.
Στα Μαθηματικά, το δέλτα του Κρόνεκερ (ή αλλιώς σύμβολο του Κρόνεκερ) είναι η διακριτή εκδοχή της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ.
Αυστηρότερα, το δέλτα του Κρόνεκερ ορίζεται με τον εξής τρόπο:
\( \delta_{ij}=\begin{cases} 0, \ i\ne j \\ 1, \ i=j \end{cases} \)
Μιγαδική ανάλυση
Στα πλαίσια της μιγαδικής ανάλυσης, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή του παρακάτω ολοκληρώματος βρόχου:
\( \delta_{mn}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}z^{m-n-1}dz \)
όπου m,n ακέραιοι και i η φανταστική μονάδα. Ο βρόχος C ταυτίζεται με τον μοναδιαίο κύκλο.
Γραμμική άλγεβρα
Στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας, το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διάστασης N×N όπου Ν είναι ο συνολικός αριθμός των (θετικών) ακεραίων τιμών που μπορούν να πάρουν οι δείκτες.
Συγκεκριμένα, αν i,j=1,2,3 τότε το δέλτα του Κρόνεκερ μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός 3×3 πίνακα:
\( \delta_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Στην αναπαράσταση πίνακα λοιπόν, το δέλτα του Κρόνεκερ ταυτίζεται με τον μοναδιαίο πίνακα.
Ιδιότητες
Σε τρεις διαστάσεις (i,j=1,2,3) το δέλτα του Κρόνεκερ παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:
\( \delta_{ii}=3 \ \ \ \)
\( \delta_{ij}\epsilon_{ijk}=0 \)
\( \epsilon_{ipq}\epsilon_{jpq}=2\delta_{ij} \)
\( \epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}=\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp} \)
όπου \( \epsilon_{ijk} \) το σύμβολο μετάθεσης. Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης του Αϊνστάιν.
Πηγές
Wolfram Mathworld. «Kronecker Delta».
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
