Στη γεωμετρία, ένα Καρτεσιανό ωοειδές, που ονομάστηκε από τον René Descartes, είναι μια επίπεδη καμπύλη, το σύνολο σημείων που έχουν τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία.
Ορισμός
Έστω P και Q σταθερά σημεία στο επίπεδο, και d (P, S) και d (Q, S) υποδηλώνουν τις ευκλείδεις αποστάσεις από αυτά τα σημεία προς ένα τρίτο μεταβλητό σημείο S. Έστω m και a ι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Το Καρτεσιανό ωοειδές είναι η θέση των σημείων S που ικανοποιούν d (P, S) + m d (Q, S) = a. Τα δύο ωοειδή που σχηματίζονται από τις τέσσερις εξισώσεις d (P, S) + m d (Q, S) = ± a και d (P, S) - m d (Q, S) = ± a είναι στενά συνδεδεμένα. Μαζί σχηματίζουν μια καμπύλη επίπεδου τετάρτου που ονομάζεται Καρτεσιανό ωοειδές.
Το σύνολο των σημείων (x, y) που ικανοποιεί την τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση
\( {\displaystyle [(1-m^{2})(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{2}]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})} \)
όπου c είναι η απόσταση d (P, Q) μεταξύ των δύο σταθερών εστιών P = (0, 0) και Q = (c, 0), σχηματίζει δύο ωοειδή , τα σύνολα σημείων που ικανοποιούν τις δύο από τις τέσσερις εξισώσεις
d (P, S) ± md (Q, S) = a
d (P, S) ± md (Q, S) = - a
που έχουν πραγματικές λύσεις. Τα δύο ωοειδή είναι γενικά χωριστά, εκτός από την περίπτωση που P ή Q ανήκει σε αυτά. Τουλάχιστον μία από τις δύο κάθετες προς το PQ μέσω των σημείων P και Q κόβει αυτήν την τετραγωνική καμπύλη σε τέσσερα πραγματικά σημεία. Από αυτό προκύπτει ότι είναι αναγκαστικά ένθετα, με τουλάχιστον ένα από τα δύο σημεία P και Q που περιέχονται στο εσωτερικό και των δύο.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
