.
Ορισμός
Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και I ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το I θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως I \triangleleft \mathcal{R} αν ισχύουν τα εξής:
a-b \in I για κάθε a,b \in I
r\cdot a \in I και a\cdot r \in I , για κάθε r\in \mathcal{R},a \in I
Μεγιστικό ιδεώδες
Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και M \ne \mathcal{R} ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε I \triangleleft R με M \subset I \subset \mathcal{R} έπεται ότι I=M ή I=\mathcal{R}.
Πρώτο Ιδεώδες
Έστω (\mathcal{R},+,\cdot) δακτύλιος και \mathcal{P} \ne \mathcal{R} ένα ιδεώδες του. Το \mathcal{P} θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:
Αν ab \in \mathcal{P} τότε είτε a \in \mathcal{P} είτε b \in \mathcal{P}.
Παραδείγματα
Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο \( \{0_R\}
Έστω F:R \rightarrow S ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.
Το σύνολο \{ra;r \in R \} είναι ένα ιδεώδες του R που περιέχει το a.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με <a>.
Έστω p ένας πρώτος αριθμός.Τότε το ιδεώδες <p> του \mathbb{Z} είναι πρώτο και μεγιστικό.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
