Μετρικά, Ήρων ο Αλεξανδρεύς

.

Ήρων ο Αλεξανδρεύς

Μετρικά

{ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Α
ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ}
Ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει
λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς
κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη· χρειώδους
δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ
πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ
σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ
διανομῶν· καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοη–
θέντα θεωρήματα, προσεδεήθησαν ἔτι περισσοτέρας
ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι,
καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβε–
βληκότων τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς
Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, δι´ ἧς ὁ κύλιν–
δρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ
καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς
ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς
ἄλληλα. καὶ πρὸ[ς] τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον
ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετρα–
πλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ
καὶ ὅτι τὸ στερεὸν
αὐτῆς δύο τριτημόριά ἐστι τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν
κυλίνδρου
καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ τυγχάνει. ἀναγκαίας οὖν ὑπαρ–
χούσης τῆς εἰρημένης πραγματείας καλῶς ἔχειν ἡγη–
σάμεθα συναγαγεῖν, ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα
ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προ〈ς〉εθεωρήσαμεν.
ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων μετρήσεων, συμπα–
ραλαμβάνοντες τοῖς ἐπιπέδοις καὶ τὰς ἄλλας ἐπιφανείας
κοίλας ἢ κυρτὰς, ἐπειδήπερ πᾶσα ἐπιφάνεια ἐκ δύο
〈δια〉στάσεων ἐπινοεῖται. αἱ δὲ συγκρίσεις τῶν εἰρη–
μένων ἐπιφανειῶν γίγνονται πρός τι χωρίον εὐθύ–
γραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, εὐθύγραμμον μὲν, ἐπεὶ
ἡ εὐθεῖα ἀμετάπτωτός ἐστι παρὰ τὰς ἄλλας γραμμάς·
πᾶσα γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν εὐθεῖαν ἐφαρμόζει, αἱ
δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. 〈...〉
διὸ πρὸς ἑστηκός τι, λέγω δὲ τὴν εὐθεῖαν, ἔτι δὲ καὶ
πρὸς τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν σύγκρισιν ἐποιήσαντο·
πάλιν γὰρ πᾶσα ὀρθὴ ἐπὶ πᾶσαν ὀρθὴν ἐφαρμόζει, αἱ
δ´ ἄλλαι οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. καλεῖται δὲ πῆχυς μὲν
ἐμβαδὸς, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν
ἔχῃ πήχεος ἑνός· ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται,
ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς
ἑνός. ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις
λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη.
πάλιν δ´ αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμ–
βάνει πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθο–
γώνιον, πάντη ἰσόπλευρον· τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων
ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός· ἢ
πάλιν πρὸς τὰ τούτων μέρη. δι´ ἣν μὲν οὖν αἰτίαν
πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἡ σύγκρισις γίνεται, εἴρηται,
ἑξῆς δὲ ἀρξώμεθα τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις μετρήσεων.
ἵνα οὖν μὴ καθ´ ἑκάστην μέτρησιν πόδας ἢ πήχεις ἢ
τὰ τούτων μέρη ὀνομάζωμεν, ἐπὶ μονάδων τοὺς ἀριθ–
μοὺς ἐκθησόμεθα· ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί
τις μέτρον ὑποτίθεσθαι.
Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες 〈τὸ ΑΒΓΔ ἔχον〉 τὴν
μὲν ΑΒ μονάδων ε, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ. εὑρεῖν
αὐτοῦ 〈τὸ ἐμβαδόν〉. ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον
ὀρθογώνιον 〈περιέχεσθαι λέ〉γεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περι〈εχουσῶν εὐθειῶν〉 καὶ ἔστι τὸ
ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον 〈τοιοῦτο, τὸ〉 ἐμ–
βαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε. 〈ἐὰν γὰρ
ἑκατέρα πλευρὰ〉 διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας
ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως 〈εἰς τὰς γ μονάδας καὶ δι〉ὰ τῶν
τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλο–
γράμμου πλευραῖς, ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς
χωρία ιε, ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α. κἂν τετρά–
γωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον, ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον
τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων
γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τρι–
γώνου καὶ 〈τὴν ὑποτείνουσαν. προσανα〉πεπληρώσθω
τὸ ΑΒΓΔ 〈παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ〉 τὸ
ἐμβαδὸν, ὡς ἐπάνω 〈δέδεικται, μονάδων ιβ. τὸ δὲ ΑΒΓ
τρίγωνον〉 ἥμισύ ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ 〈παραλληλογράμμου·
ἔσται οὖν〉 τοῦ ΑΒ〈Γ〉 τριγώνου 〈τὸ ἐμβαδὸν μονάδων
ϛ· καὶ〉 ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν 〈ἡ πρὸς τῷ Β γωνία, τὰ ἀπὸ
τῶν ΑΒ ΒΓ〉 τετράγωνα ἴσα ἐστὶν 〈τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ
τετραγώνῳ.〉 καὶ ἔστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ 〈τετράγωνα
μονάδων κε· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς〉 ΑΓ ἄρα ἔσται μονάδων κε·
αὐτὴ 〈ἄρα ἡ ΑΓ μονάδων ε. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη·〉
τὰ μὲν γ ἐπὶ τὰ δ ποιήσαντα λαβεῖν 〈τὸ ἥμισυ τούτων·
γίνεται ϛ· τοσούτων〉 τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. καὶ
〈...... τὰ γ〉 ἐφ´ ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ ὁμοίως τὰ δ ἐφ´ ἑαυτὰ
〈ποιήσαντα συνθεῖναι〉· καὶ γίγνονται κε· καὶ τούτων
πλευρὰν λαβόντα ἔχειν 〈τοῦ τριγώνου τὴν〉 ὑποτείνουσαν.
Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν
ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν 〈τῶν〉 ἴσων μονάδων ι.
τὴν δὲ ΒΓ [τῇ ΑΓ 〈καὶ〉 ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι
〈τὴν δὲ ΒΓ〉] μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοῦ[ς] 〈τὸ ἐμ–
βαδὸν.〉 ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΔ. καὶ διὰ μὲν
τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ
τῇ ΑΔ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, Γ〈Ζ〉· διπλάσιον
ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ
τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές
ἐστι καὶ κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ
ΔΓ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ· ἡ ἄρα ΒΔ ἐστὶ
μονάδων ϛ. ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι· ἡ ἄρα ΑΔ ἔσται
μονάδων η, ἐπειδήπερ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς
ἀπὸ τῶν ΒΔ ΔΑ· 〈ὥστε καὶ〉 ἡ ΒΕ ἔσται μονάδων η.
ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ. τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλλη–
λογράμμου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων Ϟϛ· ὥστε τοῦ
ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη. ἡ δὲ
μέθοδός ἐστιν αὕτη· λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ· γίνονται
ϛ· καὶ τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται ρ. ἄφελε τὰ ϛ ἐφ´
ἑαυτὰ, ἅ ἐστι λϛ· γίγνονται λοιπὰ ξδ. 〈τούτων πλευρὰ
γίνεται η·〉 τοσούτου ἔσται ἡ ΑΔ κάθετος. 〈καὶ τὰ
ιβ ἐπὶ τὰ η· γίνονται〉 Ϟϛ. τούτων τὸ ἥμισυ. 〈γίνονται
μη· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου〉.
Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων 〈τὰς γωνίας
δεῖ ἐπισκέ〉ψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ
τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν, ἤτοι ἐντὸς τῶν
γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός· ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον
τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν.
καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α
γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀ〈μβλεῖ〉α ἢ ὀξεῖα· εἰ
μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν 〈τοῖς〉
ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνοις, δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν
ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα· εἰ δὲ μεῖζον,
δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ὑπο–
κείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν
ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς
τῷ Α γωνία. εἰ γὰρ οὐκ ἔσται ὀξεῖα, ἤτοι ὀρθή ἐστιν
ἢ ἀμβλεῖα. ὀρθὴ μὲν οὖν οὔκ ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ
τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ
τετραγώνοις· οὐκ ἔστιν δέ· οὐκ ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ
πρὸς τῷ Α γωνία. οὐδὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν· ἔδει γὰρ
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν
ΓΑ ΑΒ τετραγώνων· οὐκ ἔστιν δέ· οὐδὲ ἄρα ἀμβλεῖα
ἐστιν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ὀρθή· ὀξεῖα ἄρα ἐστίν.
ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τε–
τράγωνον μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων,
ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία.
Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν
μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ 〈ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν
δὲ ΑΓ μονάδων ιε.〉 εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. φα–
νερὸν 〈........... ὅτι〉 ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β
γωνία· τὸ 〈γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον〉
ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ 〈ΒΓ τετραγώνων. κάθετος
ἤχθω ἐπὶ〉 τὴν ΒΓ ἡ ΑΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ 〈τῷ
δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ ἔλασσόν〉 ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ
ΒΓ ὡς 〈..............〉 δέδεικται. καὶ ἔστι τὰ μὲν
ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ 〈μονάδων τξε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς〉 ΑΓ
μονάδων 〈ς〉κε· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ 〈τῶν ΓΒ ΒΔ
μονάδων ρμ· τὸ ἄρα〉 ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ ἔσται
μονάδων ο. καὶ 〈ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων〉 ιδ· ἡ ἄρα ΒΔ
ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ 〈ἴσον ἐστὶ〉
τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΒ· καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ
μονάδων ρξθ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΔ μονάδων κε·
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἔσται μονάδων ρμδ.
αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΔ ἔσται μονάδων ιβ. ἔστι δὲ καὶ ἡ
ΒΓ μονάδων ιδ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ ΑΔ ἔσται
μονάδων ρξη. καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον·
τὸ 〈ἄρα〉 ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων πδ. ἡ δὲ
μέθοδος ἔσται τοιαύτη· τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ·
καὶ τὰ ιδ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρϞϛ· καὶ τὰ ιε ἐφ´
ἑαυτά· γίγνεται σκε· 〈σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρϞϛ·
γίγνεται τξε· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε·〉 γίγνεται
λοιπὰ ρμ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ο· παράβαλε παρὰ
τὸν ιδ· γίγνεται ε· καὶ τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ.
ἀφ´ ὧν ἄφελε τὰ ε ἐφ´ ἑαυτά· λοιπὰ ρμδ. τούτων
πλευρὰ γίγνεται ιβ· τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα
πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ· γίγνεται ρξη· τούτων τὸ
ἥμισυ πδ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον
τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια,
τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ
τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπ´ αὐτὴν κάθ–
ετος ἤχθω ἡ ΑΔ. τὸ 〈ἄρα〉 ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν
ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΔ. καὶ ἔστιν
〈τὸ〉 μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ
μονάδων 〈ρκα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ· τὸ ἄρα δὶς
ὑπὸ〉 τῶν ΓΒ ΒΔ μονάδων ρι. τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν
ΓΒ ΒΔ ἔστιν 〈μονάδων νε.〉 καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων
ια· ἡ ἄρα ΒΔ ἔσται μονάδων ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων
ιγ· ἡ ἄρα ΑΔ ἔσται μονάδων ιβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονά–
δων 〈ια· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ〉 ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ.
καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ〈Γ〉 τριγώνου. τὸ ἄρα ΑΒΓ
τρίγωνον ἔσται μονάδων ξ 〈ϛ〉. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται
[ἡ] αὕτη. τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτὰ γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ια ἐφ´
ἑαυτά· γίγνεται ρκα· καὶ τὰ κ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται υ.
σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρκα· γίγνεται σϞ· ταῦτα ἄφελε
ἀπὸ τῶν υ· λοιπὰ ρι. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται νε.
παράβαλε παρὰ τὸν ια· γίγνεται ε. καὶ τὰ ιγ ἐφ´
ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἄφελε τὰ ε ἐφ´ ἑαυτά· λοιπὰ
ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ. ἔσται ἡ κάθετος
μονάδων ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται ρλβ. τούτων τὸ
ἥμισυ ξϛ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμε–
τρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν
διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιη–
σόμεθα.
Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ
ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον
πλευρὰ 〈ὁ〉 ὑπὸ ΑΒ〈Γ〉 περιεχόμενος ἀριθμός. ἐπεὶ
γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως ὅ τε ἀπὸ
ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενον
ἀριθμὸν καὶ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετρά–
γωνον, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς
τὸν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ
τετράγωνον. ἐπεὶ οὖν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχου–
σιν, ἔσται ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου
τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ τετράγωνος ἐπὶ τὸν
ἀπὸ τοῦ ΒΓ ἴσος ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐφ´ ἑαυτόν.
τοῦ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον πλευρά
ἐστιν ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός.
Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευ–
ρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
εὑρεῖν χωρὶς καθέτου· οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου
πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ
τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται
ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε
ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ
γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ
τὸν δ· γίγνονται σμ· ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται ψκ·
τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τρι–
γώνου. ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι,
ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως·
ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ
καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ·
γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο· πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται
νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϛ#γʹ. ἔσται
ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϛ#γʹ. τὰ γὰρ κϛ#γʹ
ἐφ´ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛʹ· ὥστε τὸ διάφορον μονάδος
ἐστὶ μόριον λϛʹ. ἐὰν δὲ βουλώμεθα ἐν ἐλάσσονι μορίῳ
τοῦ λϛʹ τὴν διαφορὰν γίγνεσθαι, ἀντὶ τοῦ ψκθ τάξο–
μεν τὰ νῦν εὑρεθέντα ψκ καὶ λϛʹ, καὶ ταὐτὰ ποιή–
σαντες εὑρήσομεν πολλῷ ἐλάττονα 〈τοῦ〉 λϛʹ τὴν δια–
φορὰν γιγνομένην.
ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε· τρι–
γώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν.
δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντα[ϛ] μίαν κάθετον καὶ
πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου
τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν
πορίσασθαι.
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἔστω ἑκάστη
τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγε–
γράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ΔΕΖ, οὗ κέντρον
ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ΔΗ,
ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι
τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ
τριγώνου, 〈τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ΔΗ τοῦ ΑΒΗ τριγώνου〉·
τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ
τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΔΕΖ
κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐκβεβλή–
σθω ἡ ΓΒ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα
ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΔ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ΔΒ
τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ
ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν
ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ
ἀπὸ τῆς ΕΗ· ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ
ἐμβαδὸν ἐφ´ ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς
ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ
οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν
κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα
ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ
αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα
τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας τα〈ῖ〉ς ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ
καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗΔ ταῖς ὑπὸ τῶν
ΑΗΓ, ΔΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας
εἶναι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗΔ τῇ ὑπὸ 〈Γ〉ΛΒ.
ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ
ἴση· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΔ τρίγωνον τῷ ΓΒΛ
τριγώνῳ. ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΒΛ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ,
τουτέστιν ἡ ΒΘ πρὸς ΕΗ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΓΒ
πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς
ΚΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΒΛ τῇ ΕΗ, καὶ
συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ·
ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ 〈ΘΒ〉,
οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΚ, τουτέστι
πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· ἐν ὀρθογωνίῳ γὰρ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς
ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς
ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, 〈οὗ〉 πλευρὰ ἦν τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὸ
ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ,
ΓΕ· ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ
ΑΒΓ τριγώνου, ἡ δὲ ΒΘ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ
ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ, ἡ δὲ ΒΕ ἡ ὑπερ–
οχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ,
ἡ δὲ ΕΓ 〈ἡ〉 ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περι–
μέτρου τῆς ΑΒ, ἐπειδήπερ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ τῇ
ΓΖ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΑΖ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΑΔ ἐστὶν ἴση.
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒ〈Γ〉 τριγώνου.
συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων 〈ιγ〉,
ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων ιε. σύνθες
τὰ ιγ καὶ ιδ καὶ ιε· καὶ γίγνεται μβ. ὧν ἥμισυ·
γίγνεται κα. ὕφελε τὰς ιγ· λοιπαὶ η· εἶτα τὰς ιδ·
λοιπαὶ ζ· καὶ ἔτι τὰς ιε· λοιπαὶ ϛ. τὰ κα ἐπὶ τὰ η,
καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ζ, καὶ ἔτι τὰ γενόμενα ἐπὶ
τὸν ϛ· συνάγονται ͵ζνϛ· τούτων πλευρὰ 〈πδ.〉 τοσού–
του ἔσται τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν.
Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν
δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης 〈τῆς〉 καθέτου,
ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν
εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν
ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ
μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ. ἀκολούθως δὴ
τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ
ΓΒΔ μονάδων κ· ἡ ἄρα ΒΔ ἔσται μονάδος α, καὶ
τὸ ἀπ´ αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἔσται
μονάδων ξγ. ἀλλὰ
καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ
μονάδων ρ· τὸ ἄρα
ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ
ΑΔ ἔσται μονάδων
͵ϛτ. τούτου δὲ πλευ–
ρά ἐστιν ὁ ὑπὸ
ΒΓ ΑΔ [ἐφ´ ἑαυ–
τόν]· ὁ ὑπὸ τῶν
ΒΓ ΑΔ ἄρα ἐφ´
ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ͵ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ
ΒΓ ΑΔ ἐφ´ ἑαυτὸ μονάδων ͵αφοε· ὧν γὰρ τετραγώ–
νων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπ´
αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ
δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΑΔ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ
τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνά–
μει ͵αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς
λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέ–
του. τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζ#δʹ ηʹ ιϛʹ. δε–
ήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμ–
βαδὸν εὑρεῖν· ἔστι δὲ λθ#ηʹ ιϛʹ.
Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓΔ ὀρθὰς
ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίας, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΔ
μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν ΓΔ. τετμήσθω
δίχα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω
διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ ἐπὶ τὸ Ζ.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΗΓ.
κοιναὶ προσ–
κείσθωσαν αἱ
ΑΔ ΒΗ· συν–
αμφότερος
ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ
συναμφοτέρῳ
τῇ ΑΔ ΒΓ ἴση
ἐστίν. δοθεῖ–
σα δέ ἐστιν
συναμφότε–
ρος ἡ ΑΔ ΒΓ,
ἐπεὶ καὶ ἑκα–
τέρα αὐτῶν· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ,
τουτέστι δύο αἱ ΒΗ· καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα.
ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλό–
γραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ
ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕΔ πεντάπλευρον·
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ
τραπεζίῳ ἴσον ἐστί. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ
παραλληλόγραμμον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓΔ τρα–
πέζιον. ἡ δὲ ΓΔ εὑρεθήσεται οὕτως· ἤχθω κάθετος
ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΔ, δοθεῖσα ἄρα
καὶ ἡ ΒΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ δο–
θεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΘ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΑΒ·
καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ ΓΔ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως·
σύνθες τὰ ϛ καὶ τὰ ια· γίγνεται ιζ. τούτων τὸ ἥμισυ·
γίγνεται η#. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρβ· τοσούτου
ἄρα τὸ ἐμβαδόν. ἡ δὲ ΔΓ οὕτως· ὕφελε ἀπὸ τῶν ια
τὰ ϛ· καὶ γίγνεται λοιπὰ ε. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται
κε· καὶ τὰ ιβ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρμδ. πρόσθες τὰ κε·
γίγνεται ρξθ. τούτων πλευρὰ γίγνεται 〈ιγ·〉 τοσούτων
ἔσται ἡ ΔΓ.
Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓΔ ἴσην
ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονά–
δων ιγ, ἡ δὲ ΑΔ
μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ
μονάδων ιϛ· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ
τὴν κάθετον. ἤχθω
τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ
ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω
ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παρ–
αλληλόγραμμον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΑΕΓΔ. ἴση
ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΑΕ·
ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων
ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές
ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν,
ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονά–
δων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ
ΑΒ, ΓΔ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ 〈ἤχθωσαν〉
αἱ ΚΗΛ, ΜΘΝ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγω–
νον τῷ ΒΗΛ, τὸ δὲ ΔΜΘ τῷ ΓΝΘ· ὥστε κοινοῦ
προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘΔ ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ
ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓΔ τραπεζίῳ. καὶ
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ΔΜ τῇ ΓΝ,
αἱ ἄρα ΑΚ ΔΜ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προσ–
τεθεισῶν τῶν ΑΔ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ,
τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ ΑΔ ΒΓ ἴση. καὶ
ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ ΑΔ ΒΓ· ἔστι γὰρ μονάδων
κβ· ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ· 〈αὐτὴ
ἄρα ἡ ΚΜ〉 μονάδων ια. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ·
ἴση γάρ ἐστι τῇ Α 〈Ζ· τὸ ἄρα ΚΛΝΜ〉 παραλληλό–
γραμμον ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓΔ
τραπεζίῳ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓΔ τραπέζιον μονάδων
ρλβ. 〈συντε〉θήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως·
ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ· γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων
τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίγνονται κε· καὶ
τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε· λοιπὰ
ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται 〈ιβ·〉 ἔσται ἡ κάθετος
μονάδων ιβ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· σύνθες τὰ ιϛ καὶ
τὰ ϛ· γίνονται κβ· ὧν ἥμισυ· γίγνονται ια· 〈ταῦτα〉 ἐπὶ
τὴν κάθετον· γίγνεται ρλβ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓΔ ὀξεῖαν
ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ
μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΓΔ μονάδων κ, ἡ δὲ ΑΔ μονάδων
ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον
καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ
κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ· ἡ
δὲ ΓΕ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων κα·
ὥστε διὰ τὸ 〈τὸ〉 ΑΒΕ ὀξυγώνιον τρίγωνον 〈εἶναι〉
ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος μονάδων ιβ. δίχα δὴ τμηθεισῶν
τῶν ΑΒ ΓΔ τοῖς Η, Θ καὶ καθέτων ἀχθεισῶν τῶν
ΚΗΛ ΜΘΝ ὁμοίως τῷ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν
ΑΒΓ 〈Δ〉 τραπέζιον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΛΜΝ παραλληλο–
γράμμῳ, συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ ΑΔ διπλῆ ἐστι τῆς ΚΜ·
καὶ ἔσται ἡ ΚΜ
μονάδων ιϛ#· ἔστι
δὲ καὶ ἡ ΚΛ μονά–
δων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ
ΑΖ· τὸ ἄρα ἐμβα–
δὸν τοῦ τραπεζίου
ἔσται μονάδων
ρϞη. συντεθήσε–
ται δὲ ἀκολούθως
τῇ ἀναλύσει οὕ–
τως· ἄφελε ἀπὸ
τῶν κζ τὰ ϛ· λοιπὰ γίγνεται κα. καὶ τριγώνου ὀξυ–
γωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω
ἡ ΑΖ κάθετος· ἔστιν δὲ μονάδων ιβ, ὡς ἐμάθομεν·
καὶ σύνθες κζ καὶ 〈ϛ〉· γίγνεται τὸ ἥμισυ ιϛ#· ταῦτα
ἐπὶ 〈ιβ· γίγνεται ρϞη〉. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓΔ
ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ
μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΓΔ κ, ἡ δὲ ΑΓ ϛ, ἡ δὲ ΒΔ μονά–
δων ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν.
ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΖ·
ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ ΖΔ μονάδων ϛ·
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ
τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ.
καὶ ὁμοίως τοῖς ἐπάνω δειχθήσεται τὸ ὑπὸ συναμφο–
τέρου τῆς ΒΔΑΓ καὶ τῆς ΑΕ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓΔ
τραπεζίου· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων
ρλη. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιζ τὰ ϛ·
λοιπὰ ια· καὶ τριγώνου ἀμβλυγωνίου τῶν πλευρῶν
δοθεισῶν ιγ, ια, κ εὑρήσθω ἡ κάθετος· γίγνεται ιβ· καὶ
σύνθες τὰ ιζ καὶ 〈ϛ·〉 γίγνεται κγ· τούτων τὸ ἥμισυ
γίγνεται ια#· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρλη· τοσούτου
ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου.
Ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν
φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς
δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ
μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκεί–
μενος, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγω–
ν〈ί〉ων 〈ἢ ἀμβλυγωνίων〉, καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται
αὐτῶν 〈τὸ ἐμβαδόν〉. τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετρά–
πλευρα 〈μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ〉 παράλληλον εἶχε·
〈τὸ δὲ παρὸν τὸ Α〉ΒΓΔ τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν
〈ἐχέτω〉 ὀρθὴν, μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλ–
ληλο〈ν καὶ〉 ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, τὴν
μὲν 〈ΑΒ μονάδων〉 ιγ, τὴν δὲ 〈Β〉Γ μονάδων ι,
τὴν δὲ ΓΔ μονάδων κ, τὴν δὲ ΔΑ μονάδων ιζ·
δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐπεζεύχθω ἡ Β〈Δ〉·
καὶ ἐπ´ αὐτὴν κάθετος 〈ἤχθω〉 ἡ ΑΕ. ἐπεὶ ἑκατέρα
τῶν ΒΓ ΓΔ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ [Δ]Γ,
δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓΔ τρίγωνον· καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ
τῆς ΒΔ ἔσται δοθέν· ἔστι γὰρ μονάδων φ· ἀλλὰ καὶ
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέν· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν
ΑΒ ΒΔ· καὶ ἔστι μείζονα τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. ὀξεῖα
ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ ΑΒΔ· τὰ ἄρα
ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς
ΑΔ μείζονά ἐστιν τῷ δὶς ὑπὸ
τῶν ΔΒ ΒΕ. δοθὲν ἄρα ἐστὶν
τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ· ὥστε
καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ
δοθέν ἐστι· καὶ ἔστι πλευρὰ
τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἐπὶ τὸ ἀπὸ
ΒΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ
ΔΒ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΒΔ·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ [Β]ΕΑ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ·
καὶ ἔστιν αὐτοῦ
πλευρὰ τὸ ὑπὸ
ΒΔ ΑΕ. δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ
ΒΔ ΑΕ. καὶ ἔστι
διπλάσιον τοῦ
ΑΒΔ τριγώνου·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ
ΑΒΔ τρίγωνον·
ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓΔ·
ὥστε καὶ ὅλον τὸ
ΑΒΓΔ τετράπλευρον δοθὲν ἔσται. συντεθήσεται δὲ
ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ κ·
γίγνεται σ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρ. καὶ
πάλιν τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ κ ἐφ´ ἑαυτά·
γίγνεται υ. σύνθες· γίγνεται φ. καὶ τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτά·
γίγνεται ρξθ. ταῦτα μετὰ τῶν φ γίγνεται χξθ· ἄφελε
τὰ ιζ ἐφ´ ἑαυτά· λοιπαὶ τπ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται
ρϞ· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται μ<γ>͵ϛρ. ταῦτα παρὰ τὸν
φ· γίγνεται οβ εʹ· ἄφελε ταῦτα ἀπὸ τῶν 〈ρ〉ξθ· γίγνον–
ται λοιπαὶ Ϟϛ#εʹιʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸν φ· γίγνεται 〈μ<δ>͵ηυ.〉
τούτων πλευρὰ γίγνεται σκ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται
ρι· τοσούτου ἔσται τοῦ ΑΒΔ τὸ ἐμβαδόν. ἀλλὰ καὶ
τοῦ 〈ΒΓΔ〉 μονάδων ρ· τοῦ ἄρα ΑΒΓΔ τετραπλεύρου
τὸ ἐμβαδὸν ἔσται 〈σι.〉 [ἔστιν] 〈ὅτι〉 δὲ καὶ ἡ ἀπὸ
τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΓΔ δοθεῖσά ἐστιν,
δείξομεν ἑξῆς.
Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓΔ δοθεῖσαν ἔχον
ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓΔ
γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος
ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΓΔ. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ
κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν
ΒΔ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΒΔ
καὶ ἡ ἐπ´ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ,
ΑΔ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΔ
τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὀρθῇ τῇ
ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ
πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς ΓΔ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος
ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα
ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν
περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα
τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν
ΒΘΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ· ὀρθὴ γὰρ
ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε, Η. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ
ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ· ἴση γάρ ἐστι
τῇ ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν. συντεθή–
σεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ
ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ ΓΔ
μονάδων κ, ἡ δὲ ΔΑ μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ
τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ
κάθετος δυνάμει Ϟϛ#εʹιʹ, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ εʹ, ἡ
δὲ ΒΔ δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΓΔ ἐστὶ μονά–
δων κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων
μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ
πρὸς ρ, τὰ Ϟϛ δ<〈εʹ〉> πρὸς τί· ἔσται πρὸς κδεʹ· τοσούτου
ἔσται τὸ ἀπὸ Ε〈Θ〉. καὶ 〈πο〉λλα 〈πλασιάσαντες〉 τὰ
οβ εʹ ἐπὶ τὰ κδ εʹ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν
λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ
τῶν ΒΕ 〈ΕΘ〉 προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ, ΕΘ,
τουτέστι τοῖς οβ εʹ καὶ κδ εʹ συντεθεῖσιν. καὶ ἕξο–
μεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ. καὶ σύνθες τὰ Ϟϛ # εʹ ιʹ
καὶ κδ εʹ· γίγνεται ρκα. καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ
τὰ κδ εʹ· γίγνεται δυνάμει ͵δτνϛ. μέρισον εἰς τὸν
ρκα· γίγνεται λϛ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνά–
μει λϛ [λοιπὰ δυνάμει λϛ] λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι
μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ· ἔστι δὲ ι· γίγ–
νεται ιε· τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν
ΕΘ δυνάμει κδεʹ, ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ, ἡ δὲ ΑΘ
μήκει ια.
Ἔστω δὴ πάλιν τραπέζιον τὸ ΑΒΓΔ ἔχον τὴν
μὲν πρὸς τῷ Γ ὀρθὴν, τὴν δὲ ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν
δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΓΔ μονάδων η, τὴν δὲ ΑΔ
μονάδων κε. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπεζεύχθω ἡ
ΒΔ. ὁμοίως δὴ ἔσται τοῦ ΒΓΔ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
δοθέν. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ μονάδων ρξδ· ἀλλὰ καὶ
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν
ΑΒ ΒΔ ἔσται μονάδων τλγ. καὶ ἔστιν ἐλάσσονα
τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ. ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ.
ἤχθω δὴ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΔ ἐκβληθεῖσαν ἡ ΑΕ·
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΔ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ μεῖζόν
ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ ΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ
τῶν ΒΔ ΒΕ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ ΒΕ δοθέν
ἐστιν. καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦτο τοῦ ἀπὸ ΒΔ ἐπὶ τὸ
ἀπὸ ΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΔ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ.
ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς
ΕΒ δοθέν ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ε· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ ἐπὶ τὸ
ἀπὸ ΒΔ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ 〈τὸ〉
ὑπὸ τῶν ΑΕ ΒΔ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕ ΒΔ.
καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἥμισυ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον. δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓΔ
τετράπλευρον δοθέν ἐστιν. συντεθήσεται δὲ οὕτως·
τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ η ἐφ´ ἑαυτά·
γίνεται ξδ· ὁμοῦ ρξδ. καὶ τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται
ρξθ· σύνθες· γίγνεται τλγ. καὶ τὰ κε ἐφ´ ἑαυτά·
γίγνεται χκε. ἄφελε τὰ τλγ· γίγνεται λοιπὰ ςϞβ.
τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρμϛ· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίγνεται μονάδες ͵κατις· παρὰ τὸν ρξδ· γίγνεται
ρκθ καὶ <ρξ><ρξδ>· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ λθ
καὶ δ<ρξδʹ> ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ· γίγνεται
͵ϛυ· ὧν πλευρὰ γίγνεται π· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται
μ. ἔσται τοῦ ΑΒΔ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ.
ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓΔ ὁμοίως μ· ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ
τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετρα–
πλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται· ἐὰν δὲ
δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας
τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν
αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν
τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν
πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ
μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν
πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ
ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου
ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν
τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω,
ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυ–
γράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ
τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.
Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ
ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ.
ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ ΑΔ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν
ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς ΒΔ, τετραπλάσιον ἄρα
τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΒΔ. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ
ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΔΒ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΔΒ τετραπλάσιόν
ἐστι τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἐπίτριτον ἄρα ἔσται τὸ ἀπὸ ΒΓ
τοῦ ἀπὸ ΑΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ
λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, καὶ πάντα ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΙ,
τουτέστιν τό τε ἀπὸ ΒΓ ἐφ´ ἑαυτὸ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυνάμεως πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ λόγον ἔχει, ὃν δ
πρὸς γ, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ιβ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ ἐστὶν ἐφ´ ἑαυτό,
τουτέστι δύο τρίγωνα
ἐφ´ ἑαυτά. ἡ ἄρα
ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύ–
ναμις πρὸς δύο τρί–
γωνα ἐφ´ ἑαυτὰ λό–
γον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς
ιβ· δύο δὲ τρίγωνα ἐφ´
ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου
ἐφ´ ἑαυτό ἐστιν τε–
τραπλάσια. ἡ ἄρα
ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμο–
δύναμις πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφ´ ἑαυτὸ λόγον ἔχει, ὃν
ιϛ πρὸς γ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύνα–
μις, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
τριγώνου ἐφ´ ἑαυτό· ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν
ἐστιν. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως.
τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίγνε–
ται μ<α>· τούτων λαβὲ γ<ιϛʹ> γίγνεται ͵αωοε. τούτων πλευ–
ρὰν λαβέ· καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν, εἰλήφθω
ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου. καὶ ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν μγ γʹ.
Λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν
ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ, δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς
τῷ Α. δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ
πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ
ἐπὶ τὸ Δ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπε–
ζεύχθω ἡ ΒΔ. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ
ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ
γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τὴν ὑπὸ
ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ
γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· πενταγώνου ἄρα ἐστὶ
γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ·
τῆς ἄρα ΑΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ
μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ. καὶ ἔστι τῆς ΑΔ ἡμίσεια
ἡ ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πεντα–
πλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ.
Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον
τὸ ΑΒΓΔΕ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι.
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ
περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ,
ΖΔ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ
ὑπὸ τῶν ΓΖΔ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς· ἡ
ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν
ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς
ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ´
ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετρα–
γώνου πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν· ἔστι
δὲ ὁ πα πρὸς 〈ιϛ.〉 συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ
λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ, ὃν θ πρὸς δ. καὶ διελόντι ὁ
ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει 〈ὃ〉ν ε πρὸς δ. καὶ τοῦ
〈ἀπὸ〉 ΓΖ ἄρα πρὸς 〈τὸ〉 ἀπὸ ΖΗ, ὃν κε πρὸς ιϛ. καὶ
λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς 〈τὸ〉 ἀπὸ ΖΗ, ὃν θ πρὸς
ιϛ· τῆς ἄρα ΓΗ πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν γ πρὸς δ·
ὥστε τῆς ΓΔ πρὸς ΖΗ λόγος ἐστὶν, ὃν ϛ πρὸς δ,
τουτέστιν ὃν γ πρὸς β· τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ
ΓΔ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν γ πρὸς β. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ
ἀπὸ τῆς ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΖΗ.
καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖΔ τριγώνου· δοθὲν ἄρα
καὶ τὸ ΓΖΔ τρίγωνον. καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ
ΑΒΓΔΕ πενταγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον.
συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι[ε] ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ.
τούτων τὸ τρίτον· γίνεται λγ γʹ. ταῦτα πεντάκις·
γίγνεται ρξϛ β<γʹ> τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
πενταγώνου ὡς ἔγγιστα· ἐὰν δὲ ἕτερον τετράγωνον
ἑτέρου τετραγώνου πενταπλάσιον μᾶλλον ἐγγίζον λά–
βωμεν, ἀκριβέστερον εὑρήσομεν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ
ΑΒΓΔΕΖ, οὗ
ἑκάστη πλευρὰ
ἀνὰ μονάδας ι.
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδόν. εἰλήφθω
τὸ κέντρον τοῦ
περὶ αὐτὸ κύκλου
τὸ Η, καὶ ἐπεζεύ–
χθωσαν αἱ ΓΗ,
ΗΔ. ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ ΓΔ ἑκα–
τέρᾳ τῶν ΓΗ,
ΗΔ· ἰσόπλευρον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΔ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ
πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗΔ τρίγωνον.
καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ
τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ
ι ἐφ´ ἑαυτά· γίνεται ρ. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίγνονται
μ<α> τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται ͵βφ. ταῦτα εἰκοσάκι
καὶ ἑπτάκι· γίγνεται μ<ϛ> ͵ζφ. τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα·
γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου.
Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον
ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ
ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃ〈ν〉 η πρὸς ζ. ἔστω
γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω
εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἴση τῇ
ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου· καὶ κάθετος ἐπ´ αὐτὴν
ἡ ΑΔ. ἔσται ἄρα ἡ ΑΔ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ
ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ· ἰσό–
πλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον
ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λόγος
ἄρα τῆς ΑΔ πρὸς ΔΒ δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃ[ν] τοῦ
μθ πρὸς ιϛ· καὶ μήκει λόγος τῆς ΑΔ πρὸς ΔΒ, ὃν
ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς ΒΔ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ
ἄρα πρὸς ΔΑ λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.
Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗ,
οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβα–
δόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΕ
ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς ΘΔ πρὸς ΔΕ, ὃν η πρὸς ζ,
πρὸς δὲ τὴν ΔΚ, ὃν η πρὸς γ#, τουτέστιν ὃν ιϛ
πρὸς ζ. ὥστε τῆς Θ[Ε]Κ πρὸς ΚΔ λόγος ὡς ἔγγιστα
ὁ τῶν ιδ γʹ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα.
ὥστε καὶ τῆς ΔΕ πρὸς ΚΘ λόγος, ὃν μβ πρὸς μγ,
τουτέστιν ὃν πδ πρὸς πϛ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΔΕ ἄρα πρὸς
τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΘ λόγος ὁ
αὐτός· ὥστε 〈τοῦ ἀπὸ ΔΕ〉
πρὸς τὸ ΔΘΕ τρίγωνον
λόγος, ὃν πδ πρὸς μγ.
τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ
ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α
πρὸς ζ· καὶ τοῦ ἀπὸ ΔΕ
ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ
πρὸς μγ. καὶ ἔστι δοθὲν
τὸ ἀπὸ ΔΕ· δοθὲν ἄρα
καὶ τὸ ἑπτάγωνον. συν–
τεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι
ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ· γίγνεται ͵δτ.
τούτων τὸ ιβʹ· γίγνεται τνη γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.
Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον
τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι.
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ
περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΔ,
ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ. ἡ ἄρα
ὑπὸ ΔΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε τετάρτου
ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΔΚΛ. συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση
ἡ ὑπὸ ΚΔΜ· τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΚΔΜ· ἡμί–
σους ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς
τῷ Λ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΜΛ. διπλάσιον ἄρα
τὸ ἀπὸ ΔΜ τοῦ ἀπὸ ΜΛ· ἡ ἄρα ΔΜ πρὸς ΜΛ
λόγον ἔχει ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ιβ. ἴση δέ ἐστιν ἡ
ΔΜ τῇ ΜΚ· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΚΜ πρὸς ΜΛ, ὃν
αἱ ιζ πρὸς ιβ. τῆς ἄρα ΚΛ πρὸς ΜΛ, τουτέστι πρὸς
ΔΛ λόγος, ὃν κθ πρὸς ιβ· πρὸς ἄρα τὴν ΔΕ ὃν κθ
πρὸς κδ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ
λόγον ἔχει, ὃν κδ πρὸς κθ· πρὸς ἄρα τὸ ΚΕΔ τρί–
γωνον, ὃν κδ πρὸς ιδ#. πρὸς ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘ
ὀκτάγωνον λόγον ἔχει [τ]ὃν κδ πρὸς ριϛ, τουτέστιν ὃν
ϛ πρὸς κθ. καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ ΔΕ δοθέν· δοθὲν ἄρα
καὶ τὸ ὀκτάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ´
ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ κθ· γίγνεται ͵βϡ. τού–
των τὸ ἕκτον· γίγνεται υλγ γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου.
Ἔστω ἐννάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον
τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚ, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν μονά–
δων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω περὶ
αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
ΕΛ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΖ.
τὸ ἄρα ΕΖΜ τρίγωνον δοθέν ἐστιν τοῦ ἐν〈ν〉αγώνου.
δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι
ἡ ΖΕ τῆς ΕΜ τρίτον μέρος ἐστὶν ὡς ἔγγιστα· τὸ
ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΕ ἐνναπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ.
ὥστε ὀκταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΜΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ· ἐν
γὰρ ἡμικυκλίῳ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία. τὸ
ἄρα ἀπὸ ΜΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ λόγον ἔχει ὡς ἔγγιστα,
ὃν σπθ πρὸς λϛ. ἡ ἄρα ΜΖ πρὸς ΖΕ λόγον ἔχει
ὡς ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ϛ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ
ΕΜΖ τρίγωνον λόγον ἔχει, ὃν λϛ πρὸς να, τουτέστιν
ὃν ιβ πρὸς ιζ. πρὸς ἄρα τὸ ἐν〈ν〉άγωνον λόγον ἔχει,
ὃν ιβ πρὸς οϛ#, τουτέστιν ὃν κδ πρὸς ρνγ, τουτέστιν
ὃν η πρὸς να. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ἐννάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι
ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ να· γίγνεται ͵ερ.
τούτων τὸ ηʹ· γίγνεται χλζ#. τοσούτου ἔσται τοῦ
ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδόν.
Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώ–
νιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονά–
δων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον
τοῦ περὶ αὐτὸ
κύκλου τὸ Μ,
καὶ ἐπεζεύχ–
θωσαν αἱ ΜΕ,
ΜΖ καὶ κάθ–
ετος ἐπὶ τὴν
ΕΖ ἡ ΜΝ.
ἡ ἄρα ὑπὸ
ΕΜΖ γωνία
δύο πέμπτων
ἐστὶν ὀρθῆς·
ὥστε ἡ ὑπὸ
ΕΜΝ πέμ–
πτου ἐστὶν
ὀρθῆς. συν–
εστάτω αὐτῇ
ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ· δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΝΞΕ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ· λόγος ἄρα τῆς ΕΞ
πρὸς ΝΞ, ὃν ε πρὸς δ, πρὸς δὲ τὴν ΕΝ, ὃν ε πρὸς
γ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΞ τῇ ΞΜ, ἡ δὲ ΕΝ τῇ ΝΖ·
ἔσται ἄρα λόγος τῆς ΕΖ πρὸς ΜΝ, ὃν ϛ πρὸς θ,
τουτέστιν ὃν β πρὸς γ. καὶ τοῦ ἀπὸ Ε〈Ζ〉 ἄρα
πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ Μ〈Ν〉, ὃν β πρὸς γ· ὥστε πρὸς τὸ
ΕΖΜ τρίγωνον, ὃν β πρὸς α#· ὥστε πρὸς τὸ δεκά–
γωνον λόγον ἔχει, ὃν β πρὸς ιε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ
ἀπὸ ΕΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δεκάγωνον. συντεθήσεται
δὲ οὕτως. τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ
ιε· γίγνεται ͵αφ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ψν·
τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.
Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώ–
νιον τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛΜ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ
μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω
περὶ αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ν, καὶ ἐπε–
ζεύχθω ἡ ΖΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπε–
ζεύχθω ἡ ΞΗ. τὸ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέ–
κατα τοῦ ἑνδεκαγώνου ἐστίν. δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ
τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι λόγος τῆς ΖΞ πρὸς ΖΗ ὡς
ἔγγιστα ὁ τῶν κε πρὸς ζ, ὁ δὲ τῆς ΞΗ πρὸς ΗΖ
λόγος, ὃν κδ πρὸς ζ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΞ
τρίγωνον λόγος ὁ τῶν μθ πρὸς πδ, τουτέστιν ὁ τῶν
ζ πρὸς ιβ. τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον
λόγος, ὃν β πρὸς ια· ὥστε πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγον
ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὃν ζ πρὸς ξϛ· καὶ ἔστι δοθὲν
τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑνδεκάγωνον. συντε–
θήσεται δὴ οὕτως· τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα
ἐπὶ τὰ ξϛ· γίγνεται ͵ϛχ. τούτων τὸ ἕβδομον· γίγνεται
ϡ μβ ϛ<ζʹ>· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου.
Ἔστω δωδεκάγωνον ἰσοπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον
τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛΜΝ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν
μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ
κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ[ν] κύκλου τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύ–
χθωσαν αἱ ΞΗ, ΞΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΗΖ ἡ ΞΟ.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΞΟ γωνία ἕκτου ἐστὶν ὀρθῆς· συνεστάτω
οὖν αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΞΖΠ. τρίτου ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς
ἡ ὑπὸ ΖΠΟ·
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς
ΠΟ τριπλά–
σιόν ἐστι τοῦ
ἀπὸ τῆς ΟΖ.
λόγος ἄρα τῆς
ΠΟ πρὸς ΟΖ
ὡς ἔγγιστα,
ὃν ζ πρὸς δ·
ὥστε καὶ τῆς
ΖΗ, τουτέστι
τῆς ΞΠ, πρὸς
ΠΟ λόγος ὡς
ἔγγιστα, ὃν η
πρὸς ζ· ὥστε
καὶ τῆς ΖΗ
πρὸς ΞΟ λόγος, ὃν 〈η〉 πρὸς ιε. καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα
πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΗ ΞΟ λόγος, ὃν 〈η〉 πρὸς ιε, πρὸς δὲ τὸ
ΖΗΞ ἄρα τρίγωνον, ὃν 〈η〉 πρὸς ζ. καὶ πρὸς τὸ δωδεκά–
γωνον ἄρα, ὃν η πρὸς Ϟ, τουτέστιν ὃν δ πρὸς με. καὶ
ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δωδεκάγωνον.
συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα
ἐπὶ τὰ με· γίγνεται ͵δφ. τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται
͵αρκε. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δωδεκαγώνου.
Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὔκ ἐστιν ἰσό–
πλευρα καὶ ἰσογώνια, ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρού–
μενα μετρεῖται· τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχημά–
των καὶ καθόλου τῶν ἐπιφανειῶν ὅσαι δύνανται
μετρεῖσθαι, ἑξῆς κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐκθησόμεθα.
Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει
δείκνυσιν, ὅτι ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ
τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίγνεται ὡς ἔγγιστα ιδ
κύκλοις· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι
μονάδων ι, δεήσει τὰ ι ἐφ´ ἑαυτὰ ποιῆσαι· γίγνονται ρ·
ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται ͵αρ· ὧν τὸ ιδʹ. γίγνεται οη#ιδʹ.
τοσούτου δεῖ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
ὁ δὲ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ἐν τῷ περὶ πλιν–
θίδων καὶ κυλίνδρων, ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος
πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα μὲν λόγον ἔχει 〈ἢ ὃν ἔχει〉
μ<κα> ͵αωοε πρὸς μ<ϛ> ͵ζυμα, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὃν ἔχει[ν] μ<ιθ>
͵ζωπη πρὸς μ<ϛ> ͵βτνα· ἀλλ´ ἐπεὶ οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ πρὸς
τὰς μετρήσεις οὐκ εὐθετοῦσι, καταβιβάζονται εἰς ἐλα–
χίστους ἀριθμούς, ὡς τὸν κβ πρὸς τὰ ζ. ὥστε ἐὰν
δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ιδ καὶ
βούληταί τις τὴν περίμετρον εὑρεῖν, δεῖ ποιῆσαι τὰ ιδ
ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων λαβεῖν τὸ ἕβδομον, καὶ ἀποφαί–
νεσθαι τοσούτου τὴν περίμετρον· ἔστι δὲ μονάδων μδ.
καὶ ἀνάπαλιν δὲ, ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ
καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποιήσομεν τὰ
μδ ἑπτάκις καὶ τῶν γενομένων τὸ κβʹ λαβόντες ἕξομεν
τὴν διάμετρον· ἔστι δὲ ιδ. δείκνυσι δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχι–
μήδης ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει
ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ
τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε
ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ, λαβόντες τῆς
διαμέτρου τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες ζ· πολλαπλασιά–
σομεν ἐπὶ τὰ μδ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ λα–
βόντες· εἰσὶ δὲ μονάδες ρνδ· τοσούτου ἀποφα[ι]νούμεθα
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου
ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον πορίσασθαι, λαβόν–
τες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ χωρίου· ἔστω δὲ μονάδων ρνδ·
τούτων τὰ ιδ ἑνδέκατα· ἃ γίγνεται ρϞϛ· καὶ τούτων
πάλιν λαβόντες πλευράν· ἔστι δὲ μονάδων ιδ· τοσού–
του ἀποφανούμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον.
Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ μεταξὺ
τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν
μετρήσαντα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφελόντα ἀπὸ
τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα. ἵνα δὲ μὴ δύο κύκλων
μέτρησιν ποιησώμεθα, δείξομεν οὕτως.
Ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, ὧν
διάμετροι αἱ ΑΒ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὰ
ια ιδʹ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύκλου καὶ
ὁμοίως τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τὰ ια ιδʹ γίγνεται τὸ ἐμβα–
δὸν τοῦ ἐλάσσονος κύκλου, τῆς ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΒ
ΓΔ ὑπεροχῆς τὰ ια ιδʹ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
εἰρημένου χωρίου, ὃ καλεῖται ἴτυς. ἡ δὲ τῶν ἀπὸ
ΑΒΓΔ ὑπεροχὴ τὸ τετράκις ἐστὶν ὑπὸ ΓΒ ΒΔ·
ἐπειδήπερ καὶ 〈τὸ〉 τετράκις ὑπὸ ΓΒ ΒΔ μετὰ τοῦ
ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ ΒΔ.
συναμφότερος δὲ ἡ ΓΒ ΒΔ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ἐπει–
δήπερ καὶ ἡ ΒΔ τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν. ὥστε ἐὰν δοθῇ
ἡ μὲν ΓΔ μονάδων ιδ, ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΓ ΒΔ μονά–
δων ϛ, ἔσται ἡ ΓΒ μονάδων κ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίγνε–
ται ρκ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται υπ· τούτων τὰ ια ιδʹ.
γίγνεται τοζ ζʹ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἴτυος.
Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγρά–
ψομεν ταῦτα. ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια
ἀλλήλων τὰ Α, Β, Γ, Δ ἢ
καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ
μεγίστου τοῦ Α· λέγω ὅτι τὸ
γʹ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς
ΒΓΔ καὶ τῷ γʹ τοῦ Δ· ἐπεὶ
γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι
τοῦ Β, τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ
τέτ〈τ〉αρσι τοῖς Β. τὸ ἄρα
τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β
καὶ τῷ γʹ τοῦ Β. διὰ τὰ
αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γʹ τοῦ Β ἴσον
ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γʹ τοῦ Γ.
ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γʹ ἴσον ἐστὶ τῷ Δ καὶ τῷ γʹ
τοῦ Δ. ὥστε τὸ γʹ τοῦ Α ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓΔ καὶ
τῷ γʹ τοῦ Δ.
Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης
τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς ΑΔ
πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ ΒΔ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν
ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκ–
βεβλήσθωσαν αἱ ΒΔ, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος
ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιον
ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ.
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΗΔΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ
ΗΚΒ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΗΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα
λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΗΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΔ, ΚΒ,
τουτέστιν ἢ ΔΒ πρὸς ΒΚ. ἡ ἄρα ΔΒ τῆς ΒΚ
μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ΔΒ τῆς
ΔΚ, τουτέστι τῆς ΕΖ, ἐλάττων ἐστὶν 〈ἢ〉 ἐπίτριτος.
Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς
ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ΔΒ καὶ δίχα αἱ ΑΒ, ΒΓ
περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε, Ζ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ
ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασ–
σόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.
ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ, παράλληλος
δὲ τῇ ΒΔ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ
ΑΘ ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ ΚΔ. ἡ ἄρα ΒΔ τῆς
ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. τῆς δὲ ΗΚ ἔστι
διπλῆ· ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλα–
σίων· ὡς δὲ 〈ἡ〉 ΚΗ πρὸς ΘΗ, τὸ ΑΚΒ τρίγωνον
πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλά–
σιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου. τοῦ δὲ
ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒΔ· ἔλαττον ἄρα ἢ τετρα–
πλάσιον τὸ ΑΒΔ τοῦ ΑΒΘ· τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον
ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ
Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου. πολλῷ ἄρα τὸ ΑΔΒ ἔλατ–
τόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ. διὰ τὰ αὐτὰ
καὶ τὸ ΔΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον
τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ
τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.
Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμι–
κυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν. συντι–
θέντες γὰρ αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον καὶ
τούτων τὸ ἥμισυ λαμβάνοντες ἐπὶ τὴν κάθετον ἐποίουν
καὶ το〈σο〉ύτου τὸ ἐμβαδὸν 〈τοῦ〉 τμήματος ἀπεφαί–
νοντο. δοκοῦσι δὲ οὗτοι ἠκολουθηκέναι τοῖς τὴν περί–
μετρον τοῦ κύκλου τριπλασίονα ὑπολαμβάνουσιν τῆς
διαμέτρου. ἐὰν γὰρ ἡμικύκλιον κατὰ τὴν τ〈οι〉αύτην
ὑπόθεσιν μετρῶμεν, ἀκολουθήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ἡμικυκλίου σύμφωνον τῇ εἰρημένῃ μεθόδῳ. οἷον
ἔστω ἡμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ κάθετος ἡ
ΓΔ. καὶ ἔστω ἡ διάμετρος μονάδων ιβ. ἡ ἄρα ΓΔ
μονάδων ϛ. οὐκοῦν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἔσται
μονάδων λϛ. ἡ ἄρα τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων ιη.
ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς
ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ χωρίου, δεῖ τὰ
ιη πολλαπλασιάσαντας ἐπὶ τὰ ϛ λαβεῖν τὸ ἥμισυ·
εἰσὶ δὲ μονάδες νδ. ὥστε τοῦ ἡμικυκλίου τὸ ἐμβαδὸν
κατὰ τὴν εἰρημένην ὑπόθεσιν ἔσται μονάδων νδ. τὸ
δ´ αὐτὸ ἔσται κἂν συνθῇς τὰ ιβ καὶ τὰ ϛ, ἃ γίγνεται
ιη. ὧν ἥμισυ λαβὼν ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου ποιήσεις·
γίγνεται ὁμοίως νδ.
Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ
εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος τὸ ιδʹ μέρος τοῦ ἀπὸ
τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται
ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ, καθ´ ἣν ἡ τοῦ κύκλου περι–
φέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ
τῷ ζʹ μέρει μείζων· ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα
τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΔΓ κάθετον
ζ, ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ·
ἐπὶ τὸν ζ· γίγνεται ρνδ. ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ. καὶ
τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι.
τὸ δ´ αὐτὸ καὶ ἐὰν οὕτως ποιήσωμεν. σύνθες τὰ ιδ
καὶ τὰ ζ· ὧν ἥμισυ γίγνεται ι#· ἐπὶ τὰ ζ· γίγνεται
ογ#. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως μονάδων
μθ. τούτων καθόλου τὸ ιδʹ· γίγνεται γ#. ταῦτα πρόσ–
θες τοῖς ογ#· γίγνεται οζ. ταύτῃ οὖν τῇ ἐφόδῳ χρή–
σασθαι δεῖ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων τοῦ ἡμικυκλίου τμημά–
των· οὐ μέντοι ἐπὶ παντὸς τμήματος πάλιν καὶ αὕτη
ἁρμόσει ἡ ἔφοδος, ἀλλ´ ὅταν ἡ βάσις τοῦ τμήματος
μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ τῆς καθέτου· ἐπεί τοι, ἐὰν ἡ
βάσις ᾖ μονάδων ξ, ἡ δὲ κάθετος α, ἔσται τὸ περι–
εχόμενον σχῆμα μονάδων ξ, ὃ δὴ μεῖζόν ἐστι τοῦ
τμήματος. τούτου δὲ μεῖζόν ἐστι τὸ ιδʹ τοῦ ἀπὸ
τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως· ἔστι γὰρ μονάδων ξδ ιδʹ.
ὥστε οὐκ ἐπὶ παντὸς τμήματος ἁρμόσει ἡ εἰρημένη
ἔφοδος, ἀλλ´, ὡς εἴρηται, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου
μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ τριπλῆ,
τῇ ἑξῆς ἐφόδῳ χρησόμεθα.
Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον
τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος
ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης
τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΒ καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν
ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ
ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύ–
χθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον
ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώ–
νων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η
χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ.
τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, 〈....〉
τὸ Η, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ, τὸ δὲ τοῦ Μ. καὶ τοῦτο γιγνέ–
σθω, ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται
τοῦ Κ. γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ
ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχο–
τομίας ἐπεζεύχθωσαν· τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα
τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια·
τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν· τὰ ἄρα
γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ. ἔστω αὐτοῖς
ἴσα τὰ ΛΝ. καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι
περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως. τὰ ἄρα προει–
ρημένα, οἷς ἴσα
ἐστὶ τὰ ΛΝ,
τῶν γενομένων
τριγώνων ἐλάτ–
τονά ἐστι 〈ἢ τε–
τραπλάσια〉, τὸ
〈δὲ〉 ΛΝ τοῦ Μ
μεῖζόν ἐστιν ἢ
τετραπλάσιον·
ὥστε τὰ ἔσχατα
γενόμενα τρί–
γωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ. ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ. καὶ
ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων, τὸ ἄρα
τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γʹ τοῦ Μ, 〈τὸ
δὲ γʹ τοῦ Μ〉 ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ, ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ.
τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ.
τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον.
τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ
ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ
ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η 〈....〉 ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ
τρίγωνον. τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ
ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ· τὸ ἄρα ἐγγεγραμ–
μένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον· πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ
τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.
ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον
προσθῶμεν, ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
τμήματος. ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος, ὅταν ἡ βάσις
τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων· ἐὰν μέντοι τμῆμα
ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ
ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος, τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ
μέχρι τῆς βάσεως, καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν
εὑρεῖν, μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν
ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ
τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος.
ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι πᾶν τμῆμα
περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς,
τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν
μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον.
Λῆμμα. Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ, τοῖς δὲ Θ,
Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ τὸ ΒΓ[Δ], τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον
ἢ τριπλάσιον ἔστω· πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ, τουτέστι
τὸ Η μετὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ, τοῦ ΑΒ, τουτέστι
τοῦ Η, μεῖζόν ἐστιν 〈ἢ〉 ἐπίτριτον; ἔστω γὰρ τὸ ΑΔ
τοῦ ΔΓ τριπλάσιον· τὸ[ῦ] ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι
τοῦ ΔΓ. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ ΑΔ ἐπίτριτόν
ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.
Ἐὰν δὲ δέῃ τμῆμα μετρῆσαι μεῖζον ἡμι–
κυκλίου, μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ[ῦ]
ΑΒΓ, οὗ ἡ μὲν ΑΓ βάσις ἔστω μονάδων ιδ, ἡ δὲ
ΒΔ κάθετος μονάδων ιδ. προσαναπεπληρώσθω ὁ
κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ τὸ
ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσον ἐστὶ
τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, τὸ δὲ
ἀπὸ τῆς ΑΔ μονάδων
ἐστὶ μθ, ἔσται ἄρα καὶ
τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ μονά–
δων μθ. καὶ ἔστιν ἡ
ΒΔ μονάδων ιδ· ἡ ἄρα
ΔΕ ἔσται μονάδων γ#·
ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΓ
μονάδων ιδ· τοῦ ἄρα
ΑΕΓ τμήματος, ὅ ἐστιν
ἔλασσον ἡμικυκλίου, τὸ
ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων,
ὡς ἐμάθομεν, λδ ηʹ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΒΔ ἐστὶ μονά–
δων ιδ, ἡ δὲ ΔΕ γ#, ἡ ἄρα ΒΕ διάμετρος ἔσται
μονάδων ιζ#· τοῦ ἄρα κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ὡς ἐμάθομεν
ἔσται σμ#ηʹ. ὧν τὸ τοῦ ΑΕΓ τμήματος ἐμβαδόν ἐστι
μονάδων λδηʹ. λοιπὸν ἄρα τὸ τοῦ ΑΒΓ τμήματος
ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων σϛ#.
Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι, ἧς ὁ μὲν μείζων
ἄξων μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ. ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς
κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται
ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ
ἐλλείψει, δεήσει τὰ ιϛ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα
τούτων λαβεῖν τὰ ια ιδʹ· ἔστι δὲ ρμϛ#· τοσούτου ἀπο–
φαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐλλείψεως.
Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς
ἡ μὲν βάσις ἐστὶ μονάδων ιβ, ὁ δὲ ΒΔ ἄξων μονάδων
ε. ἐπεζεύχθωσαν αἱ
ΑΒ ΒΓ. τῷ ἄρα ἐμ–
βαδῷ τοῦ ΑΒΓ τρι–
γώνου ἴσον ἐστὶ τὸ
ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΑΓ
ΒΔ, τουτέστι μονά–
δων λ. ἀπέδειξεν δὲ
Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφο–
δικῷ, ὡς προείρηται,
ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθο–
γωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν
ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ
καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. 〈τοῦ δὲ
ΑΒΓ τριγώνου〉 τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λ. τὸ ἄρα
τῆς παραβολῆς ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων μ.
Ἔστω κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μετρῆσαι χωρὶς
τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῶν βάσεών ἐστι
μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ε. ἐὰν δὴ νοήσωμεν
τετμημένην τὴν ἐπιφάνειαν κατά τινα πλευρὰν τοῦ
κυλίνδρου καὶ ἀνηπλωμένην, τουτέστιν ἐκτεταμένην εἰς
ἐπίπεδον, ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μὲν μῆκος
ἔσται ἡ περιφέρεια τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ
πλάτος τὸ τοῦ κυλίνδρου ὕψος. ἐπεὶ οὖν ἡ διάμετρος
τοῦ κύκλου ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ ἄρα περιφέρεια ἔσται
μονάδων μδ· τὸ ἄρα τοῦ παραλληλογράμμου μῆκος
ἔσται μονάδων μδ. τὸ δὲ πλάτος μονάδων ε· τὸ ἄρα
ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἔσται μονάδων σκ.
τοσούτου δὲ καὶ ἡ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, τουτέστι
μονάδων σκ, ὡς καὶ ὑποτέτακται.
Κώνου δὲ ἰσοσκελοῦς τὴν ἐπιφάνειαν μετρή–
σομεν ἀκολούθως ἐκπετάσαντες αὐτήν· ἐὰν γὰρ νοή–
σωμεν ὁμοίως κατὰ πλευρὰν 〈ἀν〉ηπλωμένην καὶ εἰς
ἐπίπεδον ἐκτεταμένην, ἔσται τις κύκλου τομεὺς ὥσπερ
ὁ ΑΒΓ[Δ] ἔχων τὴν μὲν ΑΒ πλευρὰν ἴσην τῇ
πλευρᾷ τοῦ κώ–
νου, τὴν δὲ ΒΓ
περιφέρειαν
ἴσην τῇ περι–
φερείᾳ τῆς βά–
σεως τοῦ κώνου.
ἐὰν οὖν πάλιν
δοθῇ ἡ μὲν διά–
μετρος τῆς βά–
σεως τοῦ κώνου
μονάδων ιδ, ἡ
δὲ πλευρὰ μονά–
δων ι, ἔσται ἡ
μὲν ΒΓ περιφέρεια μονάδων μδ, ἡ δὲ ΑΒ μονά–
δων ι. δέδεικται δὲ Ἀρχιμήδει ἐν τῇ τοῦ κύκλου
μετρήσει, ὅτι πᾶς τομεὺς ἥμισύς ἐστι τοῦ περιεχομένου
ὑπό τε τῆς τοῦ τομέως περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ
κέντρου τοῦ κύκλου, οὗ ἔστιν ὁ τομεύς· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν
ΑΒ ΒΓ ἐστὶ μονάδων υπ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τομέως
ἔσται μονάδων σκ.
Τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ὁ αὐτὸς
ἐμέτρησεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίν–
δρου ἀποδείξας τετραπλα–
σίονα οὖσαν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ·
ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας μονάδων ιδ,
δεῖ εὑρεῖν κύκλον τετραπλασίονα τοῦ κύκλου, οὗ ἡ
διάμετρός ἐστι μονάδων ιδ. εἰ δὲ ὁ κύκλος τοῦ
κύκλου ἐστὶ τετραπλάσιος, ἡ ἄρα διάμετρος τῆς δια–
μέτρου ἐστὶ διπλασία, ἐπείπερ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλή–
λους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τῶν κύκλων
τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. τὰ ιδ δίς· γίγνεται κη. τὸ
δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρος κη, ἔστιν,
ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χιϛ. ὥστε καὶ ἡ τῆς σφαίρας
ἐπιφάνεια ἔσται μονάδων χιϛ. ἢ καὶ ἄλλως· ἀπέδειξεν
Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶν
ἐπιφανείᾳ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν
διάμετρος τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαί–
ρας, τὸ δὲ ὕψος ἴσον· ὥστε δεήσει ἐπιφάνειαν κυλίν–
δρου μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι
μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος ὁμοίως ιδ. ὡς οὖν προεδείχθη,
ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐστι μονάδων χιϛ· τοσούτου ἄρα
καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.
Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρή–
σομεν οὕτως, ἔστω τμῆμα σφαίρας, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓΔ
κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ,
τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ
μονάδων ΚΛ, ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ. ἡ δὲ
ΖΕ μονάδων ε· ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ
ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν. ἀπέδειξεν δὲ ὁ
αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου
ὅτι παντὸς τμήματος
σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, 〈οὗ〉 ἡ ἐκ τοῦ
κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ
τμήματος· ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ
κύκλου· καὶ ἔστι μονάδων ιγ. ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ
εἰρημένου κύκλου ἐστὶ μονάδων κϛ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν,
ὡς προείρηται, ἔσται μονάδων φλα ζʹ. τοσούτου ἄρα
καὶ ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.
Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν,
αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι, ἀναγκαῖον δὲ ὡς
οἶμαι πρὸς τὰς ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας, ὡς δέον
αὐτὰς μετρεῖσθαι. εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν,
ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει, δεήσει
ἐπ´ αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα,
ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας
γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀπᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ
σχῆμα γραμμῆς, καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς
τρίγωνα καταδιαιροῦντα. εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ
ἐπιφάνεια, ἀλλ´ ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς
τοιούτου, δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα
περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ, ἄχρι
ἂν περιειληθῇ, εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σιν–
δόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου
γραμμῆς, ὡς προείρηται, καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν
τῆς ἐπιφανείας. εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι
ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν, μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρη–
μένων· καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν
διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι.
{ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Β
ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ}
Μετὰ τὴν τῶν ἐπιφανειῶν μέτρησιν εὐθυγράμμων
τε καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα
χωρητέον, ὧν καὶ τὰς ἐπιφανείας ἐν τῷ πρὸ τούτου
βιβλίῳ ἐμετρήσαμεν ἐπιπέδους τε καὶ σφαιρικάς, ἔτι
τε κωνικὰς καὶ κυλινδρικάς, πρὸς δὲ τούτοις ἀτάκτους,
ὧν τὰς ἐπινοίας ὥσπερ παραδόξους οὔσας τινὲς εἰς
Ἀρχιμήδην ἀναφέρουσιν κατὰ διαδοχὴν ἱστοροῦντες.
εἴτε δὲ Ἀρχιμήδους εἴτε ἄλλου τινός, ἀναγκαῖον καὶ
ταύτας προ〈ς〉υπογράψαι, ὅπως κατὰ μηδὲν ἐνδεὴς ἡ
πραγματεία τυγχάνῃ τοῖς βουλομένοις αὐτὰ μεταχειρί–
ζεσθαι.
Στερεὸν εὐθύγραμμον ὀρθογώνιον μετρῆσαι δοθεί–
σης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς, μήκους τε καὶ πλάτους
καὶ βάθους ἢ πάχους· οὐδὲν γὰρ διοίσει [εἰ] ἢ κοῖλον
ὑπάρχον μετρεῖσθαί τι σῶμα ἢ ναστόν. βάθος μὲν
γὰρ καλεῖται ἐπὶ τῶν κοίλων σωμάτων, πάχος δὲ ἐπὶ
τῶν ναστῶν. ἔστω δὲ τὸ μὲν μῆκος μονάδων κ, τὸ
δὲ πλάτος μονάδων ιβ, τὸ δὲ πάχος μονάδων π. ἐὰν
δὴ δι´ ἀλλήλων τοὺς ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσωμεν,
γίγνονται μονάδες ͵ατ. τοσούτων δὲ καὶ τὸ στερεὸν
ἔσται μονάδων. τούτου δ´ ἡ ἀπόδειξις φανερά. ἐὰν
γὰρ τὰς τρεῖς διαστάσεις ἐπινοήσωμεν διῃρημένας εἰς
μοναδιαῖα διαστήματα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπίπεδα
ἐκβάλωμεν παράλληλα τοῖς περιέχουσι τὸ στερεὸν ἐπι–
πέδοις, ἔσται ὥσπερ καταπεπρισμένον τὸ στερεὸν εἰς
μοναδιαῖα στερεά, ὧν τὸ πλῆθος ἔσται ὁ εἰρημένος
ἀριθμός. καὶ καθόλου δὲ πᾶν στερεὸν σχῆμα πάχος
ἔχον οἱονδηποτοῦν 〈καὶ μῆκος οἱονδηποτοῦν〉, τὸ δὲ
ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει μετρεῖται τῆς βάσεως
αὐτοῦ μετρηθείσης καὶ ἐπὶ τὸ ὕψος πολλαπλασιασθεί–
σης. οἷον· ἔστω τοῦ στερεοῦ βάσις ἔλλειψις, ἀπὸ δὲ
τοῦ κέντρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς ὀρθὰς ἐπινοείσθω τις
εὐθεῖα τῷ τῆς ἐλλείψεως ἐπιπέδῳ ὕψος ἔχουσα δοθέν.
τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως σχῆμα φερέσθω κατὰ τῆς εἰρη–
μένης εὐθείας οὕτως, ὥστε τὸ μὲν κέντρον κατ´ αὐτῆς
φέρεσθαι, τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἐπίπεδον ἀεὶ παράλλη–
λον ὑπάρχειν τῇ ἐξ ἀρχῆς θέσει. ἔσται δή τι σχῆμα
ὡσπερεὶ κύλινδρος βάσιν ἔχον τὴν εἰρημένην ἔλλειψιν.
τοῦ δὴ τοιούτου σχήματος τὸ ὕψος πρὸς ὀρθὰς καλῶ
τῇ βάσει· ὃ δὴ μετρεῖται τῷ προειρημένῳ τρόπῳ. κἂν
ἡ βάσις δὲ ἕτερον ἔχῃ σχῆμα, τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς
τῇ βάσει, ὡς εἴρηται, ὁμοίως μετρηθήσεται· ὥστε καὶ
κύλινδρος ὡσαύτως μετρεῖται. κἂν μὴ ᾖ δὲ τὸ ὕψος
τοῦ στερεοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, ἀλλὰ κεκλιμένον
ᾖ, τὸ δὲ στερεὸν τοιοῦτον, ὥστε τεμνόμενον ἐπιπέδῳ
παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖν τομὰς ἴσας τῇ βάσει, δο–
θεῖσα δὲ ᾖ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετος ἀγομένη
ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ στερεὸν ὡσαύτως λαμβάνεται. δεῖ
γὰρ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τῆς βάσεως αὐτοῦ πολλαπλα–
σιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον καὶ ἀποφαίνεσθαι
τοσούτου τὸ στερεόν· τὸ δὲ εἰρημένον 〈......〉 ἐπι–
πέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖ τομὰς τῇ βάσει ἴσας,
γίγνεται οὕτως. ἐὰν ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ εὐθεῖά τις
ἐπισταθῇ ἤτοι ὀρθὴ ἢ κεκλιμένη πρὸς τὴν βάσιν καὶ
μενούσης αὐτῆς ἡ τοῦ στερεοῦ βάσις φέρηται κατὰ
τῆς εἰρημένης εὐθείας, ὥστε τὸ μὲν πρὸς τῇ βάσει
σημεῖον κατὰ τῆς εὐθείας φέρεσθαι, τὴν δὲ βάσιν
ἀεὶ φερομένην παράλληλον ἑαυτῇ διαμένειν, τὸ τοιοῦ–
τον σχῆμα τεμνόμενον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει
ποιήσει τομὰς τοσαύτας τῇ βάσει ἴσας, ἐπειδήπερ
τῆς βάσεως ἡ φορὰ κατὰ παράλληλον αὐτῇ θέσιν
ἐφέρετο.
Ἔστω δὴ κῶνον μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος
τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος η. ὕψος δὲ
τοῦ κώνου καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν
κάθετον ἀγομένην, ἐάν τε ὀρθὸς ὁ κῶνος ὑπάρχῃ ἐάν
τε σκαληνός. νενοήσθω δὴ κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς
αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ.
τούτου δὴ τοῦ κυλίνδρου τὸ στερεὸν ἔσται δοθέν. ἥ
τε γὰρ διάμετρος αὐτοῦ τῆς βάσεως δοθεῖσά ἐστιν καὶ
τὸ ὕψος δοθέν. καὶ ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χκη
δ<ζʹ> ἀλλ´ ἐπεὶ πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ
τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, ἔσται
τὸ στερεὸν τοῦ κώνου μονάδων σθ <ια><καʹ> ὁμοίως οὖν
καὶ πυραμίδος πάσης τὸ στερεὸν ληψόμεθα δοθείσης
τῆς βάσεως αὐτῆς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου
ἀγομένης ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἐπειδήπερ πᾶσα
πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν αὐτὴν
βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον.
Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι, οὗ ἡ
μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος
μονάδων η. ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ
κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον. νενοή–
σθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως
τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτό· ἐπεὶ οὖν
οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν
ὡς αἱ βάσεις, οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς
βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ
ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ. τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ
στερεόν ἐστιν δοθέν· τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν
ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως· καὶ ἔστι μονάδων
χκη δ<ζʹ> καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου
ἔσται.
Ἔστω δὴ στερεὸν παραλληλεπίπεδον μετρῆσαι
τὸ ὕψος ἔχον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. ἔστω δὲ λόγου
ἕνεκεν ἡ μὲν βάσις αὐτοῦ ἑξάγωνος, 〈ἰσόπλευρος καὶ
ἰσογώνιος〉 ἡ ΑΒΓΔΕΖ, ἡ δὲ ΑΒ πλευρὰ μονάδων
ι, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ἐφέδρας κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τῆς
ἕδρας ἐπίπεδον ἔστω μονάδων η· ἡ δὲ ἐφέδρα αὐτοῦ
ἔσται ἡ ΗΘΚΛΜΝ. καὶ ἀπὸ τῆς ΗΘ ΚΛ ΜΝ
κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον αἱ ΗΞ
ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΟ ΟΠ
ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΞΟΠΡΣΤ ἑξά–
γωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ
τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ
ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν, ἴσον ἄρα τὸ
ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛΜΝ στερεὸν τῷ ΞΟΠΡΣΤΗ
ΘΚΛΜΝ στερεῷ. δοθὲν δὲ τὸ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚΛΜΝ.
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΚΛΜΝ. ὥστε δεήσει
λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἑξαγώνου πολλα–
πλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον, τουτέστι τὰς
η μονάδας, καὶ τοσούτου τὸ στερεὸν ἀποφήνασθαι.
καὶ οἵαν δ´ ἂν ἔχῃ βάσιν τὸ στερεὸν, ὡσαύτως
μετρεῖται.
Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ
παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα. καὶ
ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ι, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων η, ἡ δὲ
ἀπὸ τῆς ΕΖ κορυφῆς κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓΔ
ἐπίπεδον ἔστω μονάδων ε· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τοῦ πρίσ–
ματος. συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔΕΖΗΘ στερεὸν
παραλληλεπίπεδον· τὸ ἄρα ΑΒΓΔΕΖΗΘ στερεὸν
παραλληλεπίπεδον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ[Η]
πρίσματος. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πρίσμα. ὥστε δεήσει τὰ η ἐπὶ τὰ
ι πολλαπλασιάσαι καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὴν κάθετον,
τουτέστι τὸν ε· γίγνεται υ. τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται
σ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πρίσματος.
Ἔστω δὴ πυραμίδα μετρῆσαι βάσιν ἔχουσαν οἵαν
δήποτε οὖν. ἔστω δὲ ὑποδείγματος ἕνεκεν πεντάγωνον
ἰσόπλευρον 〈καὶ ἰσογώνιον〉, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἔστω
μονάδων ι, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ἀγομένη[ς]
ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον μονάδων η. ἐπεὶ οὖν πᾶσα
πυραμὶς τρίτον μέρος ἐδείχθη τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν
αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον, τὸ δὲ στερεὸν
τὸ ἔχον βάσιν πεντάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον,
οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι καὶ ὕψος η, γίγνεται,
ὡς ἐμάθομεν, μονάδων ͵ατλγ γʹ· ὥστε τούτων τὸ γʹ
γίγνεται μονάδων υμδ γʹ θʹ· τοσούτου ἔσται τὸ τῆς
πυραμίδος στερεόν. ὥστε καθόλου δεῖ λαβόντα τὸ
ἐμβαδὸν τῆς βάσεως τῆς πυραμίδος, οἵα τις ἂν 〈ᾖ〉,
πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτῆς κάθε–
τον ἀγομένην, τουτέστιν ἐπὶ τὸ ὕψος, καὶ τῶν γενο–
μένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυρα–
μίδος στερεόν.
Ἔστω δὴ πυραμίδα κόλουρον μετρῆσαι τρίγωνον
ἔχουσαν βάσιν· ἔσται δὴ καὶ ἡ κορυφὴ αὐτῆς τρίγωνος
ὁμοία τῇ βάσει. ἔστω οὖν ἡ μὲν βάσις αὐτῆς τὸ
ΑΒΓ τρίγωνον [ὅμοιον τῷ ΑΒΓ], ἡ δὲ κορυφὴ τὸ
ΔΕΖ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ. ἔστω δὲ ἡ μὲν
ΑΒ μονάδων ιη, ἡ δὲ ΒΓ κδ, ἡ δὲ ΑΓ λϛ, ἡ δὲ
ΔΕ ιμ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΕΖ ιϛ, ἡ δὲ ΔΖ κδ. ἔστω
δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ΔΕΖ τριγώνου κάθετος ἐπὶ τὴν
βάσιν μονάδων ι. κείσθω τῇ μὲν ΔΕ ἴση ἡ ΑΗ, τῇ
δὲ ΕΖ ἡ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ, καὶ τετμήσθωσαν
δίχα αἱ ΒΘ ΒΗ τοῖς Κ, Λ σημείοις, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ
ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ
καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐπεὶ
οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ τρίγωνα, ὡς ἔστιν ἡ
ΑΒ πρὸς ΔΕ, τουτέστι πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς
ΕΖ, τουτέστι πρὸς ΓΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΑΓ τῇ
ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΚΒ καὶ παράλληλοι
αἱ ΚΝΜ ΒΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΗ τῇ ΝΘ. ἀλλὰ καὶ
ἡ ΒΛ τῇ ΛΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΛΝΞ τῇ ΑΒ.
ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ, τουτέστι τῇ ΑΓ. παραλληλό–
γραμμα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καὶ ἴσα ἐστίν·
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς
παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΗΚΛΝ τῷ
ΝΚΛΘ ἴσον ἐστί. λοιπὸν τὸ ΑΗΝΞ παραλληλό–
γραμμον [τῶ] τῷ ΝΘΓΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν
ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΝΞ,
τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΓΘ, τουτέστιν ἡ ΜΝ, τῇ ΕΖ καὶ ἴσας
γωνίας περιέχουσιν, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΞΜ τῇ ΔΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΞ ΜΓ, ἴση
ἄρα καὶ ἡ ΑΞ τῇ ΜΓ. συναμφοτέρου 〈ἄρα〉 τῆς ΑΓ
ΜΞ, τουτέστι συναμφοτέρου 〈τῆς〉 ΑΓ ΔΖ ἡμίσειά
ἐστιν ἡ ΓΞ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΚΗ, συν–
αμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΑ ΗΑ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς
ΑΒ ΔΕ, ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΞΛ. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ ΕΖ ἡμίσειά
ἐστιν ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ στερεὸν τῆς κολούρου πυρα–
μίδος σύγκειται ἔκ τε τοῦ πρίσματος τοῦ [τὴν] βάσιν
μὲν ἔχοντος τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον, κορυφὴν
δὲ τὴν ΔΕ εὐθεῖαν, καὶ τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν
ἐστι τὸ ΜΝΘΓ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ
εὐθεῖα, καὶ ἑτέρου πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι 〈τὸ〉
ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἔτι τῆς
πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ
τὸ Ε σημεῖον· ἀλλὰ τῶν μὲν πρισμάτων, ὧν βάσις
ἐστὶ τὰ ΑΗΝΞ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμα, ὕψος δὲ
τὸ αὐτὸ τῇ πυραμίδι τὸ στερεόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ΝΜΘΓ παραλληλογράμμου ἐπὶ τὴν κάθετον, τοῦ
δὲ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον,
κορυφὴ δὲ τὸ ΔΕΖ, τὸ στερεόν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγω–
νον ἐπὶ τὴν κάθετον, τῆς δὲ πυραμίδος, ἧς βάσις ἐστὶ
τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον, τὸ
στερεόν ἐστι τὸ τρίτον 〈τοῦ〉 τοῦ ΒΗΘ τριγώνου
ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν κάθετον, τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΒΗΘ
τριγώνου ἓν καὶ τρίτον ἐστὶ τοῦ ΛΝΘ 〈διὰ τὸ〉 ἴσα
εἶναι 〈....〉, τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΛΝΘ τριγώνου τὸ
δωδέκατόν ἐστι τοῦ ΒΗΘ τριγώνου· ὥστε τῆς κολούρου
πυραμίδος τὸ στερεόν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΞΛΓ τρι–
γώνου προσλαβὸν τὸ ιβʹ μέρος τοῦ ΒΗΘ τριγώνου καὶ
πολλαπλασιασθὲν ἐπὶ τὴν κάθετον. καὶ ἔστιν ἡ κάθετος
δοθεῖσα. δεῖξαι ἄρα δεῖ, ὅτι δοθέν ἐστι καὶ τὸ ΞΛΓ
τρίγωνον καὶ 〈τὸ ιβʹ〉 τοῦ ΒΗΘ· ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά
ἐστι συναμφότερος ἡ ΑΒ Δ〈Ε κ〉αὶ ἐδείχθη αὐτῆς
ἡμίσεια ἡ ΞΛ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΞΛ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΓ ΓΞ ἐστὶ δοθεῖσα· ὥστε δοθέν
ἐστι τὸ ΞΛΓ τρίγωνον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν
ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΗ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΗ. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΘ. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἑκατέρα
τῶν ΑΓ ΜΞ, καὶ λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΞ
ΜΓ δοθεῖσα, τουτέστιν ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ
ΗΘΒ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὸ ιβʹ αὐτοῦ δοθέν. συντε–
θήσεται δὲ οὕτως. σύνθες τὰ ιη καὶ τὰ ιβ· καὶ τῶν
γενομένων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιε· καὶ τὰ κδ καὶ ιϛ·
ὧν ἥμισυ γίγνεται κ. καὶ λϛ καὶ κδ· ὧν ἥμισυ γίγνεται
λ. καὶ μέτρησον τρίγωνον, οὗ πλευραὶ ιε, κ, λ· γίγ–
νεται, ὡς ἐμάθομεν, ἔγγιστα ρλα δʹ. καὶ ἄφελε ἀπὸ
τῶν ιη τὰ ιβ· λοιπὰ ϛ. καὶ ἀπὸ τῶν κδ τὰ ιϛ· λοιπὰ
η. καὶ ἀπὸ τῶν λϛ τὰ κδ· λοιπὰ ιβ. καὶ μέτρησον
τρίγων〈ον〉, οὗ πλευραὶ ϛ, η, ιβ· ἔσται ὁμοίως, ὡς
ἐμάθομεν, κα ἔγγιστα· τούτων τὸ ιβʹ· γίγνεται α#δʹ.
πρόσθες ταῖς ρλα δʹ· γίγνονται ρλγ. ταῦτα ἐπὶ τὴν
κάθετον, καὶ τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ΑΒΓΔΕΖ
κολούρου πυραμίδος.
Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων
τριγώνους ἔχον βάσεις. ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν,
οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ΔΕΖ,
παράλληλον 〈δὲ〉 τῷ ΑΒΓ τὸ[υ] ΔΕΖ. ἐπίπεδα δὲ ἔστω
τὰ ΑΒΔΕ ΒΓ〈ΕΖ Α〉ΓΔΖ. καὶ δοθεῖσα 〈...〉 ἑκάστη
τῶν Α 〈...〉 Α ΔΕ ΕΖ ΖΔ καὶ ἔτι ἡ ἀπὸ τοῦ ΔΕΖ
ἐπιπέδου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
ἐπίπεδον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΕΖ
καὶ μείζων ἡ ΒΓ, αἱ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβαλλόμεναι συμ–
πεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η. λέγω δὴ ὅτι
καὶ ἡ ΑΔ ἐκβαλ〈λ〉ομένη συμπεσεῖται κατὰ τὸ Η.
ὅτι μὲν οὖν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΓΖ συμπίπτει τῇ ΑΔ,
φανερὸν διὰ τὸ εἶναι τὴν μὲν ΑΒ μείζονα τῆς ΔΕ,
τὴν δὲ ΑΓ τῆς ΔΖ. λέγω ὅτι κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ γὰρ
ΑΔΗ σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῶν ΑΒ ΔΕ ἐστὶν ἐπι–
πέδῳ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΓ ΔΖ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν
ἡ ΑΔΗ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ
ἐπίπεδον καὶ ἐμβαλλέτω κατὰ τὸ Θ, τῷ δὲ ΔΕΖ
κατὰ τὸ Κ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘ〈ΖΚ〉. παράλληλος
ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ.
ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς
ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ
πρὸς ΕΖ δοθείς· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα. λόγος ἄρα
καὶ τῆς ΗΘ πρὸς ΗΚ δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ΘΚ πρὸς
ΚΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ ΔΕΖ
ἐπιπέδου κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον
δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ὥστε καὶ ἡ
ΗΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἐπεὶ οὖν πυραμίδος, ἧς βάσις μέν
ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δέ–
δοται ἥ τε βάσις καὶ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν
κάθετος ἡ ΗΘ, δοθὲν ἄρα τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.
κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν, ἧς
βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η
σημεῖον, δοθέν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ
στερεὸν δοθέν ἐστι. συντεθήσεται δὴ οὕτως. δεῖ τὴν
ΘΚ ποιῆσαι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΕΖ προστεθείσης τῆς
ΚΗ τὴν ΘΗ πρὸς ΗΚ. καὶ εὑρόντα ἑκατέραν τῶν
καθέτων τῶν ΗΘ ΗΚ καθ´ ἑαυτὰς μετρῆσαι ἑκατέραν
πυραμίδα, ἧς τε βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγων〈ον〉 καὶ ἧς
βάσις τὸ ΔΕΖ, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, καὶ τὴν
ὑπεροχὴν αὐτῶν ἀποφαίνεσθαι ἴσην εἶναι τῷ ζητουμένῳ
στερεῷ. καὶ καθόλου δὲ πᾶσα πυραμὶς κόλουρος βάσιν
ἔχουσα οἱανδήποτε ὡσαύτως μετρεῖται· ἐκ γὰρ τοῦ
λόγου, οὗ ἔχει μία πλευρὰ τῆς βάσεως πρὸς τὴν
ὁμόλογον ἐν τῇ κορυφῇ οὖσαν, λέγω δὲ τῇ ἐφέδρᾳ,
εὑρεθήσεται ἡ κορυφὴ τῆς πυραμίδος, ἧς τμῆμά ἐστιν
ἡ κόλουρος, καὶ ἡ κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς ἐφέδρας ἐπί–
πεδον. ἔχοντες οὖν καὶ τὴν ἐπὶ τὴν ἐφέδραν καὶ τὸ λοι–
πὸν ἕξομεν στερεὸν τῆς ἀποτεμνομένης πυραμίδος· ὥστε
πάλιν τὴν ὅλην μετρήσαντες πυραμίδα ἀφελοῦμεν τὴν
ἀποτεμνομένην καὶ τὸ λοιπὸν ἀποφα[ι]νούμεθα στερεὸν
τῆς κολούρου πυραμίδος.
Ἔστω δὲ στερεὸν μετρῆσαι ὑπὸ εὐθυγράμμων
περιεχόμενον ἐπιπέδων, οὗ βάσις ἔστω τὸ ΑΒΓΔ
παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΖΗΘ
παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιον τῷ ΑΒΓΔ
ἢ μή. καὶ κείσθω τῇ μὲν ΕΖ ἴση ἡ ΑΚ, τῇ δὲ ΖΘ
ἡ ΒΛ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΒΚ ΓΛ δίχα τοῖς Φ, Χ
καὶ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΥ, ΦΜ, ΛΝ, ΧΤ. καὶ
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ. τὸ δὴ εἰρη–
μένον στερεὸν ἔσται κατατετμημένον εἴς τε στερεὸν
παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΡ παραλληλό–
γραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΗ, καὶ πρίσμα,
οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον,
κορυφὴ δὲ ἡ ΖΗ εὐθεῖα, καὶ ἕτερον πρίσμα, οὗ βάσις
μὲν τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ
δὲ ἡ ΗΘ εὐθεῖα, καὶ πυραμίδα, ἧς ἡ βάσις μὲν τὸ
ΡΓ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ Η
σημεῖον. ἀλλὰ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΚΛ παραλ–
ληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλ–
επιπέδῳ, οὗ βάσις τὸ ΚΠ παραλληλόγραμμον ὀρθο–
γώνιον καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ τῷ στερεῷ, τὸ δὲ πρίσμα, οὗ
βάσις τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ
στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν τὸ παραλληλό–
γραμμον 〈ὀρθογώνιον〉, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ, ἡ δὲ πυραμὶς,
ἧς βάσις τὸ ΡΓ παραλληλόγραμμον, ἴση ἐστὶ στερεῷ
παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν ἓν καὶ τὸ τρίτον τοῦ
ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· ὥστε τὸ ἐξ
ἀρχῆς στερεὸν ἴσον εἶναι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ
βάσις τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ
ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς
στερεῷ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ
τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ· ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΚ
δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡμίσεια ἡ ΑΦ, δοθεῖσα
ἄρα ἡ ΑΦ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΧ, τουτέστιν ἡ
ΦΞ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον. πάλιν
ἐπεὶ δοθεῖσα ἡ ΒΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΦ, τουτέσ–
τιν ἡ ΡΠ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΞ. δοθὲν ἄρα καὶ
τὸ ΞΡ παραλληλόγραμμον. ὥστε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ
δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ δοθέν·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεόν. συντεθήσεται δὴ
οὕτως ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ
μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιβ, ἡ δὲ ΕΖ μονάδων
ιϛ, ἡ δὲ ΖΗ μονάδων γ, ἡ δὲ κάθετος τοῦ στερεοῦ,
τουτέστι τὸ ὕψος, μονάδων ι. σύνθες κ καὶ ιϛ· ὧν
ἥμισυ γίγνεται ιη. καὶ ιβ καὶ γ· ὧν ἥμισυ γίγνεται
ζ#. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιη· γίγνεται ρλε. καὶ ἀπὸ τῶν κ
ἄφελε τὰς ιϛ· λοιπὰ δ. ὧν ἥμισυ γίγνεται β. καὶ ἀπὸ
τῶν ιβ τὰς γ· καὶ τῶν λοιπῶν τὸ ἥμισυ γίγνεται
δ#. ταῦτα ἐπὶ τὰ β· γίγνεται θ. τούτων τὸ γʹ· γίγνε–
ται γ. πρόσθες ταῖς ρλε· γίγνεται ρλη· ταῦτα ἐπὶ τὸ
ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι, γίγνε–
ται ͵ατπ. τοσούτου ἔσται τὸ
προκείμενον στερεόν.
Ἔστω δὴ κῶνον κόλου–
ρον μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διά–
μετρος ἡ ΑΒ ἔστω μονάδων κ,
τῆς δὲ κορυφῆς ἡ διάμετρος ἡ
ΓΔ μονάδων ιβ, τὸ δὲ ὕψος
τὸ ΕΖ μονάδων ι. νενοήσθω
ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ ἡ Η καὶ
περὶ τὴν βάσιν τοῦ κώνου
τετράγωνον περιγεγράφθω τὸ
ΘΚΛΜ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ
ΗΘ ΗΚ ΗΛ ΗΜ. ἔσται ἄρα
πυραμὶς, ἧς ἡ βάσις μὲν τὸ
ΘΚΛΜ τετράγωνον, κορυφὴ
δὲ τὸ Η. ἐὰν οὖν αὕτη τμηθῇ
〈ἐπιπέδῳ〉 παραλλήλῳ τῇ ἐφέ–
δρᾳ, ποιήσει τομὴν τὸ ΝΞΟΠ
τετράγωνον. ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ ΘΛ τετράγωνον
πρὸς τὸν περὶ [τὴν] διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλον, τοῦτον
τὸν λόγον ἔχει ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛΜ
παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, πρὸς
τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ
κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, ἐπειδήπερ καὶ τὸ
στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις τὸ ΘΛ παραλλη–
λόγραμμον, ὕψος δὲ τὸ [πρὸς τὸ] 〈Ζ〉Η, πρὸς τὸν
κύλινδρον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος,
ὕψος δὲ τὸ αὐτό, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΝΞΟΠ τετρά–
γωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, τὸν αὐτὸν λόγον
ἔχει πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον
τὴν ΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον. καὶ λοιπὸν
ἄρα τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΛ, κορυφὴ δὲ
τὸ ΝΟ, πρὸς τὸν κόλουρον κῶνον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
δοθὲν δὲ τὸ ΘΛΝΟ στερεὸν, ὡς δέδεικται· δοθεὶς ἄρα
καὶ ὁ κόλουρος κῶνος. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως
τῇ ἀναλύσει οὕτως. σύνθες κ καὶ ιβ· ὧν τὸ ἥμισυ
γίγνεται ιϛ. ἐφ´ ἑαυτὰ σνϛ, ἐπεί ἐστι τετράγωνος. καὶ
ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· 〈λοιπὰ η.〉 ὧν ἥμισυ γίγνεται δ.
ἐφ´ ἑαυτὰ ιϛ· τούτων τὸ γʹ· γίγνεται εγʹ. πρόσθες σνϛ·
γίγνεται σξα γʹ· τούτων τὸ <ια><ιδʹ>· γίγνεται σε γʹ. ταῦτα
ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι· γίγνεται ͵βνγ γʹ.
τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.
Ἔστι δὲ καὶ ἄλλως τὸν κόλουρον κῶνον μετρῆ–
σαι προδηλοτέρᾳ μὲν ἀποδείξει χρησάμενον, τῇ δὲ
περὶ τοὺς ἀριθμοὺς λήψει οὐκ εὐχερεστέρᾳ τῆς προγε–
γραμμένης. ἔστιν κῶνος κόλουρος, οὗ κέντρα τῶν
βάσεων τὰ Α, Β, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. καὶ δοθεὶς ἔστω ὅ τε
ἄξων καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων. λέγω ὅτι καὶ τὸ
στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου δοθέν ἐστιν. νενοήσθω
γὰρ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Γ· ἐπ´ εὐθείας ἄρα ἐστὶ
τοῖς Α, Β· καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον καὶ
ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου
κώνου τὸ ΓΔΕ τρίγωνον, ἐν δὲ ταῖς βάσεσιν τὰς
ΔΕ ΖΗ διαμέτρους. λόγος ἄρα τῆς ΔΕ πρὸς ΖΗ
δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΖ, τουτέστι τῆς
ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι τῆς ΒΑ πρὸς ΑΓ. καὶ
ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ· ὥστε καὶ
ὅλη ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν, τουτέστιν ὁ ἄξων τοῦ ὅλου
κώνου. δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΔΕ διάμετρος τῆς βάσεως.
δέδοται ἄρα καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β
κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. διὰ ταὐτὰ
δὴ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον
κύκλος· κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, δοθείς ἐστι· καὶ
λοιπὸς ἄρα ὁ κόλουρος κῶνος δοθείς ἐστι. δεήσει ἄρα
ποιῆσαι ὡς τὴν ΔΕ διάμετρον πρὸς τὴν ΖΗ, προσ–
τεθείσης τῇ ΑΒ τῆς ΑΓ τὴν ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ
διελόντι ὡς ἡ τῶν ΔΕ ΖΗ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ
ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΑ· δοθεῖσα ἄρα
καὶ ἡ ΑΓ. καὶ μετρῆσαι τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ
περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον,
καὶ ἀπὸ τούτου ἀφελεῖν τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ
τὸ Α κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. καὶ
λοιπὸν ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.
Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου μονάδων ι
εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας
καὶ κυλίνδρου
δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ
μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ
διαμέτρῳ τῆς σφαίρας ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας.
ὥστε κατὰ τοῦτον τὸν λόγον δεήσει τὰ ι ἐφ´ ἑαυτὰ
ποιήσαντα λαβεῖν τῶν γενομένων τὸ <ια><ιδʹ> καὶ ταῦτα ἐπὶ
τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολλαπλασιάσαντα, τουτέστιν
ἐπὶ τὸν ι, τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ δίμοιρον, καὶ
ἀποφήνασθαι τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ μονάδες
φκγ <ιζ><καʹ> κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὅτι ια
κύβοι οἱ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίγνον–
ται κα σφαίρα〈ις〉. ὥστε δεήσει κυβίσαντα τὰ ι· ἔστι
δὲ ͵α· τούτων λαβεῖν τὰ <ια><καʹ> εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ <ιζ><καʹ>
καὶ τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.
Ἔστω δὴ τμῆμα σφαίρας μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν
διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ιβ, ἡ δὲ κάθετος
μονάδων β. πάλιν οὖν ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν
ὅτι
πᾶν τμῆμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν τὴν αὐτὴν
βάσιν ἔχοντα αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον λόγον ἔχει, ὃν ἡ
τοῦ λοιποῦ τμήματος κάθετος μετὰ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
τῆς σφαίρας πρὸς τὴν αὐτὴν κάθετον. ἔστω οὖν τμῆμα
τὸ εἰρημένον τῆς σφαίρας τὸ κατὰ τὸ ΑΒΓ τοῦ κύκλου,
οὗ κάθετος ἡ ΒΔ. καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας
τὸ Ζ. ὡς ἄρα τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν εἰρη–
μένον κῶνον, οὕτω συναμφότερος ἡ ΔΕ ΕΖ πρὸς τὴν
ΔΕ καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ ΑΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ
ΒΔ ΔΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΔ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ
ΔΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ
ΕΖ. καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ΔΕ ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν.
ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΕ δοθεῖς〈ά ἐστιν〉. λόγος ἄρα καὶ τοῦ
κώνου, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ
κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ, πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας
ἐστὶν δοθείς· καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ κῶνος· δοθὲν ἄρα καὶ
τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας. δεήσει δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀνά–
λυσιν λαβεῖν τῶν ιβ τὸ ἥμισυ καὶ ἐφ´ ἑαυτὸ ποιῆσαι·
ἔστι δὲ λϛ· καὶ ταῦτα παραβαλεῖν παρὰ τὸν β· γίγ–
νεται ιη. καὶ προσθεῖναι τὰ β· γίγνεται κ. καὶ τού–
των τὸ ἥμισυ γίγνεται ι· ταῦτα μετὰ τῶν ιη γίγνεται
κη· καὶ τὴν κάθετον δὶς ποιῆσαι, τουτέστι τὰ β·
γίγνεται δ. ἐφ´ ἑαυτὰ γίγνεται ιϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κη·
γίγνεται υμη· τούτων τὸ 〈<ια><ιδʹ>〉· 〈γίγνεται〉 τνη· 〈τούτων〉
τὸ γʹ· γίγνεται ριζ γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ
τμήματος. καὶ λουτῆρα δὲ ἀκολούθως μετρήσομεν τῇ
τοῦ τμήματος μετρήσει· ἔστι γὰρ δύο τμημάτων ὑπεροχή.
ἀπὸ τοῦ μείζονος οὖν ἀφελόντες τὸ ἔλασσον ἀπο–
φα[ι]νούμεθα τὸ τοῦ λουτῆρος στερεόν. καὶ κόγχην δὲ
ὁμοίως μετρήσομεν ὡς ἡμισφαιρίου ἢ τμήματος ἥμισυ
ὑπάρχουσαν. αἱ γὰρ ἐν αὐτῇ ξύσται ἐν ἀδιαφόρῳ
παραλαμβάνονται εἰς τὰς μετρήσεις.
Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρικῶν
σχημάτων μεμετρημένων, ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας
τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους, ἀκολούθως
τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν· τῆς γὰρ ἐν–
τὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔσης, τουτέστι κενῆς, πάλιν
ἔσται ἑκάστη αὐτῶν δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή.
ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν
γένεσιν αὐτῆς. ἔστω γάρ τις ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΒ
καὶ δύο τυχόντα ἐπ´ αὐτῆς σημεῖα. εἰλήφθω ὁ ΒΓΔΕ
〈κύκλος〉 ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ἐν
ᾧ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ μένοντος τοῦ Α σημείου
περιφερέσθω κατὰ τὸ ἐπίπεδον ἡ ΑΒ, ἄχρι οὗ εἰς τὸ
αὐτὸ ἀποκατασταθῇ συμπεριφερομένου καὶ τοῦ ΒΓ
ΔΕ κύκλου ὀρθοῦ διαμένοντος πρὸς τὸ ὑποκείμενον
ἐπίπεδον. ἀπογεννήσει ἄρα τινὰ ἐπιφάνειαν ἡ ΒΓΔΕ
περιφέρεια, ἣν δὴ σπειρικὴν καλοῦσιν· κἂν μὴ ᾖ δὲ
ὅλος ὁ κύκλος, ἀλλὰ τμῆμα αὐτοῦ, πάλιν ἀπογεννήσει
τὸ τοῦ κύκλου τμῆμα σπειρικῆς ἐπιφανείας τμῆμα,
καθάπερ εἰσὶ καὶ αἱ ταῖς κίοσιν ὑποκείμεναι σπεῖραι·
τριῶν γὰρ οὐσῶν ἐπιφανειῶν ἐν τῷ καλουμένῳ ἀνα–
γραφεῖ, ὃν δή τινες καὶ ἐμβολέα καλοῦσιν, δύο μὲν
κοίλων τῶν ἄκρων, μιᾶς δὲ μέσης καὶ κυρτῆς, ἅμα
περιφερόμεναι αἱ τρεῖς ἀπογεννῶσι τὸ εἶδος τῆς τοῖς
κίοσιν ὑποκειμένης σπείρας. δέον οὖν ἔστω τὴν ἀπο–
γεννηθεῖσαν σπεῖραν ὑπὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου μετρῆσαι.
δεδόσθω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ διάμετρος
μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ,
καὶ ἀπὸ τῶν Α, Ζ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς
ἤχθωσαν αἱ ΔΖΕ ΑΗΘ. καὶ διὰ τῶν Δ, Ε τῇ ΑΒ
παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΗ ΕΘ. δέδεικται δὲ Διονυ–
σοδώρῳ ἐν τῷ περὶ τῆς σπείρας ἐπιγραφομένῳ, ὅτι ὃν
λόγον ἔχει ὁ ΒΓΔΕ κύκλος πρὸς τὸ ἥμισυ τοῦ ΔΕΗΘ
παραλληλογράμμου, τοῦτον ἔχει καὶ ἡ γεννηθεῖσα σπεῖρα
ὑπὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ ἄξων
μέν ἐστιν ὁ ΗΘ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἡ
ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ ἐστίν, ἡ ἄρα ΖΓ
ἔσται μονάδων ϛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων η· ἔσται
ἄρα ἡ ΑΖ μονάδων ιδ, τουτέστιν ἡ ΕΘ, ἥτις ἐστὶν
ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου·
δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ κύκλος· ἀλλὰ καὶ ὁ ἄξων δοθείς·
ἔστιν γὰρ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΔΕ. ὥστε δοθεὶς
καὶ ὁ εἰρημένος κύλινδρος· καὶ ἔστι τὸ ΔΘ παραλληλό–
γραμμον 〈δοθέν〉· ὥστε καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ἀλλὰ καὶ
ὁ ΒΓΔΕ κύκλος· δοθεῖσα γὰρ ἡ ΓΒ διάμετρος. λόγος
ἄρα τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου πρὸς τὸ ΔΘ παραλληλόγραμ–
μον δοθείς· ὥστε καὶ τῆς σπείρας πρὸς τὸν κύλινδρον
λόγος ἔστι δοθείς. καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ κύλινδρος· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. συντεθήσεται δὴ
ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ
〈ι〉β· λοιπὰ η. καὶ πρόσθες τὰ κ· γίγνεται κη· καὶ
μέτρησον κύλινδρον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς
ἐστι μονάδων κη, τὸ δὲ ὕψος ιβ· καὶ γίγνεται τὸ
στερεὸν αὐτοῦ ͵ζτϞβ. καὶ μέτρησον κύκλον, οὗ διά–
μετρός ἐστι μονάδων ιβ· γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ,
καθὼς ἐμάθομεν, ριγ ζʹ· καὶ λαβὲ τῶν κη τὸ ἥμισυ·
γίγνεται ιδ. ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῶν ιβ· γίγνεται πδ·
καὶ πολλαπλασιάσας τὰ [μ<ο>] ͵ζτϞβ ἐπὶ τὰ ριγ ζʹ· καὶ τὰ
γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν πδ· γίγνεται ͵θϡνϛ δ<ζʹ>
τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. δυνατὸν δέ ἐστι
καὶ ἄλλως μετρῆσαι. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖ ἐστὶ μονάδων
ιδ, καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ ἄρα διάμετρός ἐστι
μονάδων κη· ὥστε ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίγνεται
μονάδων πη· ἁπλωθεῖσα ἄρα ἡ σπεῖρα καὶ γενομένη
ὡς κύλινδρος ἕξει τὸ μῆκος μονάδων πη· καὶ ἔστιν
ἡ διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν ἡ
ΒΓ, μονάδων ιβ· ὥστε τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου, ὡς
ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ͵ζτϞβ. πάλιν ͵θϡνϛ δ<ζʹ>
Ἔστω κυλίνδρου τμῆμα μετρῆσαι τετμημένου
διὰ τοῦ κέντρου μιᾶς τῶν βάσεων· καὶ ἔστω ἡ μὲν
διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΑΒ μονάδων ζ, τὸ δὲ ὕψος
τοῦ τμήματος μονάδων κ· ἀποδέδειχεν Ἀρχιμήδης ἐν
τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι τὸ τοιοῦτον τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ
τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος
τὸ περιγραφόμενον περὶ τὴν βάσιν τοῦ κυλίνδρου
τετράγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ τμήματι. δοθὲν δὲ
τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα
τοῦ κυλίνδρου· ὅθεν δεήσει τὰ ζ ἐφ´ ἑαυτὰ ποιήσαντα
πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κ· γίγ–
νεται ϡπ· καὶ τούτων τὸ ἕκτον γίγνεται ρξγ γʹ.
τοσούτου ἔσται τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου.
Ὁ δ´ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ αὐτῷ βιβλίῳ δείκ–
νυσιν, ὅτι ἐὰν εἰς κύβον δύο κύλινδροι διωσθῶσιν
τὰς βάσεις ἔχοντες ἐφαπτομένας τῶν πλευρῶν τοῦ
κύβου, τὸ κοινὸν τμῆμα τῶν κυλίνδρων δίμοιρον ἔσται
τοῦ κύβου. τοῦτο δὲ εὔχρηστον τυγχάνει πρὸς τὰς
οὕτως κατασκευαζομένας καμάρας, αἳ γίγνονται ἐπὶ
πλεῖστον ἔν τε ταῖς κρήναις καὶ βαλανείοις, ὅταν αἱ
εἴσοδοι ἢ τὰ φῶτα ἐκ τῶν τεσσάρων μερῶν ὑπάρχῃ·
καὶ ὅπου ξύλοις οὐκ εὔθετοι στεγάζεσθαι τοὺς τόπους.
Ἀκόλουθον δέ ἐστι καὶ τὰς τῶν πέντε σχημάτων
τῶν Πλάτωνος καλουμένων, λέγω δὴ κύβου τε καὶ
πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου, ἔτι δὲ καὶ δωδεκαέδρου καὶ
εἰκοσαέδρου, τὰς μετρήσεις προσεντάξαι. ὁ μὲν οὖν
κύβος φανερὰν τὴν μέτρησιν ἔχει· δεῖ γὰρ κυβίσαι
τὰς διδομένας τῆς πλευρᾶς αὐτοῦ μονάδας καὶ ἀπο–
φαίνεσθαι αὐτοῦ τὸ στερεόν.
Ἔστω δὲ πυραμίδα μετρῆσαι, ἧς βάσις μέν ἐστι
τὸ ΑΒΓ 〈ἰσόπλευρον〉 τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ
σημεῖον. ἧς ἑκάστη[ς] πλευρὰ[ς] ἔστω μονάδων ιβ.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου
τὸ Ε· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ ΕΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς
ΒΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ
τῆς ΓΕ· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ
τῆς ΔΕ· καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ ΓΔ μονάδων ρμδ. τὸ ἄρα
ἀπὸ ΔΕ ἔσται μονάδων Ϟϛ· αὐτὴ δὲ ἡ ΔΕ ὡς ἔγγιστα
μονάδων θ#γʹ· ἐπεὶ οὖν ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δέδο–
ται, 〈δέδοται〉 δὲ καὶ ἡ κάθετος ἡ ΔΕ, δοθὲν ἄρα καὶ
τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος. ὥστε δεήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ΑΒΓ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὡς ἐμάθομεν πολλαπλα–
σιάσαι ἐπὶ τὰς θ#γʹ· καὶ τῶν γιγνομένων τὸ τρίτον
λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.
Ἔστω δὲ ὀκτάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη πλευρά
ἐστι μονάδων ζ. ἔστω τὸ εἰρημένον ὀκτάεδρον, οὗ
γωνίαι ἔστωσαν αἱ πρὸς τοῖς ΑΒΓ ΔΕΖ σημείοις·
τοῦτο δὲ σύγκειται ἐκ δύο πυραμίδων, ὧν βάσις κοινὴ
τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφαὶ δὲ τὰ Ε, Ζ σημεῖα·
ἑκατέρας ἄρα αὐτῶν τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν
παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, ὕψος
δὲ τὸ ἥμισυ τῆς ΕΖ· ὥστε ὅλου τοῦ ὀκταέδρου τριπλά–
σιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν
τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, ὕψος δὲ ἡ ΕΖ διάμετρος.
ἐπεὶ οὖν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ μονάδων μθ, τὸ ἄρα
ἀπὸ τῆς ΕΖ ἔσται Ϟη· ἡ ἄρα ΕΖ ὡς ἔγγιστα ἔσται
μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἐστὶ μονάδων ζ, τὸ ἄρα
ΑΒΓΔ τετράγωνον ἔσται μονάδων μθ· καὶ ἔστιν ἡ
ΕΖ ὕψος τοῦ στερεοῦ· τὸ ἄρα στερεὸν παραλληλεπί–
πεδον ἔσται μονάδων υϞ· καὶ ἔστι τριπλάσιον τοῦ
ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ὀκτάεδρον ἔσται ρξγ γʹ· τοσούτου
ἔσται τὸ στερεόν.
Ἔστω εἰκοσάεδρον 〈μετρῆσαι〉, οὗ ἑκάστη τῶν
πλευρῶν ἔστω μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν τὸ εἰκοσάεδρον
ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιέχεται, νενοή–
σθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπιζευγμέναι
〈εὐθεῖαι〉 ἐπὶ τὰς τῶν τριγώνων γωνίας· ἔσονται ἄρα
εἴκοσι πυραμίδες ἴσαι βάσεις μὲν ἔχουσαι τὰ τοῦ
εἰκοσαέδρου τρίγωνα, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαί–
ρας· καὶ μία αὐτῶν 〈νε〉νοήσθω, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ
ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω
τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε.
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου
πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθε–
τον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου τριγώνων
λόγον ἔχει, 〈ὃν〉 τὰ ρκζ πρὸς τὰ Ϟγ, καὶ ἔστιν ἡ
τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ μονάδων υ, ἔσται ἄρα ἡ
ΔΕ κάθετος μονάδων ζ καὶ <μα><ρκζʹ> ἐπεὶ οὖν τοῦ ΑΒΓ
τριγώνου ἑκάστη πλευρὰ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἡ ΔΕ δὲ
κάθετος, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν
ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον. καὶ
ἔστιν εἰκοστὸν
μέρος τοῦ εἰκο–
σαέδρου· δοθὲν
ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ
εἰκοσάεδρον.
δεήσει ἄρα τὰ
ι ἐπὶ τὰ Ϟγ
ποιῆσαι καὶ τῶν
γενομένων λα–
βεῖν τὸ ρκζʹ
καὶ ἔχειν τὴν
τῆς πυραμίδος
κάθετον· καὶ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
ἰσοπλεύρου καὶ εἰκοσάκι ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ
τὴν εἰρημένην κάθετον· καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον
λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου στερεόν.
Ἔστω δὴ δωδεκάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη
πλευρά ἐστι μονάδων ι. πάλιν οὖν, ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέν–
τρου τῆς σφαίρας νοήσωμεν ἐπιζευγμένας εὐθείας ἐπὶ
τὰς τοῦ πενταγώνου γωνίας, ἔσονται ιβ πυραμίδες
πενταγώνους βάσεις ἔχουσαι, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον
τῆς σφαίρας· λόγον δὲ ἔχει ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ
πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγο–
μένην ἐπὶ ἓν τῶν πενταγώνων, ὃν τὰ η πρὸς τὰ θ·
καὶ ἔστιν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ μονάδων ι· ἡ ἄρα
εἰρημένη κάθετος ἔσται μονάδων ια δʹ. πάλιν οὖν τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου λαβόντες καὶ πολλαπλασιά–
σαντες ἐπὶ τὴν κάθετον καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον
λαβόντες ἕξομεν μιᾶς πυραμίδος τὸ στερεόν· ὃ δωδε–
κάκι ποιήσαντες ἕξομεν τὸ τοῦ δωδεκαέδρου στερεόν.
Τῶν δὴ ἐν τάξει στερεῶν σωμάτων μετρηθέντων
εὔλογον ὑπολαμβάνομεν καὶ τὰ ἄτακτα, οἷον ῥιζώδη ἢ
πετρώδη, παριστορῆσαι τῇ μετρήσει, ὡς ἔνιοι ἱστοροῦσι
τὸν Ἀρχιμήδη ἐπινενοηκέναι πρὸς τὰ τοιαῦτα μέθοδον.
εἰ μὲν γὰρ εὐμετάφορον εἴη τὸ μέλλον μετρεῖσθαι,
δεήσει δεξαμενὴ〈ν〉 πάντη ὀρθογωνίαν ποιήσαντα δυνα–
μένην δέξασθαι, ὃ βουλόμεθα μετρηθῆναι, πληρῶσαι
ὕδατος καὶ ἐμβαλεῖν τὸ ἄτακτον σῶμα. δῆλον δὴ οὖν,
ὅτι ὑπερχυθήσεται τὸ ὕδωρ καὶ τοσοῦτόν γε, ὅσος
ἐστὶν ὁ τοῦ ἐμβληθέντος σώματος εἰς τὸ ὕδωρ ὄγκος,
ἐξαρθέντος τοῦ σώματος πάλιν ἐκ τῆς δεξαμενῆς ἐλλι–
πὲς ἔσται. μετρήσαντες οὖν τὸν ἐκκεκενωμένον τόπον
ἀποφανούμεθα τοσούτου εἶναι τὸ στερεὸν τοῦ ἐμβλη–
θέντος σώματος. ἢ καὶ ἄλλως δυνατόν ἐστι τὸ αὐτὸ
μετρῆσαι· ἐὰν γὰρ προσπλασθῇ τὸ ἄτακτον σῶμα
κηρῷ ἢ πηλῷ, ὥστε γενέσθαι ἀποκρυβὲν πάντη ὀρθο–
γώνιον, καὶ τοῦτο μετρήσαντες ἀφέλωμεν τὸν πηλὸν
καὶ ὀρθογώνιον πλάσαντες ἐκμετρήσωμεν καὶ ἀφέλωμεν
ἀπὸ τοῦ πρότερον μετρηθέντος τὸ καταλειπόμενον,
ἀποφανούμεθα τὸ τοῦ σώματος στερεόν· τῇ δὲ τοῦ
περιπλάσματος μεθόδῳ χρῆσθαι δεῖ ἐπὶ τῶν μὴ δυνα–
μένων μετατίθεσθαι σωμάτων.
{ΗΡΩΝΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ Γ
ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ}
Οὐ πολὺ ἀπᾴδειν νομίζομεν τὰς τῶν χωρίων
διαιρέσεις τῶν γιγνομένων ἐν τοῖς χωρίοις μετρή–
σεων· καὶ γὰρ τὸ ἀπονεῖμαι χωρίον τοῖς ἴσοις ἴσον
καὶ τὸ πλέον τοῖς ἀξίοις κατὰ τὴν ἀναλογίαν πάνυ
εὔχρηστον καὶ ἀναγκαῖον θεωρεῖται. ἤδη γοῦν καὶ ἡ
σύμπασα γῆ διῄρηται κατ´ ἀξίαν ὑπ´ αὐτῆς τῆς φύ–
σεως· νέμεται γὰρ κατ´ αὐτὴν ἔθνη μέγιστα μεγάλην
λελογχότα χώραν, ἔνια δὲ καὶ ὀλίγην μικρὰ καθ´
αὑτὰ ὑπάρχοντα· οὐχ ἧττον δὲ καὶ κατὰ μίαν αἱ πό–
λεις κατ´ ἀξίαν διῄρηνται· τοῖς μὲν ἡγεμόσι καὶ τοῖς
ἄλλοις τοῖς ἄρχειν δυναμένοις μείζω καὶ κατὰ ἀνα–
λογίαν, τοῖς δὲ μηδὲν τοιοῦτο δυναμένοις δρᾶν μικροὶ
κατελείφθησαν τόποι, κῶμαί τε τοῖς μικροψυχοτέροις
καὶ ἐποίκια καὶ ὅσα τοιαῦτά ἐστιν· ἀλλὰ τὰ μὲν
παχυμερεστέραν πως καὶ ἀργοτέραν εἴληφε τὴν ἀνα–
λογίαν· εἰ δέ τις βούλοιτο κατὰ τὸν δοθέντα λόγον
διαιρεῖν τὰ χωρία, ὥστε μηδὲ ὡς εἰπεῖν κέγχρον μίαν
τῆς ἀναλογίας ὑπερβάλλειν ἢ ἐλλείπειν τοῦ δοθέντος
λόγου, μόνης προσδεήσεται γεωμετρίας· ἐν ᾗ ἐφαρ–
μογὴ μὲν ἴση, τῇ δὲ ἀναλογίᾳ δικαιοσύνη, ἡ δὲ περὶ
τούτων ἀπόδειξις ἀναμφισβήτητος, ὅπερ τῶν ἄλλων
τεχνῶν ἢ ἐπιστημῶν οὐδεμία ὑπισχνεῖται.
Χωρίον τρίγωνον διελεῖν εἰς τρίγωνα χωρία ἐν
τῷ δοθέντι λόγῳ τὴν αὐτὴν ἔχοντα κορυφήν. ἔστω
τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονά–
δων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονά–
δων ιε· καὶ δέον ἔστω διελεῖν αὐτὸ εἰς δύο χωρία
τρίγωνα λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα, ὃν ε πρὸς γ,
κορυφὴν δὲ τὸ Α. γεγονέτω καὶ ἔστω ἡ διαιροῦσα
εὐθεῖα ἡ ΑΔ·
λόγος ἄρα τοῦ
ΑΒΔ τριγώ–
νου πρὸς τὸ
ΑΔΓ τρίγω–
νον, 〈ὃν〉 ε
πρὸς γ· καὶ
συνθέντι λόγος
ἄρα τοῦ ΑΒΓ
τριγώνου πρὸς
τὸ ΑΔΓ τρί–
γωνον, ὃν η πρὸς γ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἡ
ἄρα ΓΔ ἔσται μονάδων ε δʹ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ μονάδων
η#δʹ. κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΔ, ἔσται γεγονὸς τὸ προ–
κείμενον· τὸ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου ἐμβαδὸν
εὑρήσομεν μονάδων νβ#, τὸ δὲ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου
μονάδων λα#. ἔχει δὲ τὰ νβ# πρὸς τὰ λα# λόγον,
ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ γ.
Τὸ δοθὲν τρίγωνον εἰς τὸν δοθέντα λόγον δι–
ελεῖν εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλῳ τῇ βάσει. ἔστω τρίγω–
νον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν
δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. καὶ
δέον ἔστω αὐτὸ διελεῖν, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ
τρίγωνον τριπλάσιον εἶναι τοῦ λοιποῦ τραπεζίου.
ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ ΔΕ· τριπλάσιον ἄρα
ἐστὶ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον τοῦ ΔΕΓΒ τραπεζίου· τὸ
ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον [ὂν] πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον
λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ. ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ
τετράγωνον [ὂν] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ διὰ τὸ ὅμοια
εἶναι τὰ τρίγωνα. καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετρά–
γωνον μονάδων ρξ〈θ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΔ τετρά–
γωνον μονάδων ρκ〉ϛ#δʹ· αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΔ ἔσται ὡς
ἔγγιστα μονάδων ια δʹ. ὥστε ἐὰν ἀπολάβωμεν τὴν
ΑΔ μονάδων ια δʹ καὶ παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν
ΔΕ, ἔσται τὸ προκείμενον. ἵνα δὲ μὴ παράλληλον
ἄγωμεν, ἐπειδήπερ ἐν τοῖς χωρίοις δύσεργον ὑπάρχει
τὸ τοιοῦτον διὰ τὴν τῶν τόπων ἀνωμαλίαν, ἀποληψό–
μεθα καὶ τὴν ΑΕ μονάδων ὅσων ἂν ᾖ. ἔστιν δὲ,
ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΑΓ, τουτέστιν ὡς
τὰ ιγ πρὸς ιε, οὕτως τὴν ΑΔ, τουτέστιν ια δʹ, πρὸς
ἄλλην τινά· τουτέστι τὴν ΑΕ. ἔσται μονάδων ιβ 〈<να><νβʹ>〉.
τοσούτου ἔσται ἡ ΑΕ. ἐπιζεύξαντες οὖν τὴν ΔΕ
ἕξομεν τὴν διαιροῦσαν τὸ χωρίον. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται
τοιαύτη· ἐπεὶ ὁ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ἔστι γ πρὸς α,
σύνθες γ καὶ α· γίγνεται δ. καὶ τὰ ιγ ἐφ´ ἑαυτά·
γίγνεται ρξθ. ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται φζ. παρά–
βαλε παρὰ τὸν δ· γίγνεται ρκϛ#δʹ. τούτων πλευρὰ γί–
γνεται ὡς ἔγγιστα ια δʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸν ιε· γίγνε–
ται ρξη#δʹ. ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ιγ· γίγνεται ιβ
καὶ <να><νβʹ> τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΑΕ καὶ ἐπίζευξον
τὴν ΔΕ.
Ἔστω δὴ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν
μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν
δὲ ΓΑ μονάδων ιε. καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΑΔ, εἰ τύχοι,
μονάδων ιβ. καὶ δέον ἔστω ἀπὸ τοῦ Δ διαγαγεῖν
τὴν ΔΕ διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ τῷ
δοθέντι. ἔστω δὴ ὁ λόγος, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ β.
ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον αἱ
ΒΖ ΔΗ. ἔσται δὴ ἡ ΒΖ κάθετος, ὡς ἐμάθομεν, μο–
νάδων ια εʹ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ,
τουτέστιν ὡς ιγ πρὸς ιβ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΔΗ,
καὶ ἔστιν ἡ ΒΖ ια εʹ, ἡ ἄρα ΔΗ ἔσται μονάδων ι
καὶ <κβ><ξεʹ> καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ
λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς γ, καὶ ἔστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
μονάδων πδ, τὸ ἄρα ΑΔΕ τρίγωνον ἔσται μονάδων
ν καὶ β<εʹ> τοῦ δὲ ΑΔΕ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ
ὑπὸ τῶν ΑΕ ΔΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ ΔΗ ἔσται
μονάδων ρ καὶ δ<εʹ> καὶ ἔστιν ἡ ΔΗ μονάδων ι καὶ
<κβ><ξεʹ>· ἡ ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων θ#δʹ. κἂν ἐπιζεύξωμεν
τὴν ΔΕ, ἔσται τὸ προκείμενον. ἔστι δὲ ἡ μέθοδος
τοιαύτη· ἐπεὶ ἡ ΒΖ κάθετός ἐστιν, ια εʹ ἐπὶ τὰ ιβ·
καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς τὸν ι〈γ· γίνο〉νται μονά–
δες ι καὶ <κβ><ξεʹ> καὶ ἐπεὶ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ὁ τῶν
γ 〈πρὸς〉 τὰ β, σύνθες γ καὶ β· γίγνεται ε· καὶ πολλα–
πλασίασον τὸν γ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, τουτ–
έστιν ἐπὶ τὰ πδ· γίγνεται σνβ. ταῦτα μέρισον εἰς
τὸν ε· γίγνεται νβ εʹ. ταῦτα δίς· γίγνεται ρ καὶ δ<εʹ>
μέρισον ταῦτα παρὰ τὸν ι καὶ <κβ><ξεʹ>· γίγνονται μονάδες
θ#δʹ. τοσούτου ἀπολαβὼν τὴν ΑΕ ἐπίζευξον τὴν ΔΕ·
καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.
Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπ´ αὐτοῦ
τρίγωνον τὸ ΔΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει, ὥστε τὰ κατα–
λειπόμενα τρίγωνα τὰ ΑΔΕ ΒΔΖ ΓΕΖ ἴσα εἶναι
ἀλλήλοις. ἐὰν δὴ τμηθῶσιν 〈αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τοῖς
Δ, Ζ, Ε〉, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ,
οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ,
ἔσται τὰ ΑΔΕ ΒΔΖ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις.
ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ· καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς
ΖΓ, ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ
ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ
τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ, οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ
ΑΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς
τὸ ΑΒΖ, οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ, ὅ ἐστι δοθέν.
δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ, ὅ ἐστι δοθέν. καὶ
ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ ΑΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμ–
βαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλά–
σιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ, τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ
διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ
ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ
ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ [Χ]ΒΓ· δοθὲν
ἄρα τὸ Ζ· λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ 〈δοθείς〉·
ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Δ
δοθέν ἐστι· θέσει ἄρα αἱ ΔΕ ΕΖ ΖΔ. συντεθή–
σεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ
ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ
ΓΑ μονάδων ιε. ἔστω δὲ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον μο–
νάδων πδ. λοιπὰ ἄρα τὰ ΑΔΕ ΔΒΖ ΕΖΓ τρί–
γωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ. πολλαπλασίασον τὰ πδ
ἐπὶ τὰ κ· γίνεται ͵αχπ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται
͵ϛψκ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ· ἐφ´
ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ· μέρισον τὰ ͵ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ·
γίγνεται μϛ· καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἔσται
ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ
ΖΓ μονάδων ε#. καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς [τὸ]
τὰ ε#, οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινά· γίγνεται μονά–
δων ε <κε><κηʹ> πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ ε#, οὕτω τὰ ιγ
πρὸς ἄλλον τινά· γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ<κηʹ>
γίγνεται ἡ ΒΔ μονάδων ε καὶ γ<κηʹ>
Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓΔ καὶ παραλ–
λήλου οὔσης τῆς ΑΔ τῇ ΒΓ διελεῖν τὸ ΑΒΓΔ
τετράπλευρον τῇ ΕΖ εὐθείᾳ, ὥστε λόγον τοῦ ΑΒΕΖ
πρὸς τὸ ΕΖΓΔ 〈δοθέντι ἴσον εἶναι〉 δοθεισῶν τῶν
ΕΖ ΓΔ καὶ εἰς τὸ αὐτὸ νευουσῶν σημεῖον τὸ Η·
διὰ δὴ τοῦτο ἔσται ὡς τὸ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓΔ,
οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ὥστε λόγος καὶ τῆς ΒΖ
πρὸς ΖΓ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα
τὸ Ζ· κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ.
συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως·
ἔστω δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ β πρὸς τὰ γ· καὶ ἔστω
ἡ μὲν ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων κ, αἱ δὲ
ΑΒ ΓΔ οἱαιδηποτοῦν. σύνθες τὰ β καὶ τὰ γ· γίγνε–
ται ε· καὶ τὰ κε ἐπὶ τὸν β· γίγνεται ν· ταῦτα παρά–
βαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ι· τοσούτων ἀπειλήφθω
μονάδων ἡ ΒΖ. πάλιν τὰ κ ἐπὶ τὰ β· γίγνεται μ·
ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται η. τοσούτων
ἀπόλαβε τὴν ΑΕ. καὶ ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΖ, ποιήσει
τὸ προκείμενον.
Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ
μονάδων ε καὶ ἐπιτετάχθω ἀπὸ τοῦ Η διαγαγεῖν τὴν
ΗΘ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.
διήχθω οὖν, ὡς ἐμάθομεν, ἡ ΕΖ διαιροῦσα τὸ χωρίον
ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΕΘ·
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ 〈ΕΖ〉 τῷ ΑΒΘΗ· ὥστε καὶ
λοιπὸν τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ ἴσον
ἐστίν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ· ἀλλὰ καὶ
ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· δοθεῖσα
δὲ ἡ ΗΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ
Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθή–
σεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἀπειλήφθω
ἡ ΒΖ μονάδων ι· τοσούτου γὰρ ἀπεδείχθη· καὶ ἐπεὶ
ἡ ΑΕ ἐστὶ μονάδων η, ἡ δὲ ΑΗ μονάδων ε, λοιπὴ
ἄρα ἡ ΗΕ μονάδων γ. καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΘ· ἀπει–
λήφθω οὖν ἡ ΖΘ μονάδων γ. ὥστε ὅλη ἡ ΒΘ ἔσται
μονάδων ιγ· ἐπιζευχθείσης οὖν τῆς ΗΘ ἔσται τὸ
προκείμενον.
Πάλιν δὲ τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓΔ
καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΑΒ τῇ ΓΔ ἀγαγεῖν αὐ–
ταῖς παράλληλον τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον
ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ
ΓΑ ΔΒ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΕΒΖ
πρὸς τὸ ΕΓΖΔ, λόγος ἄρα ἐστὶν καὶ τοῦ ΑΒΓΔ
πρὸς τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἔστιν τὸ ΑΓΒΔ δοθέν· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς
τὴν ΑΒ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ, λόγος δὲ τῆς ΓΔ πρὸς
τὴν ΒΑ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ· καὶ
διελόντι τῆς ΓΑ πρὸς ΑΗ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δο–
θεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ· κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΒΗ· δοθὲν
ἄρα τὸ ΑΗΒ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΖΒ τετρά–
πλευρον δοθέν ἐστιν.
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΕΗΖ
τρίγωνον δοθέν ἐστιν.
ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΗΒ·
ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΗ
πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ. καὶ
ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ.
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ
ΕΗ· δοθὲν ἄρα τὸ Ε.
κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ Ζ.
θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συν–
τεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἔστω ἡ
μὲν ΑΓ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΔ μονάδων ιε, ἡ δὲ ΑΒ
μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΓΔ μονάδων κ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν
τοῦ ΑΒΓΔ, ὡς ἐπάνω ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ρνϛ.
ἔστω δὲ ὁ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε·
σύνθες οὖν γ καὶ ε· γίγνεται η. καὶ τὰ ρνϛ ἐπὶ τὰ γ·
γίγνεται υξη. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν η. γίγνεται νη#.
τοσούτου ἔσται τὸ ΑΕΒΖ. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν κ
τὰ ϛ· λοιπὰ ιδ. καὶ τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ϛ· γίγνεται οη.
παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ε καὶ δ<ζʹ> ἔσται ἡ ΑΗ
μονάδων ε καὶ δ<ζʹ> πάλιν τὰς ιε ἐπὶ τὸν ϛ· γίγνεται
Ϟ. παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ϛ 〈γ<ζʹ>〉. καὶ ἔσ–
ται ἡ ΒΗ μονάδων ϛ καὶ γ<ζʹ> ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονά–
δων ϛ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΗΒ τριγώνου ἔσται
μονάδων ιε καὶ γ<ζʹ> τοῦ δὲ ΑΕΖΒ τραπεζίου τὸ
ἐμβαδὸν νη#· ὅλου ἄρα τοῦ ΕΖΗ τριγώνου τὸ ἐμ–
βαδὸν ἔσται μονάδων ογ <ιγ><ιδʹ> καὶ πολλαπλασίασον μο–
νάδας ε καὶ δ<ζʹ> ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται λα καὶ β<μθʹ> ἐπὶ τὰ
ογ <ιγ><ιδʹ>, καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν ιε καὶ
γ<ζʹ>, καὶ τῶν γενομένων πλευρὰν λαβέ· γίγνεται ιβ καὶ
ιδʹ ὡς ἔγγιστα· καὶ ἀπὸ τῆς εὑρεθείσης πλευρᾶς ἄφελε
τὰ ε καὶ δ<ζʹ>· ἔσονται λοιπαὶ μονάδες ϛ#· ἀπόλαβε οὖν
τὴν ΑΕ μονάδων ϛ# καὶ ποίησον ὡς ιγ πρὸς ιε, οὕ–
τως ϛ# πρὸς τί· ἔσται δὲ πρὸς μονάδας ζ#· ἀπόλαβε
τὴν ΒΖ μονάδων ζ#· ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ
προκείμενον.
Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονά–
δων β· καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΗΘ ἐν τῷ αὐτῷ
λόγῳ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον. διήχθωσαν οὖν αἱ
ΗΘ, ΕΖ τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαι τὸ τετράπλευρον,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ, ΕΘ· ἔσται δὴ ὁμοίως ἴσον
τὸ ΑΗΒΘ τῷ ΑΕΖΒ. ὥστε καὶ τὸ ΗΕΖ τρίγωνον
ἴσον ἐστὶν τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ. παράλληλος ἄρα ἡ
ΗΖ τῇ ΕΘ. ἤχθω δὴ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ
ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΚΖ τρίγωνον τῷ ΕΖΘ.
ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΚ.
καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΖΚ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ.
δοθὲν ἄρα τὸ Θ· ἀλλὰ καὶ τὸ Η· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ.
συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ποί–
ησον ὡς τὰ ιγ πρὸς τὰ ιε, οὕτως τὰ β πρὸς τί· γίγνε–
ται β καὶ δ<ιγʹ> ὅλη δὲ ἡ ΒΖ ἦν ζ#· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ
ἔσται μονάδων ε καὶ ε<κϛʹ> ἡ δὲ ΑΗ ε καὶ δ<ζʹ>· καὶ ὁμοί–
ως σύνθες τὰς ϛ# καὶ μονάδας ε καὶ δ<ζʹ>· γίγνεται ιβ
ιδʹ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ μονάδας ε καὶ ε<κϛʹ>· καὶ
τὰ γενόμενα μέρισον εἰς μονάδας ε καὶ δ<ζʹ>· γίγνονται
μονάδες η δʹ. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΖΘ. καὶ ἐπι–
ζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ποιήσει τὸ προκείμενον.
Κύκλου δοθέντος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, γράψαι
ἕτερον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον αὐτῷ, οὗ διάμετρος ἡ
ΓΔ, διαιροῦντα τὸν ἐξ ἀρχῆς κύκλον ἐν λόγῳ τῷ δο–
θέντι. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τῆς ΑΒ ΓΔ ἴτυος πρὸς
τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΓΔ κύκλον δοθείς, λόγος ἄρα
καὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ ΓΔ κύκλου δοθείς.
ὡς δὲ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω τὰ ἀπὸ τῶν
διαμέτρων τετράγωνα· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΒ
πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ δοθείς· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ. συντεθήσεται δὴ οὕτως·
ἔστω ἡ μὲν ΑΒ διάμετρος μονάδων κ, ὁ δὲ δοθεὶς
λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε. σύνθες τὰ γ καὶ τὰ ε·
γίγνεται η· καὶ τὰ κ ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται υ· ἐπὶ τὸν ε·
γίγνεται ͵β. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν η· γίγνεται σν·
τούτων πλευρὰν λαβὲ ὡς ἔγγιστα· γίγνεται ιε <ιγ><〈ιϛʹ〉> το–
σούτου ἔσται ἡ ΓΔ διάμετρος.
Ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθ–
μοῖς διαιρεῖσθαι, προγέγραπται· ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι
μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι, δι´ ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται, ταῦτα
γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα.
Ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβλη–
θείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ
Δ διαγαγεῖν τὴν ΔΕ διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
ἐν λόγῳ δοθέντι. γεγονέτω· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ
ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον, συν–
θέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ.
καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ·
[δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΖΑΕ]. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Δ. εἰς
δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ, ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ
αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ Δ διῆκταί τις εὐθεῖα
χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν· δοθέντα ἄρα τὰ Ε, Ζ
σημεῖα. τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς
δέδεικται. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον. κἂν τὸ Δ
σημεῖον μὴ ᾖ ἐπὶ τῆς ΒΓ, ἀλλ´ ὡς ἔτυχεν, οὐδὲν
διοίσει.
Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓΔ καὶ τμηθεί–
σης τῆς ΑΔ κατὰ τὸ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ τέμνουσαν
τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον ἐν τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΔΕ
λόγῳ. γεγονέτω· καὶ 〈ἤχθω〉 τῇ μὲν ΑΔ παράλληλος
ἡ ΓΗ, τῇ δὲ ΕΒ ἐπιζευχθείσῃ παράλληλος ἡ ΗΘ·
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ ΕΘ ΕΗ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ
ΒΗΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΘ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΕ.
τὸ ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΘΕ τετρα–
πλεύρῳ· ὡς ἄρα τὸ ΑΗΕ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς ἡ
ΑΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως τὸ ΑΒΘΕ τετράπλευρον
πρὸς τὸ ΕΓΔ τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΓΘ
κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΔ,
τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ, τουτέστι τὸ ΕΘΖ τρίγωνον πρὸς
τὸ ΕΓΖ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς
τὸ ΕΖΔΓ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τῷ τῆς ΑΕ πρὸς
τὴν ΕΔ· ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ Γ, θέσει ἄρα καὶ ἡ ΓΗ.
θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. καὶ ἔστι παρὰ
θέσει τὴν ΒΕ ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· δοθεῖσα ἄρα
ἡ ΓΘ· καὶ τέτμηται ἐν δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Ζ·
δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. δεήσει ἄρα εἰς
τὴν σύνθεσιν ἐπιζεῦξαι τὴν ΒΕ καὶ τῇ μὲν ΔΕ πα–
ράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΓΗ, τῇ δὲ ΒΕ τὴν ΗΘ, καὶ
τεμεῖν τὴν ΘΓ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ
πρὸς ΕΔ, οὕτω τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα
ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.
Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεδόσθω τι τυχὸν
σημεῖον τὸ Ε καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ διαι–
ροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγο–
νέτω· καὶ διῃρήσθω ἡ ΑΔ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ
τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΘΕ τῷ αὐτῷ λόγῳ τέμνουσα τὸ
τετράπλευρον. δοθέντα ἄρα τὰ Η, Θ. δοθὲν δὲ καὶ
τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως
τῇ ἀναλύσει οὕτως· διῃρήσθω ἡ ΑΔ ἐν τῷ δοθέντι
λόγῳ κατὰ τὸ Η, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὸ τε–
τράπλευρον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ
καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΗΖ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.
ἔσται δὴ αὕτη ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.
Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ διδόμενον σημεῖον
ἐπὶ μηδεμιᾶς ἔστω πλευρᾶς τοῦ τετραπλεύρου. καὶ
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τετράπλευρον τὸ ΑΒΓΔ, τὸ δὲ
δοθὲν σημεῖον τὸ Ε· καὶ ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ
ποιοῦσαν λόγον τοῦ ΑΒΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΓΔ δοθέντα·
καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ
πρὸς τὸ ΑΒΖΗ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓΔ τετρά–
πλευρον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΖΗ. καὶ εἰ μὲν πα–
ράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ ΑΒΖΗ ἴσον
τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΒΖ καὶ τῆς ἡμισείας
τῆς ἀπὸ τοῦ Α καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ
ἔστι δοθεῖσα ἡ κάθετος· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότε–
ρος ἡ ΑΒ ΖΗ· θέσει ἄρα ἡ ΖΕ. τοῦτο γὰρ ἑξῆς.
εἰ δὲ μή εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ·
δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ τετράπλευρον. καὶ ὅλον ἄρα
τὸ ΗΖΘ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Θ
γωνία· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΖ· ἀπῆκται ἄρα εἰς τὴν
τοῦ χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ.
Ἑξῆς δὲ δείξομεν, ὡς δεῖ πολυπλεύρου εὐθυ–
γράμμου δοθέντος καὶ σημείου ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς
διαγαγεῖν ἀπὸ τοῦ σημείου εὐθεῖαν διαιροῦσαν τὸ
χωρίον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ· ἔστω τὸ δοθὲν χω–
ρίον τὸ ΑΒΓΔΕΖ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς
αὐτοῦ πλευρᾶς ἔστω τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΗΘ διαι–
ροῦσα τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ· ἐπεὶ οὖν
λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΘΗΖ χωρίου πρὸς τὸ ΗΘΓΔΕ
δοθείς, καὶ συνθέντι ἄρα λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓΔΕΖ
πρὸς τὸ ΗΘΓΔΕ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓΔΕΖ.
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΓΔΕ. ὧν τὸ ΗΓΔΕ δοθέν
ἐστι· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΘΓ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ
ἔστιν αὐτοῦ διπλάσιον, καθέτου ἀχθείσης τῆς ΗΚ ἐπὶ
τὴν ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΓΘ ΗΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΗΚ·
δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· θέσει ἄρα
ἡ ΘΗ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕ–
τως· ἔστω δοθεὶς λόγος τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ΜΝ· καὶ
πεποιήσθω ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕΖ
πρὸς ἄλλο τι χωρίον τὸ Ξ· καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἀφῃρήσθω
ἴσον τῷ ΗΓΔΕ· καὶ ἔστω λοιπὸν τὸ Ο. καὶ κάθετος
ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω ἡ ΗΚ· καὶ παραβεβλήσθω τὸ Ο
παρὰ τὴν ΗΚ· καὶ ποιείτω πλάτος τὴν ἡμίσειαν τῆς
ΓΘ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ· ἔσται δὴ ἡ ΗΘ ποιοῦσα
τὸ πρόβλημα.
Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν ση–
μεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς πλευρᾶς, καὶ ἔστω τὸ Η· καὶ δι–
ήχθω ἡ ΗΘ, ὥστε ἐν δοθέντι λόγῳ διαιρεῖν τὸ χωρίον·
δοθὲν ἄρα ἔσται τὸ ΚΘΓΔΕ. καὶ εἰ μὲν παράλληλός
ἐστι ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ἔσται λοιπὸν
τὸ ΘΓΕΚ· ὥστε θέσει ἐστὶν ἡ ΗΘ. εἰ δὲ οὔκ εἰσι
παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ· δοθὲν ἄρα τὸ
ΓΔΕΛ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΚΛ τρίγωνον δοθέν
ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ [Η]Λ γωνία· δοθὲν ἄρα
τὸ ὑπὸ ΚΛΘ· ἀπῆκται ἄρα πρὸς τὴν τοῦ χωρίου ἀπο–
τομήν· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ.
Δύο θέσει παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ
καὶ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΒΔ ποιοῦσαν
συναμφότερον τὴν ΑΒ, ΓΔ δοθεῖσαν. γεγονέτω· καὶ
τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΖ. δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΔΖ· δοθὲν ἄρα
τὸ Ζ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· θέσει ἄρα ἡ ΑΖ. καὶ δίχα
τέτμηται κατὰ τὸ Η· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ, ΔΖ· δο–
θὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΗ.
δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν θεῖναι τῇ δοθείσῃ ἴσην
τὴν ΓΖ καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΑΖ καὶ δίχα τεμεῖν κατὰ
τὸ Η, καὶ ἐπιζεύξαντα τὴν ΕΗ ἐκβαλεῖν ἐφ´ ἑκάτερα·
καὶ ἔσται ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.
Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπι–
φάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ, ὥστε τὰς ἐπι–
〈φανείας〉 τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν
τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος 〈ὁ〉 τῆς
Α πρὸς τὴν Β. καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν
ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ διάμετρος ἡ ΓΔ. καὶ τετμήσθω ἡ
ΓΔ κατὰ τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β,
οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΓΔ
πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ,
ΖΔ· καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφα–
νείας τῆς σφαίρας τὸ Θ· καὶ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι
δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπι–
φανείᾳ τῆς σφαίρας. ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμή–
ματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας
ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς
Α πρὸς τὴν Β· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Θ πόλῳ ἐπι–
φάνεια τοῦ τμήματος ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ
κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ τμήματος
ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση
ἐστὶν τῇ ΔΖ. οἱ δὲ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους
εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΔ τετράγωνα πρὸς
ἄλληλα· ὡς δὲ 〈τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς〉 τὸ ἀπὸ τῆς
ΔΖ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, τουτέστιν ἡ Α πρὸς
τὴν Β. αἱ ἄρα εἰρημέναι ἐπιφάνειαι λόγον ἔχουσι
πρὸς ἀλλήλας τὸν τῆς Α πρὸς τὴν Β· ταῦτα γὰρ
ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας Ἀρχιμήδει δέδεικται
Τὸν δοθέντα κύκλον διελεῖν εἰς τρία ἴσα δυ–
σὶν εὐθείαις. τὸ μὲν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητόν
ἐστι, δῆλον, τῆς εὐχρηστίας δὲ ἕνεκεν διελοῦμεν αὐτὸν
ὡς ἔγγιστα οὕτω. ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος, οὗ κέντρον
τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον,
οὗ πλευρὰ ἡ ΒΓ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΑΕ
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ ΔΓ. λέγω ὅτι τὸ ΔΒΓ
τμῆμα τρίτον ἔγγιστά ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ ΑΓ. ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ το–
μεὺς τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. καὶ ἔστιν
ἴσον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· τὸ ἄρα
ΒΔ[Ζ]ΓΖ σχῆμα τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου κύκλου,
ᾧ δὴ μεῖ〈ζ〉όν ἐστιν αὐτοῦ τὸ ΔΒΓ τμῆμα ἀνεπαισ–
θήτου ὄντος ὡς πρὸς τὸν ὅλον κύκλον. ὁμοίως δὲ
καὶ ἑτέραν πλευρὰν ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐγγράψαν–
τες ἀφελοῦμεν ἕτερον τρίτον μέρος· ὥστε καὶ τὸ
καταλ〈ε〉ιπόμενον τρίτον μέρος ἔσται [μέρος] τοῦ ὅλου
κύκλου.
Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι
σημεῖον τὸ Δ, ὥστε ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΔΑ
ΔΒ ΔΓ τὰ ΑΒΔ ΔΒΓ ΓΑΔ τρίγωνα ἴσα εἶναι.
γεγονέτω· καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ καὶ
ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτον μέ–
ρος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΕΒΓ· τριπλά–
σιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου.
ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΕ ἐστὶ τριπλῆ. καὶ ἔστι δο–
θεῖσα ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΕ· καὶ δοθὲν τὸ
Β· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· καὶ παρὰ τὴν ΒΓ [καὶ] ἡ
ΕΔ· θέσει ἄρα ἡ ΕΔ. πάλιν δὲ τῇ ΑΒ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΔΖ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τριπλασία ἐστὶ τῆς ΖΑ· δοθὲν ἄρα τὸ
Ζ· θέσει ἄρα ἡ ΖΔ· θέσει δὲ καὶ ἡ ΔΕ· δοθὲν ἄρα
τὸ Δ. συντεθήσεται δὴ οὕτως. εἰλήφθω τῆς μὲν
ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΒΕ, τῆς δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ, καὶ τῇ
μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ ΕΔ, τῇ δὲ ΑΒ ἡ ΖΔ. ἐπι–
ζευχθεῖσαι οὖν αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ποιήσουσι τὰ ΑΒΔ,
ΔΒΓ, ΓΔΑ τρίγωνα ἴσα.
Αἱ μὲν οὖν τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων χωρίων διαι–
ρέσεις αὐτάρκως εἴρηνται, ἑξῆς δὲ ἐπὶ τὰ στερεὰ χω–
ρήσομεν. ὅσα μὲν οὖν ἰσοπαχῆ τυγχάνει στερεὰ, οἷον
κύλινδροι καὶ παραλληλεπίπεδα καὶ ὅσα ἁπλῶς τὰς
βάσεις ταῖς κορυφαῖς τὰς αὐτὰς ἔχει, εὐκόπως διαι–
ρεῖται εἰς τοὺς δοθέντας λόγους. ὃν γὰρ ἔχει λόγον
τὸ μῆκος, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ στερεόν. τῶν
δὲ μειούρων αἱ διαιρέσεις οὐχ οὕτως, οἷον πυραμί–
δων καὶ κώνων καὶ τῶν τοιούτων· διὸ περὶ αὐτῶν
γράψομεν.
Ἔστω γὰρ πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα οἱανδη–
ποτοῦν τὴν ΑΒΓΔ, κορυφὴν δὲ τὸ Ε σημεῖον· καὶ
δεδόσθω αὐτῆς μία πλευρὰ ἡ ΑΕ μονάδων ε. καὶ
δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει,
ὥστε τὴν ἀποτεμνομένην πρὸς τῇ κορυφῇ πυραμίδα
τοῦ καταλειπομένου στερεοῦ εἶναι, εἰ τύχοι, τετρα–
πλῆν. τεμνέσθω καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΖΗΘΚ. 〈ἡ
ἄρα ΑΖ〉 πλευρά ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ ΖΗΘΚ στερεοῦ·
ἡ ἄρα ΑΒΓΔΕ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΘΗΚΕ πυρα–
μίδα λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ. ὡς δὲ αἱ πυρα–
μίδες πρὸς ἀλλήλας, οὕτως οἱ ἀπὸ τῶν ὁμολόγων
πλευρῶν κύβοι· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος πρὸς τὸν
ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ· καὶ
ἔστιν 〈ὁ〉 ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος μονάδων ρκε· ὁ ἄρα
ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβος ἔσται μονάδων ρ. δεήσει ἄρα τῶν
ρ μονάδων λαβεῖν κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα· ἔστι
δὲ μονάδων δ καὶ θ<ιδʹ>, ὡς ἑξῆς δείξομεν. ὥστε ἐὰν
ἀποληφθῇ ἡ ΕΖ μονάδων δ καὶ θ<ιδʹ> καὶ διὰ τοῦ Ζ
σημείου τμηθῇ ἡ πυραμὶς ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βά–
σει, ἔσται τὸ προκείμενον. συντεθήσεται δὲ οὕτως·
κύβισον τὰ ε· γίγνεται ρκε. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν,
ἐν ᾧ διαιρεῖται ἡ πυραμὶς, ὃν δ πρὸς α, σύνθες δ
καὶ ἕν· γίγνεται ε. καὶ τὰ ρκε ἐπὶ τὸν δ· γίγνε–
ται φ. παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ρ· καὶ τού–
των κυβικὴν πλευράν· γίγνεται δ καὶ θ<ιδʹ> τοσούτου
ἔσται ἡ ΕΖ.
Ὡς δὲ δεῖ λαβεῖν τῶν ρ μονάδων κυβικὴν πλευρὰν,
νῦν ἐροῦμεν.
Λαβὲ τὸν ἔγγιστα κύβον τοῦ ρ τόν τε ὑπερβάλλοντα
καὶ τὸν ἐλλείποντα· ἔστι δὲ ὁ ρκε καὶ ὁ ξδ. καὶ
ὅσα μὲν ὑπερβάλλει, μονάδες κε, ὅσα δὲ ἐλλείπει,
μονάδες λϛ. καὶ ποίησον τὰ ε ἐπὶ τὰ λϛ· γίγνεται
ρπ· καὶ τὰ ρ· γίγνεται σπ.
〈καὶ παράβαλε τὰ ρπ παρὰ τὰ
σπ·〉 γίγνεται θ<ιδʹ> πρόσβαλε
τῇ [κατὰ] τοῦ ἐλάσσονος κύβου
πλευρᾷ, τουτέστι τῷ δ· γίγνε–
ται μονάδες δ καὶ θ<ιδʹ> τοσού–
των ἔσται ἡ τῶν ρ μονάδων
κυβικὴ πλευρὰ ὡς ἔγγιστα.
Τὸν δοθέντα κῶνον
διελεῖν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ
βάσει ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.
ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ βάσις
μέν ἐστιν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυ–
φὴ δὲ τὸ Γ. καὶ ἔστω αὐτοῦ
ἡ πλευρὰ μονάδων ε. καὶ
ἐπιτετάχθω διελεῖν, ὡς εἴρηται, ὥστε τὸν ἀποτεμνό–
μενον πρὸς τῇ κορυφῇ κῶνον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ
καταλειπομένου κολούρου κώνου. ἀκολούθως οὖν τοῖς
ἐπὶ τῆς πυραμίδος εἰρημένοις ἕξει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ
κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΓΔ κύβον λόγον, ὃν ἔχει τὰ
ε πρὸς τὰ δ· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ κύβος ἔσται μονά–
δων ρ· αὐτὴν ἄρα ἡ ΓΔ ἔσται μονάδων δ καὶ θ<ιδʹ>
ἔγγιστα. ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΓΔ τοσούτων. καὶ διὰ
τοῦ Δ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω παράλληλον τῇ βάσει
καὶ ποιείτω τομὴν τὸν ΔΕ κύκλον, ὃς ποιήσει τὸ προ–
κείμενον.
Ἔ〈στ〉ω δὴ [ὁ] δοθεὶς 〈κόλουρος〉 κῶνος, ὃν
δεῖ διελεῖν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω βάσις μὲν ὁ ΑΒ
κύκλος, κορυφὴ δὲ ὁ ΔΕ. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν
αὐτὸν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὸ πρὸς τῇ
〈κορυφῇ〉 τμῆμα τετραπλάσιον εἶναι τοῦ καταλειπο–
μένου· δεδόσθω δ´ ἡ μὲν τοῦ ΑΒ κύκλου διάμετρος
μονάδων κη, ἡ δὲ τοῦ ΑΕ μονάδων κα, τὸ δὲ ὕψος
μονάδων ιβ· καὶ διῃρήσθω, ὡς εἴρηται, τῷ ΖΗ κύκ–
λῳ, ὥστε τὸν ΔΕΖΗ κῶνον κόλουρον τετραπλασίονα
εἶναι τοῦ ΖΗΑΒ κολούρου κώνου· ὁ ἄρα ΑΒΔΕ
κωνοκόλουρος πρὸς τὸν ΔΕΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ε
πρὸς δ. καὶ ἔστιν ὁ ΑΒΔΕ κωνοκόλουρος δοθείς·
αἱ γὰρ διάμετροι τῶν βάσεων αὐτοῦ δοθεῖσαί εἰσιν
καὶ ἔτι τὸ ὕψος δοθέν· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ΔΕΖΗ
κωνοκόλουρος. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ΔΘ καὶ προσηυξή–
σθω ὁ κῶνος. καὶ ἔστω αὐτοῦ κορυφὴ τὸ Γ, ἄξων
δὲ ὁ ΓΔ. ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἔστι δοθεῖσα, δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ ΔΛ, τουτέστιν ἡ ΚΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΚ δοθεῖσά
ἐστιν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστιν· λόγος ἄρα
τῆς ΚΔ πρὸς ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΚ πρὸς
ΔΘ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΔΘ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΚ·
ὧν ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστιν· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΔΘ. καὶ
λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΔ δοθεῖσά ἐστιν· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ
ΓΔΕ κῶνος κ[αὶ ἡ] ΖΗ· καὶ ἔτι ὁ ΓΒΑ· λόγος ἄρα
τῶν ΓΑΒ, ΔΕΓ κώνων πρὸς τὸν ΓΗΖ κῶνον. ὡς
δὲ οἱ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω καὶ ο〈ἱ ἀπὸ τῶ〉ν
ΓΚΛ κύβοι πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΓΜ κύβον. δ〈οθέν–
τες〉 δὲ οἱ ἀπὸ τῶν ΚΓΛ κύβοι· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ
ἀπὸ τῆς ΓΜ κύβος· δοθεῖς〈α〉 ἄρα ἡ ΓΜ· ὥστε καὶ
ἡ ΛΜ· λόγος ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστι
τῆς ΑΔ πρὸς ΑΖ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΔ,
ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΘ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ
ΑΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· ὥστε καὶ ἡ 〈δι´〉 αὐτοῦ τομὴ,
τουτέστιν ὁ ΖΗ κύκλος. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως
τῇ ἀναλύσει οὕτως· λαβὲ τὸ στερεὸν τοῦ κολουροκώ–
νου, ὡς ἐμάθομεν. γίνεται 〈͵εχϞη〉. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ·
γίγνεται μ<β> ͵βψ Ϟβ. παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται
͵δφνη β<〈εʹ〉>· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΔΕΖΗ κο–
λουροκώνου. καὶ ἀπὸ τῶν κη ἄφελε κα· λοιπὰ ζ· τού–
των τὸ ἥμισυ· γίγνεται γ#· καὶ τῶν κη τὸ ἥμισυ·
γίγνεται ιδ· καὶ ποίησον ὡς τὰ γ# πρὸς τὰ ιδ, οὕτως
τὸ ὕψος, τουτέστι τὰ ιβ, πρὸς ἄλλον τινά· ἔστι δὲ πρὸς
μη. ἄφελε τὰ ιβ· λοιπὰ λϛ· ἔσται ὁ ἄξων τοῦ ΓΔΕ
κώνου μονάδων λϛ. καὶ ἔστιν ἡ ΔΕ διάμετρος μονά–
δων κα· τὸ ἄρα στερεὸν τοῦ κώνου, ὡς ἐμάθομεν,
ἔσται ͵δρνη· πρόσθες ταῦτα ἑκατέρῳ τῷ τε ͵εχϞη καὶ
τῷ ͵δφνη β<εʹ>· γίγνεται ͵θωνϛ· καὶ τὰ ͵δρνη· γίγνεται
μ<α> ͵διδ· 〈σύνθες τὰ ͵δφνη β<εʹ> καὶ τὰ ͵δρνη· γίγνεται
μ<α> ͵διδ〉. καὶ κύβισον τὸν μη· καὶ ἔτι τὸν λϛ· καὶ σύνθες
τοὺς β κύβους· γίνονται μ<α> ͵ξσμη. ποίησον οὖν ὡς τὰ
μ<α> ͵διδ πρὸς τὸ [ἀπὸ] ͵ηψιϛ β<εʹ>, οὕτως μ<α> ͵ζσμη πρός τι·
ἔστι δὲ πρὸς μ<θ> ͵ζν. τούτων λαβὲ κυβικὴν πλευρὰν
ὡς ἔγγιστα· γίγνονται μϛ. ἄφελε τὰς λϛ· λοιπαὶ μο–
νάδες ι· καὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους ἐφ´ ἑαυτά· γίνεται ρμδ·
καὶ τὰ γ# ἐφ´ ἑαυτά· γίγνεται ιβ δʹ. σύνθες· γίγνονται
ρνϛ δʹ· ὧν πλευρὰ γίγνεται ιβ#· ἡ τοῦ κωνο[υ]κο–
λούρου πλευρὰ ἡ ΔΑ ιβ#· καὶ ποίησον ὡς τὰ ιβ τοῦ
ὕψους πρὸς τὰ ι, οὕτως τὰ ιβ# πρὸς τί· ἔστι δὲ πρὸς
ι ε<ιβʹ> καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τετμήσθω ὁ κῶνος, ὡς
εἴρηται. καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.
Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε
τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν
ἐπιταχθέντα. ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α πρὸς
τὴν Β· καὶ ἐκκείσθω κύκλος ἐν ἐπιπέδῳ εἷς τῶν με–
γίστων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ κέντρον μὲν τὸ Γ,
διάμετρος δὲ ἡ ΔΕ· καὶ τῇ ΓΕ ἴση κείσθω ἡ ΕΖ καὶ
τετμήσθω κατὰ τὸ Η, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΖΗ πρὸς
τὴν ΗΕ, τὴν Α πρὸς τὴν Β· ἡ δὲ ΔΕ τετμήσθω
κατὰ τὸ Θ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΕΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως
τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ· καὶ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς
ἡ ΘΚΛ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΔ· καὶ εἰλήφθω τυχὸν
σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας καὶ πόλῳ τῷ
Μ, διαστήματι 〈δὲ〉 [τῷ] ἴσῳ τῇ ΚΔ κύκλος γεγράφθω
ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ ΝΞ. λέγω ὅτι τὰ
ἀπολαμβανόμενα τμήματα ὑπὸ τοῦ γραφέντος κύκλου
πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἡ Α πρὸς τὴν Β. τοῦτο γὰρ
ὁμοίως Ἀρχιμήδει δέδεικται ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας.

Κείμενα

Hellenica World - Scientific Library