Έστω \( {\displaystyle {\mathit {L}}:{\mathit {K}}} \) επέκταση σωμάτων και ένα στοιχείο \( {\displaystyle a\in L} \) αλγεβρικό επί του \( {\displaystyle {\mathit {K}}}. \) Ως ελάχιστο πολυώνυμο του a a επί του \( {\displaystyle {\mathit {K}}} \) (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο \( {\displaystyle m(t)\in {\mathit {K}}[t]} \) ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει \( {\displaystyle m(a)=0}\).
Παράδειγμα
Το \( {\displaystyle i\in \mathbb {C} } \) είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του \({\mathbb {R}} \) καθως είναι ρίζα του \({\displaystyle p(t)=t^{2}+1\in \mathbb {R} [t]} \) το οποίο είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του i επι του \( {\mathbb {R}} \). Πράγματι αν υπήρχε μονικό πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού στο \( {\displaystyle \mathbb {R} [t]} \) με \( {\displaystyle n(i)=0} \) τότε επειδή \( {\displaystyle degn<degm=2} \) το \( {\displaystyle n(t)} \) θα ήταν της μορφής \( {\displaystyle n(t)=t+q} \) από το οποίο έπεται ότι \({\displaystyle i\in \mathbb {R} } \) άτοπο.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
