2) In dem aus Geminos entlehnten Mathematikerverzeichnis, dessen Autorschaft auf Eudemos von Rhodos, den Schüler des Aristoteles, zurückzuführen ist, erwähnt Proklos (in I. Eucl. elem. libr. 67, 11 Friedlein) neben Menaichmos auch dessen Bruder D. und hebt beide, nächst Platon und Eudoxos, als Förderer des gesamten geometrischen Wissens hervor. Die Blütezeit des Menaichmos, eines Zuhörers des Eudoxos und Freundes des Platon, fällt in die Mitte des 4. Jhdts. v. Chr.; damit ist zugleich die Epoche des D., nur unter Vorbehalt der Correctur, die möglicherweise durch einen erheblichen Altersunterschied zwischen beiden Brüdern bedingt sein könnte, bestimmt. Durch Pappos (synag. IV 250ff. Hu.) wissen wir Näheres über die Entdeckung des D., dass eine von Hippias von Elis erfundene Curve die Eigenschaft habe, eine der Peripherie des Kreises gleiche Gerade nahezu construierbar zu machen und somit auf geometrischem Wege der Lösung des Problemes der Kreisquadratur möglichst sich zu nähern. Daher nannte er diese Curve τετραγωνίζουσα, und so ist sie noch heute als Quadratrix des D. bekannt. Ihre Genesis ist bereits Bd. II S. 527, 20ff. im Vergleich mit der archimedischen Spirale kurz dargestellt worden; die genauere Beschreibung giebt, wahrscheinlich im engsten Anschlusse an die von D. gewählte Formulierung, Pappos 252, 5–25, worauf er 256, 2–258, 19 die apagogische Beweisführung folgen lässt und dann zeigt, dass, wenn in ein Quadrat ABCD der Kreisquadrant AC und die Quadratrix AE eingeschrieben werden, wobei die Gerade BE < BC sich ergiebt, das Verhältnis BE : BC gleich dem Verhältnisse von BC zu Quadrant AC ist. Danach könne man, wie Pappos zum Schluss bemerkt, eine der ganzen Kreisperipherie gleiche Gerade construieren und den Flächeninhalt des Kreises in der von Archimedes κύκλου μέτρ. 1 (o. Bd. II S. 519ff.) angegebenen Weise darstellen. Bretschneider Geometrie vor Euklides 153f. Hankel Gesch. der Mathem. 151f. Tannery Bull. des sciences mathém. 2e série, VII 1, 278ff. Allman Greek Geometry 180ff. Loria Le scienze esatte nell’ antica Grecia I 148ff. Cantor Vorles. über Gesch. der Mathem. I² 183. 233f. Zeuthen Gesch. der Mathem. 77f.

Gegen die Beweisführung des D. hat Sporos von Nikaia (bei Pappos IV 252, 26 – 254, 24) Einwendungen erhoben, die Pappos als begründet anerkennt. Erstens sei es unmöglich, wenn man nicht das Verhältnis von AB : AGC bereits kenne, die Gerade AD mit constanter Geschwindigkeit in einer zu BC stets parallelen Richtung in der gleichen Zeit bis BC hinabzuführen, in welcher der Punkt A die Peripherie AGC durchläuft. [2397] Diese Ausstellung ist nicht zu billigen, weil man AGC in n kleinste, einander gleiche Abschnitte teilen und die Zeit bestimmen kann, in welcher je ein Abschnitt durchlaufen werden soll. Nachdem man auch AB in n einander gleiche Abschnitte zerlegt hat, steht nichts der Forderung
entgegen, dass jeder Abschnitt ${\displaystyle \frac{AB}{n}}$ in derselben
Zeit wie jeder Abschnitt ${\displaystyle \frac{AGC}{n}}$ durchlaufen werde.

Also werden auch die Zeiten, in denen der Punkt A nach den gegebenen Voraussetzungen einerseits die ganze Gerade AB und andererseits die ganze Peripherie AGC durchläuft, einander gleich sein. Um dies vor Augen zu führen, würde die Präcisionsmechanik, welche genau in einer Viertelstunde den grossen Zeiger der Uhr einen Viertelkreis mit gleichmässiger Geschwindigkeit beschreiben lässt, sehr wohl auch im stande sein, in derselben Zeit und ebenfalls in gleichmässiger Geschwindigkeit in der Ebene ABC eine Gerade wie AD in stets paralleler Lage zu BC bis zur Congruenz mit BC sich bewegen zu lassen.

Mehr ins Gewicht fällt der zweite von Sporos erhobene Einwand. Die Schnittpunkte der sich abwärts bewegenden Geraden AD mit dem wie ein Uhrzeiger sich bewegenden Radius BG, z. B. in unserer Figur Punkt F, lassen sich sowohl construieren als auch auf mechanischem Wege entwickeln mit der einzigen Ausnahme des Punktes E, in welchem die Quadratrix auf BC auftreffen soll. Denn sowie der Radius BG mit BC zusammenfällt, kann er die Quadratrix AFE nicht mehr schneiden, mithin auch nicht ihren Endpunkt E anzeigen. Nun liesse sich sehr wohl, wie aus der apagogischen Beweisführung bei Pappos zu erkennen ist (vgl. Zeuthen 69. 78. 166ff.), ganz im Sinne der alten Geometer der Punkt E durch das Exhaustionsverfahren bestimmen, indem man zuerst einen Quadranten, wie KL, zieht, der die Quadratrix in F schneidet, und von F aus das Lot FH fällt. Punkt E liegt dann zwischen H und L. Wenn man nun den Winkel GBC durch die Gerade BG’ halbiert und auf dieser den Punkt F’ bestimmt, in welchem sie mit der Quadratrix sich schneidet, so wird man durch eine ähnliche Construction wie vorher zwei Punkte H’ und L’ erhalten, deren jeder näher an E liegt als H, bezw. L. Durch wiederholte Winkelhalbierungen werden sich dann Punkte wie H’’, H’’’ ... einerseits, und L’’, L’’’... andererseits construieren lassen, welche immer mehr dem Punkte E sich nähern, so dass die Abstände stetig kleiner und zuletzt unendlich klein sein werden. Damit würde am Ende Punkt E bestimmt sein. ^[1] Allein die Aufgabe, die Gerade [2398] BE zu messen und nach diesem Masse, wie D. es wollte, eine dem Viertel der Kreisperipherie gleiche Gerade zu finden, musste für die alten Geometer unlösbar bleiben. Das hat Archimedes wohl erkannt, und deshalb von D. blos den Satz von dem der Kreisfläche gleichen rechtwinkligen Dreiecke entlehnt, sodann aber die von diesem aufgestellte Proportion BE : BC = BC’: Periph. AC, in welcher zunächst nur BC gegeben war, so dass die Aufgabe auf die Gleichung x : Rad.
= Rad.: ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ hinauslief, dadurch gelöst, dass er das Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser = π : 1, mithin auch das Verhältnis des Viertels
des Kreisumfanges zum Radius = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}:\frac{1}{2}}$ durch Umgrenzung bestimmte. Damit hat er, obgleich nichts darüber überliefert ist, auch den Punkt E der Quadratrix und die Gerade BE bestimmt;
denn aus der Gleichung ${\displaystyle \frac{\pi }{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{2}:x}$ berechnet sich für x, d. i. BE, der Wert ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$.
Zur Kreismessung des Archimedes haben wir also noch das Corollarium hinzuzufügen, dass wenn der Wert π bestimmt ist, sein Reciprocum das Mass einer Geraden darstellt, die von dem Centrum eines Kreises bis zu dem Punkt, in welchem die in einen Quadranten des Kreises eingezeichnete Quadratrix die Basis des Quadranten berührt, sich erstreckt. Auch darauf ist hinzuweisen, dass die Quadratrix AFE ja nur den vierten Teil einer entsprechenden geschlossenen Curve darstellt. Wenn man die ganze Curve als den Normalschnitt eines Rotations-Sphäroides betrachtet, so ist die grosse Axe der Curve gleich dem Diameter der das Sphäroid umschliessenden Kugel, die kleine Axe = ${\displaystyle \frac{2}{\pi }}$.