.
Ορισμός
Έστω \( (\mathcal{R},+,\cdot) \) δακτύλιος και I ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το I θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες)(Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως \( I \triangleleft \mathcal{R} \) αν ισχύουν τα εξής:
\( a-b \in I για κάθε a,b \in I \)
\( r\cdot a \in I και a\cdot r \in I , για κάθε r\in \mathcal{R},a \in I \)
Μεγιστικό ιδεώδες
Έστω\( (\mathcal{R},+,\cdot) \) δακτύλιος και \( M \ne \mathcal{R} \) ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (maximal ideal) αν για κάθε \( I \triangleleft R \) με \( M \subset I \subset \mathcal{R} \) έπεται ότι \( I=M ή I=\mathcal{R}. \)
Πρώτο Ιδεώδες
Έστω \( (\mathcal{R},+,\cdot) \) δακτύλιος και \( \mathcal{P} \ne \mathcal{R} \) ένα ιδεώδες του. Το \( \mathcal{P} \) θα καλείται πρώτο ιδεώδες (prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:
Αν \( ab \in \mathcal{P} \) τότε είτε \( a \in \mathcal{P} \) είτε \( b \in \mathcal{P}. \)
Παραδείγματα
Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο \( \{0_R\}
Έστω\( F:R \rightarrow S \) ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.
Το σύνολο \( \{ra;r \in R \} \) είναι ένα ιδεώδες του R που περιέχει το a.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο (principal ideal) και συμβολίζεται με <a>.
Έστω p ένας πρώτος αριθμός.Τότε το ιδεώδες <p> του \( \mathbb{Z} \) είναι πρώτο και μεγιστικό.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
