Στα μαθηματικά, η γραμμική παρεμβολή είναι μια μέθοδος προσαρμογής καμπύλης χρησιμοποιώντας γραμμικά πολυώνυμα για την κατασκευή νέων σημείων δεδομένων εντός του εύρους ενός διακριτού συνόλου γνωστών σημείων δεδομένων.
Εάν τα δύο γνωστά σημεία δίνονται από τις συντεταγμένες \( (x_{0},y_{0}) \) και \( (x_{1},y_{1}) \), η γραμμική παρεμβολή είναι η ευθεία γραμμή μεταξύ αυτών των σημείων. Για μια τιμή x στο διάστημα \( (x_{0},x_{1}) \), δίνεται η τιμή y κατά την ευθεία γραμμή από την εξίσωση των πλαγιών
\( {\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},} \)
που μπορεί να προέλθει γεωμετρικά από την εικόνα στα δεξιά. Είναι μια ειδική περίπτωση πολυωνυμικής παρεμβολής με n = 1.
Η επίλυση αυτής της εξίσωσης για το y, που είναι η άγνωστη τιμή στο x, δίνει
\( {\displaystyle y=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},} \)
που είναι ο τύπος γραμμικής παρεμβολής στο διάστημα \( (x_{0},x_{1}) \). Εκτός αυτού του διαστήματος, ο τύπος είναι πανομοιότυπος με τη γραμμική παρέκταση.
Αυτός ο τύπος μπορεί επίσης να γίνει κατανοητός ως σταθμισμένος μέσος όρος. Τα βάρη σχετίζονται αντιστρόφως με την απόσταση από τα τελικά σημεία έως το άγνωστο σημείο. το πιο κοντινό σημείο έχει μεγαλύτερη επιρροή από το πιο μακρινό. Έτσι, τα βάρη είναι \( {\textstyle {\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} \) και \( {\textstyle {\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}} \), οι οποίες είναι κανονικοποιημένες αποστάσεις μεταξύ του άγνωστου σημείου και καθενός από τα τελικά σημεία. Επειδή αυτά τα ποσά είναι 1,
\( {\displaystyle y=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right),} \)
που αποδίδει τον τύπο γραμμικής παρεμβολής που δίνεται παραπάνω.
Παρεμβολή ενός συνόλου δεδομένων
Η γραμμική παρεμβολή σε ένα σύνολο δεδομένων (κόκκινα σημεία) αποτελείται από κομμάτια γραμμικών παρεμβολών (μπλε γραμμές).
Η γραμμική παρεμβολή σε ένα σύνολο σημείων δεδομένων (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn) ορίζεται ως η συνένωση γραμμικών παρεμβολών μεταξύ κάθε ζεύγους σημείων δεδομένων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια συνεχή καμπύλη, με ένα ασυνεχές παράγωγο (γενικά), συνεπώς της κατηγορίας διαφοροποίησης \( C ^ 0. \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
