.
Στα μαθηματικά, ο όρος εργοδικό χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα δυναμικό σύστημα, το οποίο, σε γενικές γραμμές, έχει την ίδια συμπεριφορά με μέσο όρο το χρόνο, καθώς και κατά μέσο όρο το χώρο. Στην φυσική, ο όρος χρησιμοποιείται για να σημαίνει ότι το σύστημα πληροί την εργοδική υπόθεση της θερμοδυναμικής.
Ετυμολογία
Η λέξη εργοδικό προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις έργον και οδός, το έργο και η πορεία. Αυτό επιλέχθηκε από τον Λούντβιχ Μπόλτσμαν, ενώ εργαζόταν πάνω σε ένα πρόβλημα στην στατιστική μηχανική.
Επίσημος ορισμός
Ας είναι \( (X,\; \Sigma ,\; \mu\,) \) ένας χώρος πιθανοτήτων, και έστω T:X \to X ένας μετασχηματισμός που διατηρεί το μέτρο. Λέμε ότι ο Τ είναι εργοδικός σε σχέση με το \( \mu \) (ή, εναλλακτικά, ότι το \( \mu \) είναι εργοδικό σε σχέση με το Τ ' »), εάν ένα από τα ακόλουθα είναι αλήθεια:
Για κάθε \( E \in \Sigma με T^{-1}(E)=E\, \) είτε \( \mu(E)=0\, \) ή \( \mu(E)=1\, \) .
Για κάθε \( E \in \Sigma \) με \( \mu(T^{-1}(E)\bigtriangleup E)=0 \) , είτε \( \mu(E)=0\, \) ή \(\mu(E)=1\, \) (όπου \bigtriangleup δηλώνει την συμμετρική διαφορά).
Για κάθε ( E \in \Sigma \) με θετικό μέτρο έχουμε \(\mu(\cup_{n=1}^\infty T^{-n}E) = 1 \) .
Για κάθε δύο σύνολα Ε και Η θετικού μέτρου, υπάρχει μια n> 0 τέτοιο ώστε \( \mu(T^{-n}E\cap H)>0 \) .
Μετρήσιμες ροές
Οι ορισμοί αυτοί έχουν φυσικά ανάλογα και στην περίπτωση των μετρήσιμων ροών και, γενικότερα, σε πράξεις ημιομάδων που αφήνουν αναλλοίωτο το μέτρο. Ας είναι {Tt} μια μετρήσιμη ροή στο (X, Σ, μ). Ένα στοιχείο Α της Σ είναι αναλλοίωτο mod 0 υπό {Tt} αν
\( \mu(T^{t}(A)\bigtriangleup A)=0 \)
για κάθε t ∈ R. Μετρήσιμα σύνολα αναλλοίωτα mod 0 υπό μια ροή ή μιας δράσης ημιομάδας σχηματίζουν αναλλοίωτη υποάλγεβρα της Σ, και το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα που διατηρεί το μέτρο είναι εργοδικό αν η αναλλοίωτη υποάλγεβρα είναι η τετριμμένη σ-άλγεβρα που αποτελούνται από τα σύνολα με μέτρο 0 και τα συμπληρώματα αυτών στο Χ.
Μαρκοβιανές Αλυσίδες
Σε μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα, η κατάσταση i λέγεται ότι είναι εργοδική αν είναι απεριοδική και θετικά επαναλαμβανόμενη. Εάν όλες οι καταστάσεις σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδικές, τότε η αλυσίδα λέγεται ότι είναι εργοδική.
Εργοδική αποσύνθεση
Εννοιολογικά, εργοδικότητα ενός δυναμικού συστήματος είναι μια ορισμένη αμειωτική ιδιότητα, παρόμοια με τις έννοιες της αμείωτης εκπροσώπησης στην άλγεβρα και του πρώτου αριθμού στην αριθμητική. Ένα γενικό μετασχηματισμός διατήρησης μέτρου ή μια ροή σε ένα χώρο Lebesgue λαμβάνει μια κανονική αποσύνθεση και έτσι αναλύεται σε εργοδικές συνιστώσες, καθεμιά από τις οποίες είναι εργοδική.
Δείτε επίσης
Εργοδική θεωρία
Ανάμιξη (μαθηματικά)
Αναφορές
Walters, Peter (1982), An Introduction to Ergodic Theory, Springer, ISBN 0387951520
Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002), Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, ISBN 0521808413
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Outline of Ergodic Theory, by Steven Arthur Kalikow
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
