.
Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:
\( \mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\} \)
συμβολίζεται με το γράμμα \mathbb{Z}, αρχικό της λέξης Zahlen που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.
Το σύνολο \( \mathbb{Z} ορίζεται επίσης ως εξής:
\( \mathbb{Z}=\{x-y:x,y\in\mathbb{N}\} \)
.
Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο \aleph_0 (άλεφ-μηδέν).
Αλγεβρικές Ιδιότητες
Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς προσθεση και πολλαπλασιασμο και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.
Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδη απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.
| Πρόσθεση | Πολλαπλασιασμός | |
| \( a+b\in\mathbb{Z}\) | \(a\times b\in\mathbb{Z} \) | σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις |
| \( a+b=b+a\, \) | \( \times b=b\times a\) | αντιμεταθετική ιδιότητα |
| \( a+(b+c)=(a+b)+c\,\) | \(a\times (b\times c)=(a\times b)\times c \) | προσεταιριστική ιδιότητα |
| \( a+0=a\,\) | \( a\times 1=a\) | ουδέτερο στοιχείο |
| \( a+(-a)=0\, \) | δεν υπάρχει | αντίθετο στοιχείο |
| \( a\times(b+c)=(a\times b) + (a\times c) \) | επιμεριστική ιδιότητα | |
Διάταξη
Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:
... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...
Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.
Κατασκευή
Représentation des classes d'équivalence pour les nombres de -5 à 5
Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη.
Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.
Θεωρούμε το σύνολο \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)
των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:
\( (a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b. \)
Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \,/\! \sim \) ορίζει τους φυσικούς αριθμούς \( \mathbb{Z}. \)Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους (a, b) τη συμβολίζουμε με [(a, b)] ή a- b. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .
Ένας ακέραιος αριθμός (a, b) είναι θετικός, όταν a > b, αρνητικός όταν a < b και 0 όταν a = b. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:
\( [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)].\, \)
\( [(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)].\, \)
Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζευγους:
\( -[(a,b)] = [(b,a)].\, \)
Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:
\( [(a,b)]<[(c,d)] \Leftrightarrow a+d < b+c.\, \)
Πληθάριθμος
Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο \( \aleph_0 \)(άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπάρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης \( f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N} \), σύναρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:
\( f(x) = \begin{cases} 2|x|, & x < 0 \\ 2x+1, & x \ge 0. \end{cases} \)
Δείτε επίσης
Σύνολο των
φυσικών αριθμών \(\N \)
ρητών αριθμών \(\Q \)
πραγματικών αριθμών\( \R \)
μιγαδικών αριθμών \( \C. \)
Hellenica World - Scientific Library
Από τη ελληνική Βικιπαίδεια http://el.wikipedia.org . Όλα τα κείμενα είναι διαθέσιμα υπό την GNU Free Documentation License
