.
Διαφορική εξίσωση είναι η μαθηματική εξίσωση η οποία συσχετίζει τις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης μιας ή περισσότερων μεταβλητών και των παραγώγων της πρώτου, δεύτερου ή ανώτερου βαθμού. Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν προεξάρχοντα ρόλο στη Φυσική. Επίσης έχουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στην Τεχνολογία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία και άλλα επιστημονικά πεδία.
Εισαγωγή
Διαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε πολλές περιοχές της επιστήμης και τεχνολογίας. Ανακύπτουν κάθε φορά που η σχέση μεταξύ συνεχώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων (που περιγράφονται από συναρτήσεις) και του ρυθμού μεταβολής με το χρόνο και το χώρο (παράγωγοι των συναρτήσεων) είναι γνωστή. Ή όταν μια τέτοια σχέση μπορεί να υποτεθεί προκειμένου να μοντελοποιήσουμε και να περιγράψουμε φυσικά φαινόμενα, τεχνικές ή φυσικές διεργασίες, δυναμικά συστήματα στη βιολογία, στην οικονομία και αλλού. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα προέρχεται από την κλασική μηχανική όπου η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από τη θέση και την ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. Οι Νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουν τη συσχέτιση της θέσης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και των δυνάμεων που επιδρούν στο σώμα. Προκύπτει μια διαφορική εξίσωση όπου άγνωστος είναι η συνάρτηση της θέσης του σώματος με το χρόνο. Σε πολλές περιπτώσεις, η διαφορική αυτή εξίσωση μπορεί να επιλυθεί, δίνοντας το νόμο της κίνησης.
Ένα απλό παράδειγμα, από την καθημερινή ζωή, της ανάγκης σχηματισμού και επίλυσης μιας τέτοιας εξίσωσης είναι ο υπολογισμός της ταχύτητας στην πάροδο του χρόνου ενός αντικειμένου που πέφτει στον αέρα, όπου η δύναμη που το έλκει προς τη γη (οφειλόμενη στη βαρύτητα) παραμένει σταθερή, αλλά η δύναμη της αντίστασης του αέρα, που το επιβραδύνει, εξαρτάται από την ταχύτητά του, δηλαδή από την ίδια τη μεταβολή.
Οι διαφορικές εξισώσεις μελετώνται στα μαθηματικά με πολλούς διαφορετικούς τρόπους θεώρησης, που συνήθως ασχολούνται με τις λύσεις τους, δηλαδή τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση. Μόνο οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις δέχονται λύσεις που δίνονται από αναλυτικούς τύπους. Πολλές ιδιότητες των λύσεων μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης μπορούν να προσδιορισθούν χωρίς να βρεθεί η ακριβής μορφή της λύσης. Ακόμα και όταν η αναλυτική έκφραση της λύσης δεν είναι εφικτή ενδέχεται η λύση να μπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με υπολογιστή. Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων δίνει έμφαση στην ποιοτική ανάλυση συστημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις, ενώ πολλές αριθμητικές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τον υπολογισμό λύσεων με κάποιο δεδομένο βαθμό ακρίβειας.
Κατευθύνσεις μελέτης
Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων αποτελεί ευρύ πεδίο τόσο στα καθαρά μαθηματικά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Μπορούμε να συναντήσουμε πολλά είδη διαφορικών εξισώσεων, με πιο σημαντική ίσως τη διάκριση σε γραμμικές και μη-γραμμικές. Οι ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων, η δυσκολία ή ευκολία με την οποία επιλύονται (αν επιλύονται) διαφέρουν πολύ ανάλογα με το είδος της διαφορικής εξίσωσης. Τα καθαρά μαθηματικά μελετούν μεταξύ άλλων αν μια εξίσωση έχει λύση, και όταν έχει αν αυτή είναι μοναδική. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά δίνουν έμφαση στις διεξοδικές μεθόδους προσέγγισης των λύσεων και στη εξέταση του κατά πόσο οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικές λύσεις. Οι φυσικοί και οι μηχανικοί συνήθως ενδιαφέρονται περισσότερο για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων για διαφορικές εξισώσεις και λιγότερο για εξηγήσεις του αν οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικές λύσεις. Οι λύσεις αυτές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για να προσομοιώσουν την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, την προσομοίωση νευρώνων, το σχεδιασμό γεφυρών, αυτοκινήτων, αεροπλάνων, υδραυλικών συστημάτων, κλπ. Συνήθως οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν στους τομείς των εφαρμογών δεν έχουν λύσεις κλειστής μορφής και λύνονται με αριθμητικές μεθόδους που δουλεύουν αρκετά καλά για το δεδομένο πρόβλημα, όπως για παράδειγμα η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων που έχει εφαρμοστεί με επιτυχία για την επίλυση των μερικών διαφορικών που προκύπτουν στη μηχανική και αλλού.
Τα μαθηματικά μελετούν ακόμα τις ασθενείς λύσεις, μια κλάση λύσεων που δεν απαιτείται να είναι παραγωγίσιμες παντού. Αυτή η επέκταση είναι συχνά απαραίτητη για την ύπαρξη λύσεων, και δίνει αποτελέσματα όπου οι ιδιότητες των λύσεων είναι φυσικά ερμηνεύσιμες, όπως για παράδειγμα η πιθανή ύπαρξη κρουστικών αποκρίσεων σε εξισώσεις υπερβολικής μορφής.
Η μελέτη της ευστάθειας των λύσεων διαφορικών εξισώσεων λέγεται θεωρία ευστάθειας.
Είδη διαφορικών εξισώσεων
Συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.
Μερική διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση πολλαπλών ανεξάρτητων μεταβλητών και των μερικών παραγώγων τους.
Υστερημένη διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή δίδεται σε σχέση με τιμές της συνάρτησης σε προηγούμενες στιγμές.
Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία ένας ή περισσότεροι όροι είναι στοχαστικές διαδικασίες, που σημαίνει ότι η λύση είναι και η ίδια στοχαστική διαδικασία.
Διαφορική αλγεβρική εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς και αλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.
Κάθε μια από αυτές τις κατηγορίες διαιρείται σε γραμμικές και μη γραμμικές υποκατηγορίες. Μια διαφορική εξίσωση λέγεται γραμμική όταν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της εμφανίζονται στη δύναμη 1 και δεν υπάρχουν γινόμενα ή συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Διαφορετικά η διαφορική εξίσωση λέγεται μη γραμμική. Έτσι, αν το u' είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης u, τότε η εξίσωση
u'= u
είναι γραμμική ενώ η εξίσωση
\( u' = u^2 \)
είναι μη γραμμική. Λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση ή η παράγωγός (ή παράγωγοί) της εμφανίζονται σε κάθε όρο (γραμμικές ομογενείς εξισώσεις) μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σταθερά δίνοντας επιπλέον λύσεις της εξίσωσης, αλλά δεν υπάρχει γενικός τρόπος να βρεθούν οικογένειες λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, εκτός όταν εκδηλώνουν συμμετρίες (Βλ. συμμετρίες). Γραμμικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις, και οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο κάτω από περιορισμένες συνθήκες.
Άλλο ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της, ο οποίος είναι ο βαθμός της μεγαλύτερης παραγώγου (μιας εξαρτημένης μεταβλητής) που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα, μια διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους, όπως στα δύο παραπάνω παραδείγματα.
Σχέση με τις εξισώσεις διαφορών
Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων συσχετίζεται με τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, στις οποίες οι μεταβλητές παίρνουν μόνο διακριτές τιμές, και η σχέση περιέχει τιμές της άγνωστης συνάρτησης ή συναρτήσεις και τιμές σε παραπλήσιες συντεταγμένες. Πολλές μέθοδοι για τον υπολογισμό αριθμητικών λύσεων διαφορικών εξισώσεων ή τη μελέτη ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων περιέχουν προσέγγιση της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης από τη λύση μιας αντίστοιχης εξίσωσης διαφορών.
Καθολικότητα της μαθηματικής περιγραφής
Μεγάλος αριθμός θεμελιωδών νόμων της φυσικής και της χημείας μπορούν να εκφραστούν ως διαφορικές εξισώσεις. Στη βιολογία και τα οικονομικά χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων αναπτύχθηκε αρχικά μαζί με τις επιστήμες στις οποίες προκύπτουν οι εξισώσεις και στις οποίες χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα. Παρ'όλα αυτά, διάφορα προβλήματα, πολλές φορές από αρκετά διαφορετικούς τομείς, μπορεί να ανάγονται σε ταυτόσημες διαφορικές εξισώσεις. Όταν συμβαίνει αυτό, η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων εκλαμβάνεται ως η αρχή που ενοποιεί τα ποικίλα αυτά φαινόμενα. Για παράδειγμα, θεωρήστε την διάδοση του φωτός και του ήχου στην ατμόσφαιρα, και τη διάδοση των κυμάτων στην επιφάνεια μιας λίμνης. Όλα μπορούν να περιγραφούν από την ίδια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την κυματική εξίσωση, που επιτρέπει την αντιμετώπιση του φωτός και του ήχου σαν κύματα, όπως τα κοινά κύματα στην επιφάνεια του νερού. Η μετάδοση της θερμότητας, της οποίας τη θεωρία ανέπτυξε ο Ζοζέφ Φουριέ, κυβερνάται από μια διαφορετική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την εξίσωση θερμότητας. Προέκυψε ότι πολλές διεργασίες διάχυσης, φαινομενικά διαφορετικές, περιγράφονται τελικά από την ίδια εξίσωση. Η εξίσωση Μπλάκ-Σόλ στα χρηματοοικονομικά για παράδειγμα, σχετίζεται με την εξίσωση διάδοσης της θερμότητας.
Διάσημες διαφορικές εξισώσεις
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα στην δυναμική (μηχανική)
Οι εξισώσεις Χάμιλτον στην κλασική μηχανική
Η ραδιενεργή φθορά στην πυρηνική φυσική
Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα στη θερμοδυναμική
Η κυματική εξίσωση
Οι εξισώσεις του Μάξουελ στον ηλεκτρομαγνητισμό
Η εξίσωση θερμότητας στη θερμοδυναμική
Η εξίσωση Λαπλάς, η οποία ορίζει αρμονικές συναρτήσεις
Η εξίσωση Πουασόν
Η εξίσωση πεδίων του Αϊνστάιν στη γενική σχετικότητα
Η εξίσωση Σρέντιγκερ στην κβαντομηχανική
Η εξίσωση γεωδαισίας
Η εξίσωση Ναβίερ-Στόουκς στη δυναμική υγρών
Οι εξισώσεις Λότκα-Βολτέρρα στη δυναμική πληθυσμών
Οι εξισώσεις Χότζκιν-Χάξλεϋ στην διάδοση δυναμικού δράσης σε νευρώνα
Η εξίσωση Μπλάκ-Σολ στα χρηματοοικονομικά
Οι εξισώσεις Κοσύ-Ρίμαν στη μιγαδική ανάλυση
Οι εξισώσεις ρηχού νερού
Βιβλιογραφία
Σταυρακάκης Ν., Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εκδ. Παπασωτηρίου, 1997
Stephenson G., Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 1987
William E. Boyce, Richard C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 8th Edition, 2005
Γράφοντας τις σημειώσεις στη σειρά από πάνω ως κάτω, προκύπτει ο αριθμός σε δυαδική μορφή. Δηλαδή, 11012 = 1310. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε σύστημα, χρησιμοποιώντας κάθε φορά τις δυνάμεις της βάσης του εκάστοτε συστήματος αρίθμησης (οκταδικό, δεκαεξαδικό κτλ.).
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
