Υπερτέλειος αριθμός

Στη θεωρία αριθμών, ένας υπερτέλειος αριθμός ή υπερβολικός αριθμός είναι ένας αριθμός για τον οποίο το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του είναι μεγαλύτερο από τον ίδιο τον αριθμό. Ο ακέραιος αριθμός 12 είναι ο πρώτος υπερτέλειος αριθμός. Οι γνήσιοι διαιρέτες του είναι 1, 2, 3, 4 και 6 για συνολικά 16. Το ποσό κατά το οποίο το άθροισμα υπερβαίνει τον αριθμό αποκαλαλείται αφθονία. Ο αριθμός 12 έχει μια αφθονία 4, για παράδειγμα.

Ορισμός

Ένας αριθμός n για τον οποίο το άθροισμα των διαχωριστών σ (n)> 2n, ή, ισοδύναμα, το άθροισμα των γνησίων διαιρετών (ή αθροίσματος μικρού μεγέθους) s (n)> n.

Η αφθονία είναι η τιμή σ (n) - 2n (ή s (n) - n).
Παραδείγματα

Οι πρώτοι 28 υπερτέλειο αριθμοί είναι:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... (ακολουθία A005101 στο OEIS).

Για παράδειγμα, οι γνήσιοι διαιρέτες των 24 είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8 και 12, των οποίων το άθροισμα είναι 36. Επειδή το 36 είναι περισσότερο από 24, ο αριθμός 24 είναι υπερτέλειος. Η αφθονία του είναι 36 - 24 = 12.

Ο μικρότερος υπερτέλειος περιττός αριθμός είναι 945.
Ο μικρότερος υπερτέλειος αριθμός που δεν διαιρείται με το 2 ή το 3 είναι 5391411025 του οποίου οι διακριτοί πρωταρχικοί παράγοντες είναι 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29 (ακολουθία Α047802 στον OEIS). Ένας αλγόριθμος που δόθηκε από τον Iannucci το 2005 δείχνει πώς να βρει τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δεν διαιρείται από τους αρχικούς k πρώτους αριθμούς . Εάν A (k) αντιπροσωπεύει τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δεν διαιρείται από τους αρχικούς k πρώτους αριθμούς τότε για όλα τα ϵ> 0 έχουμε

\( (1- \ epsilon) (k \ ln k) ^ { 2- \ epsilon} <\ ln A (k) <(1+ \ epsilon) (k \ ln k) ^ {2+ \ epsilon} ]) \)

για αρκετά μεγάλο k.

Υπάρχουν άπειροι άρτιοι και περιτοι υπερτέλειοι αριθμοί .
Το σύνολο των υπερτέλειων αριθμών έχει μη μηδενική φυσική πυκνότητα. Ο Marc Deléglise έδειξε το 1998 ότι η φυσική πυκνότητα του συνόλου των υπερτέλειων αριθμών και των τέλειων αριθμών κυμαίνεται μεταξύ 0,2474 και 0,2480.
Κάθε πολλαπλάσιο (πέραν του 1) ενός τέλειου αριθμού είναι υπερτέλειος . Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι υπερτέλειος επειδή \( {\ displaystyle 1 + {\ tfrac {n} {2}} + {\ tfrac {n} {3}} + {\ tfrac {n } {6}} = n + 1.} \)
Κάθε πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού είναι υπερτέλειος . Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο των 20 (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του 20) είναι υπερτέλειος επειδή \( {\ displaystyle {\ tfrac {n} {2}} + {\ tfrac {n} {4}} + {\ tfrac { n} {5}} + {\ tfrac {n} {10}} + {\ tfrac {n} {20}} = n + {\ tfrac {n} {10}}.} \)
Κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από το 20161 μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα δύο υπερτέλειων αριθμών. [5]
Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι ημι-τέλειος αριθμός ονομάζεται περίεργος αριθμός. [6] Ένας υπερτέλειος αριθμός με αφθονία 1 ονομάζεται ημι-τέλειος αριθμός, αν και κανένας δεν έχει βρεθεί ακόμη.