.
Η Άλγεβρα είναι ένας από τους σημαντικούς τομείς των μαθηματικών όπως η θεωρία των αριθμών, η γεωμετρία και η ανάλυση. Στην πιο γενική της μορφή, η άλγεβρα είναι η μελέτη των μαθηματικών συμβόλων και των πράξεων που διαχειρίζονται αυτά τα σύμβολα, είναι το ενοποιητικό νήμα σχεδόν όλων των μαθηματικών.
Ετυμολογία
Η λέξη άλγεβρα προέρχεται από την αραβική λέξη al-jebr (αλ-τζεμπαρ) που σημαίνει ένωση σπασμένων μερών και αρχικά αναφέρονταν σε μια χειρουργική επέμβαση.
Διαφορετικές ερμηνείες της λέξης "Άλγεβρα"
Η λέξη " Άλγεβρα " έχει διάφορες ερμηνείες στα Μαθηματικά, ως ενιαία λέξη ή με "προσδιοριστικά".
Ως ενιαία λέξη χωρίς άρθρο, η "άλγεβρα" υποδηλώνει ένα ευρύ μέρος των μαθηματικών.
Ως ενιαία λέξη με άρθρο ή στον πληθυντικό, η "άλγεβρα" υποδηλώνει μια συγκεκριμένη μαθηματική δομή. Παραδείγματα περιλαμβάνουν τη θεωρία δακτυλίων και την Άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο. Γενικότερα, στην "καθολική άλγεβρα", μπορεί να αναφέρεται σε οποιαδήποτε δομή.
Με "προσδιοριστικό", υπάρχει ο ίδιος διαχωρισμός:
Χωρίς άρθρο, υποδηλώνει ένα μέρος της άλγεβρας, όπως η γραμμική άλγεβρα, η στοιχειώδης άλγεβρα (κανόνες που διδάσκονται στα "στοιχειώδη μαθήματα των μαθηματικών" σαν μέρος της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης), ή η "αφηρημένη άλγεβρα".
Ιστορία
Oι ρίζες της άλγεβρας βρίσκονται στους αρχαίους Αιγύπτιους και Βαβυλώνιους που χρησιμοποίησαν μια πρώιμη μορφή άλγεβρας για να λύσουν προβλήματα που σήμερα λύνονται με γραμμικές εξισώσεις αλλά επίσης μπορούσαν να λύσουν εξισώσεις με περισσότερες από μία λύσεις, σε αντίθεση με τους Αιγύπτιους, τους Έλληνες ή τους Κινέζους της εποχής που έλυναν εξισώσεις με γεωμετρικούς τρόπους.Την εποχή του Πλάτωνα, τα μαθηματικά στην Ελλάδα είχαν αλλάξει δραματικά. Οι αρχαίοι Έλληνες κατάφεραν να συνδυάσουν την άλγεβρα με την γεωμετρία στην οποία οι αλγεβρικοί όροι εκφράζονταν από τις πλευρές γεωμετρικών σχημάτων, συνήθως γραμμές, που ονομάζονταν με γράμματα του ελληνικού αλφάβητου.
Οι ελληνιστικοί μαθηματικοί όπως ο Ήρων της Αλεξάνδρειας, ο Διόφαντος και Ινδοί μαθηματικοί όπως ο Brahmagupta συνέχισαν το έργο των Αιγυπτίων και των Βαβυλώνιων παρ' όλο που το έργο του Διόφαντου "Αριθμητική" και το βιβλίο Brahmasphutasiddhanta του Brahmagupta (που περιείχε την πρώτη ολοκληρωμένη λύση σε εξίσωση 2ου βαθμού) θεωρούνται υψηλότερου επιπέδου. Αργότερα οι Άραβες μαθηματικοί ανέπτυξαν αλγεβρικές μεθόδους υψηλότερου βαθμού από τις υπόλοιπες της εποχής τους.
Ο όρος άλγεβρα προέρχεται από τον Άραβα μαθηματικό Αλ Χουαρίζμι (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) ,ο οποίος τον χρησιμοποιούσε στο βιβλίο του al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala , που σημαίνει "το συνοπτικό βιβλίο για υπολογισμούς με μεταφορά και απλοποίηση", το οποίο έγραψε περί το 820 μ.Χ. Η ίδια η λέξη "al-jabr" σημαίνει την μεταφορά ενός όρου από το ένα μέλος μιας σχέσης στο άλλο. Ως πατέρας της άλγεβρας θεωρείτε ο Διόφαντος αλλά πολλοί υποστηρίζουν οτι θα έπρεπε να είναι ο Αλ Χουαρίζμι, μια και στο έργο του αντιμετωπίζει την άλγεβρα ως ξεχωριστό κλάδο και εισάγει πολλές έννοιες που ήταν μέχρι τότε άγνωστες, όπως την μεταφορά ενός όρου στο άλλο μέλος της σχέσης και την απάλειψη ίδιων όρων από τα δύο μέλη.
Ο Πέρσης μαθηματικός Omar Khayyam έθεσε τα θεμέλια της αλγεβρικής γεωμετρίας και βρήκε τη γεωμετρική λύση της κυβικής εξίσωσης ( \( ax^3+bx^2+cx+d \) με α≠0). Ένας άλλος Πέρσης μαθηματικός, ο Sharaf al-Dīn al-Tūsī ασχολήθηκε επίσης με τις κυβικές εξισώσεις και ήταν ο πρώτος που εργάστηκε πάνω στις συναρτήσεις. Το 13ο αιώνα η λύση της κυβικής εξίσωσης του Fibonacci είναι αντιπροσωπευτική της αρχής της αναβίωσης της Ευρωπαϊκής άλγεβρας.
Τα βήματα προς τη σύγχρονη άλγεβρα ξεκίνησαν από τον François Viète το 16ο αιώνα. Σημαντικό βήμα ήταν η επίλυση εξισώσεων 3ου και 4ου βαθμού στα μέσα του 16ου αιώνα. Η ιδέα της ορίζουσας ξεκίνησε από τον Ιάπωνα μαθηματικό Kowa Seki το 17ο αιώνα και συνεχίστηκε ανεξάρτητα 10 χρόνια μετά από τον Gottfried Leibniz για να λυθούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με τη βοήθεια πινάκων. Ο Gabriel Cramer εργάστηκε πάνω σε πίνακες και ορίζουσες τον 18ο αιώνα.Ο Joseph-Louis Lagrange μελέτησε τις μεταθέσεις το 1770 στο βιβλίο του Réflexions sur la résolution algébrique des équations που περιέγραφε λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων. Ο George Peacock ήταν αυτός που ξεκίνησε την χρήση αξιωμάτων στην αριθμητική και στην άλγεβρα. Ο Augustus De Morgan ανακάλυψε τη σχετική άλγεβρα στο βιβλίο του Syllabus of a Proposed System of Logic.
Τέλος ο Josiah Willard Gibbs ανέπτυξε την άλγεβρα που αφορά τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο ενώ ο Arthur Cayley ασχολήθηκε με τη σχέση μεταξύ άλγεβρας και πινάκων.
Τομείς των μαθηματικών με το όνομα άλγεβρα
Στοιχειώδης Άλγεβρα, το μέρος της άλγεβρας που διδάσκεται στα δημοτικά σχολεία.
Αφηρημένη Άλγεβρα, στην οποία αναλύονται ο αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες, οι δακτύλιοι και τα πεδία αξιωματικά.
Γραμμική Άλγεβρα, όπου μελετώνται οι ιδιότητες των γραμμικών εξισώσεων, των διανυσματικών χώρων και των πινάκων.
Αντιμεταθετική Άλγεβρα, στην οποία αναλύονται οι αντιματαθετικοί δακτύλιοι.
Υπολογιστική Άλγεβρα, όπου εκτελούνται οι αλγεβρικές μέθοδοι ως αλγόριθμοι και προγράμματα ηλεκτρικών υπολογιστών.
Ομολογική Άλγεβρα, η μελέτη αλγεβρικών δομών σε τοπολογικούς χώρους.
Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, στην οποία μελετώνται οι ιδιότητες των αριθμών από αλγεβρική σκοπιά,
Αλγεβρική Γεωμετρία, τομέας της γεωμετρίας, στην πρωτόγονη μορφή της, που προσδιορίζει καμπύλες και επιφάνειες ως λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων.
Συνδυαστική Άλγεβρα,στην οποία χρησιμοποιούνται αλγεβρικές μέθοδοι για την μελέτη συνδυαστικών ερωτημάτων.
Η άλγεβρα ως κλάδος των μαθηματικών
Η άλγεβρα ξεκίνησε με υπολογισμούς παρόμοιους με αυτούς της αριθμητικής, με γράμματα στη θέση αριθμών ως μεταβλητές.Αυτό οδήγησε στην απόδειξη ιδιοτήτων που επαληθεύονται για κάθε αριθμό. Για παράδειγμα στην τετραγωνική εξίσωση \( ax^2 +bx+c=0 \) τα a,b,c είναι σταθεροί αριθμοί (με την προϋπόθεση ότι το a δεν είναι 0) και χρησιμοποιώντας τη διακρίνουσα μπορούμε να βρούμε τις τιμές του x που την επαληθεύουν. Η άλγεβρα έχει εξελιχθεί και πραγματεύεται αντικείμενα που δεν είναι αριθμοί όπως διανύσματα, πίνακες ή πολυώνυμα. Οι κατασκευαστικές ιδιότητες των παραπάνω αντικειμένων γενικότερα μπορούν να ορίσουν τις αλγεβρικές δομές όπως ομάδες ή δίκτυα. Πριν το 16ο αιώνα τα μαθηματικά χωρίζονταν σε δυο ομάδες, την αριθμητική και την γεωμετρία. Παρ' όλο που μερικές μέθοδοι που είχαν αναπτυχθεί παλαιότερα μπορούν να θεωρηθούν σήμερα ως άλγεβρα η εμφάνιση της άλγεβρας έγινε μόλις τον 16ο ή 17ο αιώνα. Από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα εμφανίστηκαν πολλά νέα πεδία των μαθηματικών περισσότερα εκ των οποίων χρησιμοποιούν και γεωμετρία και αριθμητική ενώ σχεδόν όλα χρησιμοποιούν άλγεβρα.
Στοιχειώδης Άλγεβρα
Η στοιχειώδης Άλγεβρα είναι η πιο βασική μορφή της Άλγεβρας. Διδάσκεται στους μαθητές που δεν έχουν καμιά γνώση των μαθηματικών πέρα από τις βασικές αρχές τις αριθμητικής. Στην αριθμητική εμφανίζονται μόνο αριθμοί και αριθμητικές πράξεις μεταξύ τους, ενώ στην άλγεβρα οι αριθμοί συχνά αναπαριστώνται από σύμβολα τα οποία ονομάζονται μεταβλητές.
Αυτό είναι χρήσιμο γιατί:
Επιτρέπει την γενική διατύπωση των αριθμητικών νόμων (π.χ. a+b=b+a, για κάθε a,b ) και ως εκ τούτου είναι το πρώτο βήμα για τη συστηματική διερεύνηση των ιδιοτήτων του συστήματος των πραγματικών αριθμών.
Επιτρέπει την αναφορά σε <<άγνωστο>> αριθμό, η διατύπωση των εξισώσεων και η μελέτη για την επίλυσή τους. (Για παράδειγμα,<<Βρείτε έναν αριθμό x ώστε 3x + 1 = 10>> ή σε άλλες περιπτώσεις <<Βρείτε έναν αριθμό x ώστε ax + b = c>>).
Επιτρέπει τη διαμόρφωση των συναρτησιακών σχέσεων. (Για παράδειγμα, «Αν πουλάτε x εισιτήρια, τότε το κέρδος σας θα είναι 3x - 10 δολάρια, ή f (x) = 3x - 10, όπου f είναι η συνάρτηση, και x είναι η μεταβλητή δηλαδή ο αριθμός στον οποί θα ψάχνουμε την τιμή της συνάρτησης>>).
Πολυώνυμα
Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση που μας δίνει το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού μη μηδενικών όρων, κάθε όρος που αποτελείται από το γινόμενο μιας σταθεράς και έναν πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών υψωμένων σε κάποια δύναμη. Για παράδειγμα, \( x^2 + 2x − 3 \) είναι ένα πολυώνυμο με μεταβλητή το x. Ένα πολυώνυμο μπορεί να ξαναγραφτεί ως πολυώνυμο, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αντιμεταθετικότητας, προσεταιριστικότητας και επιμεριστικότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, (x - 1) (x + 3) είναι μια πολυώνυμική έκφραση, η οποία τυπικά μιλώντας, δεν είναι ένα πολυώνυμο. Μια πολυωνυμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από ένα πολυώνυμο.
Δυο σημαντικά προβλήματα ως αναφορά τα πολυώνυμα, τα οποία σχετίζονται με την άλγεβρα είναι η παραγοντοποίηση πολυωνύμων, δηλαδή για ένα δεδομένο πολυώνυμο να βρεθούν πολυώνυμα που το γινόμενό τους ισούται με αυτό και και κανένα από αυτά δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί περαιτέρω, καθώς και ο υπολογισμός του μέγιστου κοινού διαιρέτη για παραπάνω από ένα πολυώνυμα.
Για παράδειγμα το πολυώνυμο \( x^2 + 2x − 3 \) παραγοντοποιείται ως (χ-1)(χ+3).
Δείτε επίσης
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Explanation of Basic Topics
Sparknotes' Review of Algebra I and II
Diophantus, Father of Algebra
History of Algebra
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
