ART

 

.

Τα αξιώματα Χίλμπερτ της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ορίζονται ως εξής:

Έστω Χ ένα μη κενό σύνολο που τα στοιχεία του ονομάζουμε σημεία {Α,Β,Γ,...}. Το σύνολο Χ θα το λέμε Γεωμετρικό χώρο. Κάθε υποσύνολο του Γεωμετρικού χώρου θα το λέμε Σχήμα.
Μέσα στο Γεωμετρικό χώρο δεχόμαστε δυο βασικές κατηγορίες από υποσύνολα, τις ευθείες {α,β,γ,...} και τα επίπεδα {Ρ,Q,R,S,..., }


Τα είδη των μαθηματικών αντικειμένων

Στο σύστημα του Χίλμπερτ τα αρχικά μαθηματικά αντικείμενα είναι τριών ειδών: τα «σημεία», οι «ευθείες» και τα «επίπεδα», που συνδέονται μεταξύ τους με τις σχέσεις του «ανήκειν», του «μεταξύ» και της «ισοδυναμίας». Το σύστημα του Χίλμπερτ εξετάζει τις αρχικές αυτές έννοιες και τις σχέσεις τους και οι πέντε ομάδες αξιωμάτων που εισάγει συνιστούν έμμεσο ορισμό των αρχικών αντικειμένων και των σχέσεων τους.

  1. (Ι) Τα αξιώματα σύνδεσης («ανήκειν») ορίζουν τις ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης μεταξύ σημείων, ευθειών και επιπέδων .
  2. (II) Τα αξιώματα διάταξης ορίζουν τις ιδιότητες της αμοιβαίας θέσης σημείων πάνω σε μια ευθεία ή ένα επίπεδο.
  3. (III)Τα αξιώματα σύνδεσης ισοδυναμίας ορίζουν την έννοια της «ισότητας» δύο τμημάτων ή γωνιών.
  4. (IV) Τα αξιώματα συνέχειας .
  5. (V) Το αξίωμα παραλληλίας

Τα αξιώματα σύνδεσης είναι οκτώ

Τα αξιώματα διάταξης είναι τέσσερα:

Τα αξιώματα σύνδεσης ισοδυναμίας είναι πέντε:

Η γωνία ορίζεται ως το σχήμα που αποτελείται από δύο διαφορετικές ημιευθείες με κοινό αρχικό σημείο.

Τα αξιώματα συνέχειας είναι δύο

Το αξίωμα παραλληλίας

Τα θεωρήματα (ύπαρξης) του Γεωμετρικού Χώρου

1. Θεώρημα: Αν τρία σημεία είναι πάνω σε ευθεία τότε κάθε ένα από αυτά είναι πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα δυο άλλα.

2.Θεώρημα: Υπάρχει σημείο που είναι έξω από δοσμένη ευθεία.

3. Θεώρημα: Αν δυο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο τότε η τομή τους είναι ευθεία.

4. Θεώρημα: Αν τέσσερα σημεία δεν είναι πάνω στο αυτό επίπεδο, τότε δεν υπάρχει τριάδα από αυτά που να είναι πάνω σε ευθεία.

5. Θεώρημα: Υπάρχει σημείο έξω από δοσμένο επίπεδο.

6. Θεώρημα: Υπάρχουν δυο ευθείες που δεν είναι πάνω στο ίδιο επίπεδο.

7. Θεώρημα: Υπάρχουν δυο επίπεδα.

8. Θεώρημα: Ευθεία και σημείο έξω από αυτή ορίζουν ακριβώς ένα επίπεδο.

9. Θεώρημα: Από δυο τεμνόμενες ή παράλληλες ευθείες ορίζεται ακριβώς ένα επίπεδο.

10. Θεώρημα: (Αστέρος) Εάν ευθείες τέμνονται ανά δυο και δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, τότε περνούν από το ίδιο σημείο.

11. Θεώρημα: (Ημιεπίπεδο) Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο S και μία ευθεία του α. Τα σημεία τα διαφορετικά της ευθείας α να ανήκουν σε δυο υποσύνολα, στο S1 και στο S2 . Τα υποσύνολα S1,S2 τα καθορίζουμε έτσι,

Ε1: Αν To σημείο A ανήκει στο S1 και το Β ανήκει στο S1 το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ δεν έχει κοινά σημεία με την α;
Ε2 : Αν A ανήκει στο S1 και Γ ανήκει στο S2 τότε το ΑΓ έχει κοινό σημείο με την α. Τα σύνολα S1,α,S2 αποτελούν ένα διαμερισμό του S. Τα σημειοσύνολα S1, και S2 ονομάζονται ανοικτά Ημιεπίπεδα ενώ S1 με την α ή S2 με την α κλειστά Ημιεπίπεδα με αρχική ευθεία την α και φορέα το S. Τα Ημιεπίπεδα με την αρχική ημιευθεία και τον ίδιο φορέα ονομάζονται αντίθετα.

12. Θεώρημα: (Θέση σημείου και επιπέδου) Ας θεωρήσουμε ένα επίπεδο S και ένα σημείο Α τότε

Ε1: το Α ανήκει στοS
Ε2: το A δεν ανήκει στο S

13. Θεώρημα: (Ημίχωρος) Θεωρούμε επίπεδο S τότε και τα σημεία του χώρου διαμερίζονται σε τρία σύνολα Χ1 Χ2S:

Ε1: Αν τα σημεία {Α,Β}ανήκει στο Χ1, ή Χ2 το ευθύγραμμο τμήμα AB δεν τέμνει το S και
Ε2: Αν Α ανήκει στο Χ1Γ ανήκει στο Χ2 τότε ΑΓ και S έχουν ένα κοινό σημείο με το S. (ίχνος ευθείας και επιπέδου).
Ε3: Τα σημειοσύνολα Χ1 Χ2 τα ονομάζουμε ανοιχτούς ημίχωρουs, ενώ τα Χ1 με το S ή Χ2με το S κλειστούs ημίχωρους. Τα σημεία Α,Β λέμε ότι είναι προς το ίδιο μέρος του S ενώ τα Α,Γ από τη μια και την άλλη μεριά του S.

14. Θεώρημα: (θέση ευθείας και επίπεδου) Θεωρούμε ευθεία α και επίπεδο S, Τότε,

Ε1: Αν ή ευθεία α και το επίπεδο S έχουν δυο κοινά σημεία τότε, από το αξίωμα ΙΙΙ, η α είναι υποσύνολο του S ή βρίσκεται στο S (α∈S).
E2: Αν η ευθεία α και το S.έχουν ένα κοινό σημείο α τομή S ={A} (α∩S={A}) τότε το Α λέγεται κοινό σημείο τής ευθείας με το επίπεδο ή ίχνος, και θα λέμε ότι ή ευθεία και το επίπεδο τέμνονται.
Ε3: Εάν α τομή S=κενό τότε λέμε ότι η α είναι παράλληλη στο S . (α// S).

15. Θεώρημα: (Θέση δυο ευθειών) Θεωρούμε δυο ευθείες α και β.

Ε1: Αν οι α, β είναι υποσύνολα του ίδιου επιπέδου, τότε λέγονται συνεπίπεδες ή συμβατές.

Άρα ή θα είναι παράλληλές ή θα τέμνονται ή, θα ταυτίζονται»..

E2: Oι α, β δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο θα τις λέμε ασύμβατεs ή στρεβλέs.

16. Θεώρημα θέσης δύο επιπέδων Έστω δυο επίπεδα P,S.

Ε1: Αν τα επίπεδα περιέχουν τρία σημεία Α,Β,Γ διάφορα που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, λέμε ότι ταυτίζονται P τομή S = Ρ=S ή Ρ=S (Ρ∩S=P=S).
Δυο επίπεδα που δεν ταυτίζονται λέγονται διάφορα ή διακεκριμένα (P διάφορο S) .
Ε2: Αν σημείο Α∈P και Α∈S και Ρ διάφορο του S, τότε έχον κοινή και μία ευθεία και θα λέμε ότι τέμνονται κατά μία ευθεία, έστω α δηλαδή P τομή S=α (Ρ∩S=α).
Ε3: Αν P τομή S=κενό τότε τα επίπεδα λέγονται παράλληλα. Ρ// S.

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών

Κόσμος

Αλφαβητικός κατάλογος

Hellenica World - Scientific Library

Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License