Δωδεκάγωνο

.

Στη γεωμετρία, το δωδεκάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις δώδεκα και γωνία) είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο σχήμα με δώδεκα πλευρές και δώδεκα κορυφές. Οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε δωδεκαγώνου έχουν άθροισμα 1800 μοίρες (°). Το σύμβολο Schläfli του δωδεκαγώνου είναι {12}.

Κανονικό δωδεκάγωνο

Συνήθως ο όρος δωδεκάγωνο αναφέρεται σε ένα κανονικό δωδεκάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Σε ένα τέτοιο δωδεκάγωνο, οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες με 150° η καθεμιά.

Το εμβαδό (E) ενός κανονικού δωδεκαγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

\( \begin{align} E & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 = 3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\ & \simeq 11,19615242\,a^2. \end{align} \)

Μία άλλη σχέση δίνει το εμβαδό ως συνάρτηση της ακτίνας R του περιγεγραμμένου κύκλου[1]:

\( E = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2 ,\)

ενώ αν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,

\begin{align} E & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left(2-\sqrt{3} \right) r^2 \\ & \simeq 3,2153903\,r^2. \end{align}\)

Απλή είναι η σχέση για το εμβαδό

\( \scriptstyle E\,=\,3ad ,\)

όπου d είναι η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών ή το ύψος του σχήματος όταν το κανονικό δωδεκάγωνο στέκεται πάνω στη μία του πλευρά ως βάση (επίσης είναι η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου).

Με απλούς τριγωνομετρικούς υπολογισμούς βρίσκουμε:

\( \scriptstyle d\,=\,a(1\,+\,2cos{30^\circ}\,+\,2cos{60^\circ}).\)

Κατασκευή

Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

Η κατασκευή ενός κανονικού δωδεκαγώνου
Χρήσεις
Πλακόστρωση

Δίνονται τρία παραδείγματα περιοδικής πλακόστρωσης του επιπέδου που χρησιμοποιεί κανονικά δωδεκάγωνα:

Ημικανονική πλακόστρωση 3.12.12

Ημικανονική πλακόστρωση 4.6.12

Ημικανονική πλακόστρωση: 3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

Πολύγωνα Petrie

Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter, όπως τα:

A11	11-simplex	ανορθωμένο 11-simplex	διανορθωμένο 11-simplex	τριανορθωμένο 11-simplex	τετρανορθωμένο 11-simplex	πεντανορθωμένο 11-simplex
BC6	6-orthoplex	ανορθωμένο 6-orthoplex	διανορθωμένο 6-orthoplex	διανορθωμένος 6-κύβος	ανορθωμένος 6-κύβος	6-κύβος
D7	t5(141)	t4(141)	t3(141)	t2(141)	t1(141)	t0(141)
E6	t0(221)	t1(221)	t1(122)	t0(122)
F4	24-cell	Ανορθωμένο 24-cell	Snub 24-cell

Γράμματα και κέρματα
Η οπίσθια όψη ενός βρετανικού κέρματος των τριών πεννών του 1942

Τα «παχιά» κεφαλαία γράμματα E, H και X (και το I σε γραμματοσειρά slab serif) έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους.

Αλλά και αρκετά κέρματα έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους, όπως:

Το βρετανικό κέρμα των τριών πεννών από το 1937 ως το 1971
Το αυστραλιανό κέρμα του μισού δολαρίου
Τα κέρματα των 50 σεντς των Νησιών Φίτζι
Το κέρμα των 50 σενίτι της Τόγκα (Tongan paʻanga), από το 1974
Το κέρμα των 50 σεντς των Νησιών Σολομώντα
Το κροατικό κέρμα των 25 κούνα
Το Ρουμανικό κέρμα των 5000 λέι από το 2001 ως το 2005
Το κέρμα της μιας καναδικής πέννας από το 1982 ως το 1996
Το κέρμα των 25 đồng του Νότιου Βιετνάμ από το 1968 ως το 1975
Το κέρμα των 50 ngwee της Ζάμπια από το 1969 ως το 1992
Το κέρμα των 50 τάμπαλα του Μαλάουι από το 1986 ως το 1995
Το κέρμα των 20 σεντάβος του Μεξικού από το 1992

Δείτε επίσης

δωδεκαγωνικός αριθμός
δωδεκάεδρο – ένα κανονικό πολύεδρο με 12 πενταγωνικές έδρες.
δωδεκάγραμμα

Σημειώσεις

Δείτε τη γεωμετρική απόδειξη του József Kürschák στο Wolfram Demonstration Project.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Το θεώρημα Kürschak
Ορισμός και ιδιότητες του δωδεκαγώνου (με διαδραστική animation)

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Dodecagon της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License