Στα μαθηματικά, μια κατηγορία (μερικές φορές ονομάζεται αφηρημένη κατηγορία για να τη ξεχωρίσει από μια συγκεκριμένη κατηγορία) είναι μια συλλογή "αντικειμένων" που συνδέονται με "βέλη". Μια κατηγορία έχει δύο βασικές ιδιότητες: τη δυνατότητα να συνθέσει τα βέλη συσχετιστικά και την ύπαρξη ενός βέλους ταυτότητας για κάθε αντικείμενο. Ένα απλό παράδειγμα είναι η κατηγορία των συνόλων, των οποίων τα αντικείμενα είναι σύνολα και των οποίων τα βέλη είναι συναρτήσεις.
Η θεωρία της κατηγορίας είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που επιδιώκει να γενικεύσει όλα τα μαθηματικά σε όρους κατηγοριών, ανεξάρτητα από αυτό που αντιπροσωπεύουν τα αντικείμενα και τα βέλη τους. Σχεδόν κάθε κλάδος των σύγχρονων μαθηματικών μπορεί να περιγραφεί με όρους κατηγοριών και κάτι τέτοιο συχνά αποκαλύπτει βαθιές γνώσεις και ομοιότητες μεταξύ φαινομενικά διαφορετικών τομέων των μαθηματικών. Ως τέτοια, η θεωρία κατηγορίας παρέχει μια εναλλακτική βάση για τα μαθηματικά όπως η θεωρία συνόλων ή άλλες προτεινόμενες αξιωματικές βάσεις. Σε γενικές γραμμές, τα αντικείμενα και τα βέλη μπορεί να είναι αφηρημένες οντότητες οποιουδήποτε είδους και η έννοια της κατηγορίας παρέχει έναν θεμελιώδη και αφηρημένο τρόπο περιγραφής μαθηματικών οντοτήτων και των σχέσεών τους.
Υπάρχουν πολλοί ισοδύναμοι ορισμοί μιας κατηγορίας. Η κατηγορία Γ αποτελείται από
μια κλάση ob (C) αντικειμένων
μια κλάση hom (C) μορφισμών, ή βελών, ή χαρτών, μεταξύ των αντικειμένων.
Μερικά παραδείγματα
Η τάξη όλων των συνόλων (ως αντικείμενα) μαζί με όλες τις συναρτήσεις μεταξύ τους (ως μορφισμοί), όπου η σύνθεση των μορφισμών είναι η συνήθης σύνθεση συνάρτησης, σχηματίζει μια μεγάλη κατηγορία, το Σετ. Είναι η πιο βασική και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη κατηγορία στα μαθηματικά.
Η κατηγορία των ομάδων με αντικείμενα ομάδες και μορφισμούς, ομομορφισμούς ομάδων.
Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων με αντικείμενα αβελιανές ομάδες και σαν μορφισμούς, ομομορφισμούς αβελιανών ομάδων
Η κατηγορία των τοπολογικών χώρων με αντικείμενα τοπολογικούς χώρους και σαν μορφισμούς, συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
