενο εΦ′(0) καλείται πρώτη μεταβολή του J και συμβολίζεται ως δJ. Στη βιβλιογραφία, η πρώτη μεταβολή ορίζεται κάποιες φορές διαφορετικά, χωρίς τον παράγοντα ε .
Για την ιστορία, αυτό είναι το αξίωμα του Αρχιμήδη. Δείτε π.χ. Kelland, Philip (1843). Lectures on the principles of demonstrative mathematics. Google Books, σελ. 58.
Η πρώτη μεταβολή λέγεται επίσης και παραγωγίσιμη ή μια φορά παραγωγίσιμη.
Η δεύτερη μεταβολή καλείται επίσης δυο φορές παραγωγίσιμη.
Σημειωτέον ότι το Δ J[h] και οι μεταταβολές παρακάτω,εξαρτώνται από τα y και h. To y έχει εξαιρεθεί για να απλοποιηθεί ο συμβολισμός. Για παράδειγμα, Δ J[h] θα μπορούσε να είχε γραφεί Δ J[y ; h].
Ένα συναρτησοειδές φ[h] λέγεται γραμμικό εαν φ[αh] = α φ[h] και φ[h1 +h2] = φ[h1] + φ[h2] , όπου h, h1, h2 είναι συναρτήσεις και α είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Για μια συνάρτηση h = h(x) η οποία ορίζεται για a ≤ x ≤ b, όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, η νόρμα του h είναι η μέγιστη απόλυτη τιμή της, π.χ. ||h|| = max |h(x)| for a ≤ x ≤ b.
Ένα συναρτησοειδές λέγεται τετραγωνικό αν είναι διγραμμικό συναρτησοειδές με δυο αντικειμενικές συναρτήσεις οι οποίες είναι ίσες. Ένα διγραμμικό συναρτησοειδές είναι συναρτησοειδές το οποίο εξαρτάτα από δυο αντικειμενικές συναρτήσεις και είναι γραμμικό όταν κάθε αντικειμενική συνάρτηση ξεχωριστά είναι σταθερή καθώς η άλλη μεταβάλεται.

Για άλλες επαρκείς συνθήκες, δείτε Gelfand & Fomin 2000. Κεφάλαιο 5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum". Επαρκείς συνθήκες για ένα ασθενές ελάχιστο δίνονται από το θεώρημα στη σ. 116. Κεφάλαιο 6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum". Επαρκείς συνθήκες για ένα ισχυρό ελάχιστο δίνονται από το θεώρημα στη σ. 148.

Βιβλιογραφικές παραπομπές

Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A.. επιμ. Calculus of variations (Unabridged repr. έκδοση). Mineola, New York: Dover Publications, σελ. 3. ISBN 978-0486414485.
van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0.
Ferguson, James (2004). «Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications». arXiv:math/0402357.
Dimitri Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific, 2005.
Bellman, Richard E. (1954). «Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations». Proc. Nat. Acad. Sci. 40 (4): 231–235. PMID 16589462. PMC 527981.
Kushner, Harold J. (2004). «Richard E. Bellman Control Heritage Award». American Automatic Control Council. Ανακτήθηκε στις 2013-07-28. See 2004: Harold J. Kushner: regarding Dynamic Programming, "The calculus of variations had related ideas (e.g., the work of Caratheodory, the Hamilton-Jacobi equation). This led to conflicts with the calculus of variations community."
Courant, R; Hilbert, D (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English έκδοση). New York: Interscience Publishers, Inc, σελ. 169. ISBN 978-0471504474.
Gelfand & Fomin 2000, σελίδες 12–13
Gelfand & Fomin 2000, σελ. 13
Gelfand & Fomin 2000, σελίδες 11-12, 99
Courant & Hilbert 1953, σελ. 184
Weisstein, Eric W.. «"Euler-Lagrange Differential Equation."». MathWorld.
Gelfand & Fomin 2000, σσ. 11–12, 99
Gelfand & Fomin 2000, σσ. 11–12
Gelfand & Fomin 2000, σ. 99
Gelfand & Fomin 2000, σ. 100

Gelfand & Fomin 2000, σ. 100, Theorem 2

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Calculus of variations (έκδοση 663148595) της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License