.
Στα Μαθηματικά, μια αβελιανή ομάδα ή αντιμεταθετική ομάδα είναι μια ομάδα \( (A,\circ ) \) στην οποία, πέρα από τις συνήθεις ιδιότητες, η πράξη της έχει και αυτή της αντιμεταθετικότητας, δηλαδή κάθε όρος της ομάδος αντιμετατίθεται με τους υπόλοιπους. Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel) διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του. Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά, ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».
Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα ισοϋπόλοιπα (modules), οι διανυσματικοί χώροι κ.ά..
Ορισμός
Μια αβελιανή ομάδα είναι ένα σύνολο Α εφοδιασμένο με μια πράξη \( {\displaystyle \circ } \) η οποία συνδιάζει δύο στοιχεία a και b δίνοντας μας ένα στοιχείο της ομάδος\( {\displaystyle a\circ b} \) Με τις ιδιότητες της ομάδος (κλειστότητα,μεταθετικότητα,ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου ,ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου) μαζί με αυτή της αντιμεταθετικότητας .Δηλαδή για καθε \( {\displaystyle a,b\in A} \) έχω \({\displaystyle a\circ b=b\circ a} \) .
Παραδείγματα
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση. (\( {\displaystyle a+b=b+a} \)
Κάθε κυκλική ομάδα G είναι αβελιανή . γιατι αν x, y ανήκουν G, τότε xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. Οι ακέραιοι, Z, φτιάχνουν μια αβελιανή ομάδα με πράξη την προσθεση , συνεπώς είναι αβελιανή και ακέραιοι modulo ''n'', Z/nZ.
Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
