.

Γεωμετρικά

Ἡ γεωμετρία αὐτὴ καθ´ ἑαυτὴν εἰ κρίνοιτο, εἰς
οὐδὲν ἂν νομισθείη συντελεῖν τῷ βίῳ. ὃν τρόπον καὶ
τὰ τεκτονικά [και], εἰ τύχοι, ὄργανα αὐτὰ καθ´ ἑαυτὰ
σκοπούμενα ἄχρηστ´ ἂν δόξειεν εἶναι, τὴν δὲ δι´ αὐτῶν
γινομένην σκοπῶν χρῆσιν οὐ μικρὰν οὐδὲ τὴν τυ–
χοῦσαν εὑρήσεις, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ γεωμετρία τῶν
μὲν δι´ αὐτῆς περαιουμένων γυμνωθεῖσα μάταιος
εὑρίσκεται, εἰς δὲ τὴν πρὸς ἀστρονομίαν εὐεργεσίαν
αὐτῆς ἀφορῶντες ὑπερθαυμάζομεν τὸ πρᾶγμα· οἷον
γὰρ ὄμμα τῆς ἀστρονομίας τυγχάνει. ἐπεὶ γὰρ ἡ
ἀστρονομία περὶ μεγεθῶν τε καὶ ἀριθμῶν καὶ ἀνα–
λογιῶν διαλαμβάνει· τό τε γὰρ μέγεθος ἡλίου καὶ σε–
λήνης πολυπραγμονεῖ καὶ τὴν τῶν ἄστρων ποσότητα
καὶ τὴν πρὸς ἄλληλα τούτων ἀναλογίαν· ἐν δὲ τοῖς
ἐπιπέδοις περὶ δύο διαστάσεων ἡμᾶς διδάσκει, πλάτους
τε καὶ μήκους, ὧν μὴ γνωσθεισῶν οὐκ ἄν ποτε συ–
σταίη τὰ στερεά, ἅτινα ἐκ τριῶν διαστάσεων τυγχάνει
ὄντα, πλάτους τε καὶ μήκους καὶ βάθους, γνῶσιν ἡμῖν
πορίζουσα τοῦ μεγέθους τὰ μέγιστα συντελεῖ πρὸς
ἀστρονομίαν· ἔτι μὴν καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ γνῶσις
ἡ ἐν τῷ ἑβδόμῳ καὶ ὀγδόῳ καὶ ἐνάτῳ εἰρημένη.
{Ἄλλως.}
Τὰς ἀρχὰς τῆς γεωμετρίας, ὅθεν τυγχάνουσιν, ἔστιν
ἐκ φιλοσοφίας δεῖξαι. ἵνα μὴ ἐξαγώνιοι γενώμεθα,
εὔλογόν ἐστι τὸν ὅρον αὐτῆς εἰπεῖν. ἔστιν οὖν ἡ
γεωμετρία ἐπιστήμη σχημάτων καὶ μεγεθῶν καὶ τῶν
περὶ ταῦτα παθῶν, ὁ δὲ σκοπὸς αὐτῆς περὶ τούτων
διαλαμβάνειν, ὁ δὲ τρόπος τῆς διδασκαλίας ἐστὶ συν–
θετικός· ἀρξάμενος γὰρ ἀπὸ σημείου ἀδιαστάτου ὄντος
διὰ μέσης γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καταντᾷ ἐπὶ τὸ
στερεόν. τὸ δὲ χρήσιμον αὐτῆς ἄντικρυς εἰς φιλοσο–
φίαν συντελεῖ· τοῦτο γὰρ καὶ τῷ θείῳ Πλάτωνι δοκεῖ,
ἔνθα φησί· ταῦτα τὰ μαθήματα εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια,
ταύτῃ ἰτέον. ἐπιγέγραπται δὲ στοιχεῖα, διότι ὁ μὴ διὰ
τούτων πρότερον ἀχθεὶς οὐχ οἷός τέ ἐστι συνιέναι τι
τῶν γεωμετρικῶν θεωρημάτων. ἡ δὲ γεωμετρία ἐξ
ἀφαιρέσεως τὴν διδασκαλίαν ἐποιήσατο· λαβοῦσα γὰρ
φυσικὸν σῶμα, ὅ ἐστι τριχῆ διαστατὸν μετὰ ἀντιτυπίας,
καὶ χωρίσασα τούτου τὴν ἀντιτυπίαν ἐποιήσατο τὸ
μαθηματικὸν σῶμα, ὅ ἐστι στερεόν, καὶ ἀφαιροῦσα κατ–
ήντησεν ἐπὶ τὸ σημεῖον.
{Ἥρωνος ἀρχὴ τῶν γεωμετρουμένων.}
Καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδάσκει λόγος, οἱ πλεῖστοι
τοῖς περὶ τὴν γῆν μέτροις καὶ διανομαῖς ἀπησχολοῦντο,
ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ δὲ τῆς μετρήσεως
ἐπίνοια ηὕρηται παρ´ Αἰγυπτίοις· διὰ γὰρ τὴν τοῦ
Νείλου ἀνάβασιν πολλὰ χωρία φανερὰ ὄντα τῇ ἀνα–
βάσει ἀφανῆ ἐγίγνετο, πολλὰ δὲ καὶ μετὰ τὴν ἀπόβα–
σιν, καὶ οὐκέτι ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρίνειν τὰ ἴδια·
διὰ τοῦτο ἐπενόησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν,
ποτὲ μὲν τῷ καλουμένῳ σχοινίῳ, ποτὲ δὲ καλάμῳ, ποτὲ
δὲ καὶ ἑτέροις μέτροις. ἀναγκαίας τοίνυν τῆς μετρή–
σεως οὔσης εἰς πάντα ἄνθρωπον φιλομαθῆ περιῆλθεν
ἡ χρεία.
{Ἥρωνος εἰσαγωγαὶ τῶν γεωμετρουμένων.}
Ἡ ἐπίπεδος γεωμετρία συνέστηκεν ἔκ τε κλιμάτων
καὶ σκοπέλων καὶ γραμμῶν καὶ γωνιῶν, ἐπιδέχεται δὲ
γένη καὶ εἴδη καὶ θεωρήματα.
Κλίματα μὲν οὖν ἐστι <δ>· ἀνατολή, δύσις, ἄρκτος,
μεσημβρία.
Σκόπελος δέ ἐστι πᾶν τὸ λαμβανόμενον σημεῖον.
Γραμμαὶ δέ εἰσι δέκα· εὐθεῖα, παράλληλος, βάσις,
κορυφή, σκέλη, διαγώνιος, κάθετος ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς
καλουμένη, ὑποτείνουσα, περίμετρος, διάμετρος.
Εὐθεῖα μὲν οὖν ἐστι γραμμὴ ἡ κατ´ εὐθεῖαν τεί–
νουσα.
Παράλληλος δὲ ἑτέρα εὐθεῖα προσπαρακειμένη τῇ
εὐθείᾳ ἔχουσα τὰ ἐν τοῖς ἄκροις διαστήματα πρὸς
ὀρθὰς γωνίας ἀλλήλοις ἴσα.
Βάσις δὲ εὐθεῖα γραμμὴ τεθεῖσα ἐπιδεχομένη ἑτέραν
εὐθεῖαν, ἐάν τε ᾖ αὐτῇ κατὰ κορυφὴν τεθειμένη ἢ καὶ
πρὸς ὀρθὰς ἢ κατὰ περίμετρον.
Κορυφὴ δὲ ἡ ἐπὶ τῇ βάσει ἐπιτιθεμένη εὐθεῖα.
Σκέλη δὲ αἱ ἀπὸ τῶν ἄκρων τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ
ἄκρα τῆς βάσεως καθιέμεναι εὐθεῖαι.
Διαγώνιος δὲ ἡ ἐν τοῖς τετραγώνοις καὶ τοῖς
τοιούτοις ἀπὸ γωνίας ἐπὶ γωνίαν ἀγομένη εὐθεῖα.
Κάθετος δὲ ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη [ἢ καὶ
κέντρον] ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν καθιεμένη
εὐθεῖα ἔχουσα τὰς περὶ αὑτὴν δύο γωνίας ἀλλήλαις ἴσας.
Ὑποτείνουσα δὲ ἡ ὑπὸ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τείνουσα
εὐθεῖα.
Περίμετρος δὲ ἡ ἐκ κέντρου δοθέντος καὶ διαστή–
ματος περιφερομένη γραμμὴ ἔχουσα τὰς ἀπὸ τοῦ
κέντρου ἐπ´ αὐτὴν ἀγομένας εὐθείας ἴσας.
Διάμετρος δὲ εὐθεῖα τέμνουσα διὰ τοῦ κέντρου
τὴν περίμετρον εἰς δύο τμήματα.
Γωνίαι δέ εἰσι τρεῖς· ὀρθή, ὀξεῖα, ἀμβλεῖα.
Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστιν, ὅταν εὐθεῖα ἐπ´ εὐθεῖαν στα–
θεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ· τότε γάρ
εἰσιν αἱ δύο ὀρθαί.
Ὅταν δὲ ἡ μὲν μείζων, ἡ δὲ ἥττων, τότε ἡ μὲν
μείζων, τουτέστιν πλατυτέρα, ἐστὶν ἀμβλεῖα, ἡ δὲ ἥτ–
των, τουτέστιν στενοτέρα, ὀξεῖα.
Γένη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστιν τρία· εὐθυμετρικόν,
ἐμβαδομετρικόν, στερεομετρικόν.
Εὐθυμετρικὸν μὲν οὖν ἐστιν πᾶν τὸ κατ´ εὐθὺ με–
τρούμενον, ὃ μόνον μῆκος ἔχει, ὃ δὴ καὶ ἀρχὴ καὶ
ἀριθμὸς καλεῖται.
Ἐμβαδομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος, ἐξ οὗ
καὶ τὸ ἐμβαδὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ καὶ δύναμις καλεῖται.
Στερεομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος καὶ
πάχος, ἐξ οὗ καὶ πᾶν τὸ στερεὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ
καὶ κύβος καλεῖται.
Εἴδη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστι πέντε· τετράγωνα, τρί–
γωνα, ῥόμβοι, τραπέζια, κύκλοι.
Καὶ θεωρήματά ἐστιν <ιη>· τετραγώνων θεωρήματα
<β>, τετράγωνον ἰσόπλευρον ὀρθογώνιον καὶ τετρά–
γωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον. τριγώνων δὲ
θεωρήματα ἕξ, τρίγωνον ὀρθογώνιον, τρίγωνον ἰσοσκε–
λές, τρίγωνον ἰσόπλευρον, τρίγωνον ὀξυγώνιον, τρί–
γωνον ἀμβλυγώνιον, τρίγωνον σκαληνόν. ῥόμβων δὲ
θεωρήματα δύο, ῥόμβος καὶ ῥομβοειδές. τραπεζίων
δέ εἰσιν τέσσαρα, τραπέζιον ὀρθογώνιον, τραπέζιον
ἰσοσκελές, τραπέζιον ὀξυγώνιον, τραπέζιον ἀμβλυγώ–
νιον. κύκλων δὲ θεωρήματα <δ>, κύκλος, ἁψίς, ἡμικυκλίου
τμῆμα μεῖζον, ἡμικυκλίου τμῆμα ἧττον.
Καὶ ταῦτα μὲν τὰ εἴδη ἐστὶ καὶ τὰ θεωρήματα τὰ
ἐπίπεδα· ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν προστιθεμένου ἑκάστῃ
μετρήσει καὶ τοῦ πάχους ἐξαίρετα θεωρήματά εἰσι τῶν
στερεῶν δέκα, ἃ ἐπ´ αὐτῶν μόνον δείκνυται, οὕτως·
σφαῖρα, κύλινδρος, κῶνος, κῶνος κόλουρος, κύβος,
σφήν, μείουρος, πυραμὶς ἐπὶ τριγώνου, πυραμὶς κό–
λουρος, θέατρον.
Εἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως ἐστηριγμένοι οἵδε·
παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές
εἰσι πάντη μεταπαρηλλαγμέναι, καὶ παντὸς τριγώνου
ὀρθογωνίου τὰ ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο
πλευρῶν τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ὑποτει–
νούσης τετραγώνῳ, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος
τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ τῷ ζʹ μείζων, καὶ
ἕνδεκα τετράγωνα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα
ἐστὶν ἐμβαδοῖς δεκατέτρασι κύκλων.
Τὰ δὲ μέτρα ἐξεύρηται ἀπὸ τῶν ἀνθρωπίνων μελῶν,
δακτύλου, παλαιστῆς, σπιθαμῆς, λιχάδος, ποδός, πήχεως,
βήματος, ὀργυιᾶς.
Καί ἐστιν ἡ ὀργυιὰ δακ–
τύλων <Ϟϛ>, τὸ δὲ βῆμα δακ–
τύλων <μ>, ὁ δὲ πῆχυς δακ–
τύλων <κδ>, πόδα δὲ ἔχει
Ῥωμαικὸν <α> καὶ #0ʹ εʹ ιʹ, ὡς
ἔχειν τοὺς <θ> πόδας πή–
χεις <ε>.
Ὁ ποὺς ὁ Φιλεταίρειος
ἔχει δακτύλους <ιϛ>, ὁ δὲ
Ἰταλικὸς δακτύλους <ιγ> γʹ,
ἡ σπιθαμὴ δὲ δακτύλους
<ιβ>, ἡ λιχὰς δακτύλους <η>.
Παλαιστὴ δακτύλων <δ>.
Καὶ αὐτὸς δὲ ὁ δάκτυ–
λος διαιρεῖται εἰς μέρη·
ἐπιδέχεται γὰρ καὶ ἥμισυ
καὶ τρίτον καὶ τέταρτον
καὶ τὰ λοιπά.
Ἐπειδὴ δὲ ἐν τοῖς κλί–
μασιν ἐκράτησέν τις παρ´
ἑκάστῳ συνήθεια τοῖς ἐγ–
χωρίοις χρῆσθαι μέτροις,
καὶ τινὲς μὲν πήχει ἢ κα–
λάμῳ ἢ ὀργυιᾷ, τινὲς δὲ
ποδὶ ἢ ἰουγέρῳ ἢ πλέθρῳ
ἢ σάτῳ ἢ ἀρτάβῃ ἢ ἄλλοις
τοιούτοις μετροῦσιν, [ἐκ]
τῆς ἀναλογίας τοῦ ποδὸς
πρὸς τὸν πῆχυν σωζομένης
ἐξισοῦται τὰ μέτρα.
Τούτων δὲ οὕτως λαμ–
βανομένων πρὸς πόδα καὶ
ἰούγερον τὴν μέτρησιν τῶν
θεωρημάτων ἐποιησάμεθα.
καὶ τὸ μὲν ἰούγερόν ἐστιν
ἐμβαδῶν ποδῶν <β><͵ηω>· ἔχει
γὰρ μῆκος ποδῶν <σμ>, πλά–
τος ποδῶν <ρκ>· διαιρεῖται
δὲ εἰς οὐγκίας <ιβ>, ὡς εἶναι
ἑκάστην οὐγκίαν ποδῶν
<͵βυ>. καὶ αὐτὴ δὲ ἡ οὐγκία
διαιρεῖται εἰς σκρίπουλα
ἤτοι γράμματα <κδ>, ὡς εἶναι
ἕκαστον σκρίπουλον πο–
δῶν <ρ>.
Καὶ ἐν τοῖς στερεοῖς
[χωρίοις] ὁ στερεὸς ποὺς
χωρεῖ μοδίους Ἰταλικοὺς <γ>·
μόδιος ἕκαστος ξεστῶν <ιϛ>.
Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις
τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ
ὑποτεταγμένα Ἥρωνος·
εἴδη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστι
τὰ ὑποτεταγμένα οὕτως·
δάκτυλος, παλαιστής, λι–
χάς, σπιθαμή, πούς, πῆχυς
ψιλός, ὃς καλεῖται πυγών,
πῆχυς, βῆμα, ξύλον, ὀρ–
γυιά, κάλαμος, ἄκαινα, ἄμ–
μα, πλέθρον, ἰούγερον, στά–
διον, μίλιον, δίαυλος, δόλι–
χος, σχοῖνος, παρασάγγης.
Ὁ μὲν οὖν παλαιστὴς
ἔχει δακτύλους <δ>· ἡ λιχὰς
ἔχει παλαιστὰς <β>, δακτύ–
λους <η>· ἡ σπιθαμὴ ἔχει
παλαιστὰς <γ>, δακτύλους <ιβ>,
καλεῖται δὲ καὶ ξυλοπρι–
στικὸς πῆχυς. ὁ ποὺς ἔχει
βασιλικοὺς καὶ Φιλεται–
ρείους παλαιστὰς <δ>, δακτύ–
λους <ιϛ>, ὁ δὲ Ἰταλικὸς ποὺς
ἔχει δακτύλους <ιγ> γʹ· ἡ
πυγὼν ἔχει παλαιστὰς <ε>,
δακτύλους <κ>· ὁ πῆχυς ἔχει
παλαιστὰς <ϛ>, δακτύλους <κδ>,
ὁ δὲ Νειλῷος πῆχυς ἔχει
παλαιστὰς <ζ>, δακτύλους <κη>,
ὁ δὲ Στοικὸς πῆχυς ἔχει
παλαιστὰς <η>, δακτύλους <λβ>.
τὸ δὲ βῆμα ἔχει πήχεις <α>β̸,
παλαιστὰς <ι>, δακτύλους μ,
πόδας <β>#0ʹ. τὸ δὲ ξύλον
ἔχει πόδας <δ#0ʹ>, πήχεις <γ>,
παλαιστὰς <ιη>, δακτύλους <οβ>.
Ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις <δ>
παλαιστὰς <κδ>, πόδας Φιλε–
ταιρείους <ϛ>, Ἰταλικοὺς δὲ
πόδας <ζ>εʹ. ὁ κάλαμος ἔχει
πήχεις <ε>, πόδας Φιλεται–
ρείους μὲν <ζ>#0ʹ, Ἰταλικοὺς
δὲ πόδας <θ>.
Ἡ ἄκαινα ἔχει πήχεις
<ϛ>β̸, πόδας Φιλεταιρείους
μὲν <ι>, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας
<ιβ>. τὸ ἄμμα ἔχει πήχεις <μ>,
πόδας Φιλεταιρείους μὲν <ξ>,
Ἰταλικοὺς δὲ πόδας <οβ>. τὸ
πλέθρον ἔχει ἀκαίνας <ι>, πή–
χεις ξ<ϛ>β̸, πόδας Φιλεται–
ρείους μὲν <ρ>, Ἰταλικοὺς δὲ
<ρκ>. τὸ ἰούγερον ἔχει πλέθρα
<β>, ἀκαίνας <κ>, πήχεις <ρλγ> γʹ,
πόδας Φιλεταιρείους μὲν <σ>,
Ἰταλικοὺς δὲ πόδας <σμ>.
τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα <ϛ>,
ἀκαίνας <ξ>, καλάμους <π>,
ὀργυιὰς <ρ>, βήματα <σμ>,
πήχεις <υ>, πόδας Φιλεται–
ρείους μὲν <χ>, Ἰταλικοὺς δὲ
πόδας <ψκ>. ὁ δίαυλος ἔχει
στάδια <β>, πλέθρα <ιβ>, ἀκαί–
νας <ρκ>, καλάμους <ρξ>, ὀρ–
γυιὰς <σ>, βήματα <υπ>, πή–
χεις <ω>, πόδας Φιλεταιρείους
μὲν <͵ασ>, Ἰταλικοὺς δὲ <͵αυμ>.
τὸ μίλιον ἔχει στάδια <ζ>#0ʹ,
πλέθρα <με>, ἀκαίνας <υν>,
καλάμους <χ>, ὀργυιὰς <ψν>,
βήματα <͵αω>, πήχεις <͵γ>,
πόδας Φιλεταιρείους μὲν
<͵δφ>, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας
<͵ευ>. ὁ δόλιχος ἔχει στάδια
<ιβ>, πλέθρα <οβ>, ἀκαίνας <ψκ>,
καλάμους <ϡξ>, βήματα <͵βωπ>,
πήχεις <͵δω>, πόδας Φιλε–
ταιρείους μὲν <͵ζσ>, Ἰταλι–
κοὺς δὲ πόδας <͵ηχμ>. ἡ
σχοῖνος ἔχει μίλια <δ>, στά–
δια <λ>, πλέθρα <ρπ>, ἀκαίνας
<͵αω>, καλάμους <͵βυ>, ὀργυιὰς
<͵γ>, βήματα <͵ζσ>, πήχεις <α><͵β>,
πόδας Φιλεταιρείους μὲν
<α><͵η>, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας
<β><͵αχ>. ὁ παρασάγγης ἔχει
ὁμοίως ὡς ἡ σχοῖνος. ἡ
βαρβαρικὴ σχοῖνος ἔχει
στάδια <με>, ἡ δὲ Περσικὴ
σχοῖνος ἔχει στάδια <ξ>. τὸ
δὲ κεμέλει τὸ καλούμενον
ἔχει στάδια ....
Πάντων δὲ ἐλαχιστότε–
ρόν ἐστι δάκτυλος, ὅστις
καὶ μονὰς καλεῖται· διαιρεῖ–
ται δὲ ἔσθ´ ὅτε· ὑπομένει
γὰρ καὶ ἥμισυ καὶ τρίτον
καὶ λοιπὰ μόρια.
Μετὰ δὲ τὸν δάκτυλον,
ὅς ἐστι μέρος ἐλάχιστον
πάντων, ὁ παλαιστής, ὃν
καὶ τέταρτόν τινες καλοῦσι
διὰ τὸ τέσσαρας ἔχειν
δακτύλους ἢ διὰ τὸ εἶναι
τέταρτον τοῦ ποδός, τινὲς
δὲ καὶ τρίτον διὰ τὸ εἶναι
τρίτον τῆς σπιθαμῆς· ἡ
γὰρ σπιθαμὴ τρία τέταρτα
ἔχει, ὁ δὲ ποὺς τέσσαρα.
Ἡ λιχὰς ἔχει παλαιστὰς
δύο ἤγουν δακτύλους ὀκτὼ
καὶ καλεῖται δίμοιρον σπι–
θαμῆς. λιχὰς δὲ λέγεται
τὸ τῶν δύο δακτύλων
ἄνοιγμα, τοῦ ἀντίχειρος
λέγω καὶ τοῦ λιχανοῦ·
τοῦτο καὶ κυνόστομον κα–
λοῦσί τινες.
Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαι–
στὰς τρεῖς ἤγουν δακτύ–
λους δώδεκα.
Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν
<α> γʹ ἤγουν παλαιστὰς <δ>,
δακτύλους <ιϛ>.
Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας δύο
ἤγουν σπιθαμὰς <β> #1ʹ, πα–
λαιστὰς ὀκτώ, δακτύλους
<λβ>.
Τὸ βῆμα τὸ ἁπλοῦν ἔχει
σπιθαμὰς <γ> γʹ ἤγουν πό–
δας <β> #0ʹ ἢ παλαιστὰς <ι> ἢ
δακτύλους <μ>.
Τὸ βῆμα τὸ διπλοῦν ἔχει
πόδας πέντε ἢ σπιθαμὰς
<ϛ> #1ʹ ἢ παλαιστὰς <κ> ἢ δακ–
τύλους <π>.
Ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει
σπιθαμὰς <β> ἢ ποῦν ἕνα
πρὸς τῷ ἡμίσει ἢ παλαιστὰς
<ϛ> ἢ δακτύλους <κδ>· ὡσαύ–
τως καὶ ὁ τοῦ πριστικοῦ
ξύλου.
Ἡ ὀργυιά, μεθ´ ἧς
μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ,
ἔχει σπιθαμὰς βασιλικὰς
<θ> δʹ ἢ πόδας ἓξ καὶ σπι–
θαμὴν <α> δʹ ἢ παλαιστὰς
ἤγουν γρόνθους εἰκοσιεπτὰ
καὶ ἀντίχειρον, τουτέστι
τοὺς μὲν εἰκοσιὲξ ἐσφιγμέ–
νης οὔσης τῆς χειρός, τὸν
δὲ τελευταῖον ἢ πρῶτον
ἡπλωμένου καὶ αὐτοῦ τοῦ
μεγάλου δακτύλου τῆς χει–
ρός, ὃς δὴ καὶ λέγεται τέ–
ταρτον σπιθαμῆς, ἔχει δὲ
δακτύλους <γ>. μεθ´ ὃ [δὲ]
ποιήσεις ὀργυιὰν ἐν κα–
λάμῳ ἢ ἔν τινι ξύλῳ. μετὰ
τοῦτο ὀφείλεις ποιῆσαι
σχοινίον ἤγουν σωκάριον
δεκαόργυιον καὶ οὕτως με–
τρεῖν, ὃν μέλλεις μετρῆσαι
τόπον· τὸ γὰρ σωκάριον
τῆς σπορίμου γῆς δέκα
ὀργυιὰς ὀφείλει ἔχειν, τοῦ
δὲ λιβαδίου καὶ τῶν περι–
ορισμῶν <ιβ>.
Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκα–
οργυίου σχοινίου ἔχει ὁ
τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς
διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ
δὲ τοῦ δωδεκαοργυίου ἔχει
ὀργυιὰς <σπη>. πλὴν οἱ
βραχύτατοι καὶ πεδινοὶ τό–
ποι μετὰ τοῦ δεκαοργυίου
σχοινίου ὀφείλουσι με–
τρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ
τῶν προαστείων καὶ τῶν
χωρίων τῶν ὁλογύρως με–
τρουμένων μετὰ τοῦ δω–
δεκαοργυίου σχοινίου ὀφεί–
λουσι μετρεῖσθαι διὰ τὸ
εὑρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν
περιορισμῶν αὐτῶν πολ–
λάκις ξηροχειμάρρους καὶ
ῥύακας καὶ λόχμας καὶ
ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ
καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυίου
σχοινίου μετρηθῶσιν, ὀφεί–
λουσιν ὑπεξαιρεῖσθαι εἴτε
ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν
σωκαρίων κατὰ δέκα σω–
κάρια σωκάριον ἓν εἴτε
ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ
δέκα μόδια μόδιον ἓν διὰ
τὰς εἰρημένας αἰτίας.
Χρὴ δὲ γινώσκειν καὶ τοῦτο, ὅτι ὁ σπόριμος μό–
διος ἔχει λίτρας τεσσαράκοντα· μία δὲ ἑκάστη λίτρα
σπείρει γῆν ὀργυιῶν πέντε.
Πλάτος γὰρ καὶ μῆκος ὀργυιῶν πέντε ποιοῦσι λί–
τραν μίαν.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ι> ποιοῦσι λίτρας δύο.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ιε> ποιοῦσι λίτρας <γ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <κ> ποιοῦσι λίτρας <δ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <κε> ποιοῦσι λίτρας <ε>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <λ> ποιοῦσι λίτρας <ϛ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <λε> ποιοῦσι λίτρας <ζ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <μ> ποιοῦσι λίτρας <η>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <με> ποιοῦσι λίτρας <θ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ν> ποιοῦσι λίτρας <ι>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <νε> ποιοῦσι λίτρας <ια>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ξ> ποιοῦσι λίτρας <ιβ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ξε> ποιοῦσι λίτρας <ιγ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ο> ποιοῦσι λίτρας <ιδ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <οε> ποιοῦσι λίτρας <ιε>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <π> ποιοῦσι λίτρας <ιϛ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <πε> ποιοῦσι λίτρας <ιζ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <Ϟ> ποιοῦσι λίτρας <ιη>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <Ϟε> ποιοῦσι λίτρας <ιθ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ρ> ποιοῦσι λίτρας <κ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <σ> ποιοῦσι λίτρας <μ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <τ> ποιοῦσι λίτρας <ξ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <υ> ποιοῦσι λίτρας <π>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <φ> ποιοῦσι λίτρας <ρ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <χ> ποιοῦσι λίτρας <ρκ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ψ> ποιοῦσι λίτρας <ρμ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ω> ποιοῦσι λίτρας <ρξ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <ϡ> ποιοῦσι λίτρας <ρπ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵α> ποιοῦσι λίτρας <σ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵β> ποιοῦσι λίτρας <υ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵γ> ποιοῦσι λίτρας <χ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵δ> ποιοῦσι λίτρας <ω>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵ε> ποιοῦσι λίτρας <͵α>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵ϛ> ποιοῦσι λίτρας <͵ασ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵ζ> ποιοῦσι λίτρας <͵αυ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵η> ποιοῦσι λίτρας <͵αχ>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν <͵θ> ποιοῦσι λίτρας <͵αω>.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν α̈ ποιοῦσι λίτρας <͵β>.
Αἱ <σ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίου ἑνός.
Αἱ <τ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίου ἑνὸς ἡμίσεος.
Αἱ <υ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δύο.
Αἱ <φ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δύο ἡμίσεος.
Αἱ <χ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριῶν.
Αἱ <ψ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριῶν ἡμίσεος.
Αἱ <ω> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσάρων.
Αἱ <ϡ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσάρων ἡμίσεος.
Αἱ χίλιαι ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων πέντε.
Αἱ <͵β> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δέκα.
Αἱ <͵γ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων <ιε>.
Αἱ <͵δ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων εἴκοσι.
Αἱ <͵ε> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων <κε>.
Αἱ <͵ϛ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριάκοντα.
Αἱ <͵ζ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων <λε>.
Αἱ <͵η> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσαράκοντα.
Αἱ <͵θ> ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων <με>.
Αἱ μύριαι ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων πεντήκοντα.
Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις
τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ
ὑποτεταγμένα οὕτως·
Ἔστω τετράγωνον ἰσό–
πλευρόν τε καὶ ὀρθογώ–
νιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ
ἀνὰ ποδῶν <ιβ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ
οὕτως· τὰ <ιβ> ἐφ´ ἑαυτά·
γίγνονται <ρμδ> πόδες. τοσ–
ούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἔστω τετράγωνον ἰσό–
πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον
καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευ–
ρὰν ποδῶν <ν>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν δια–
γώνιον. ποιῶ οὕτως· τὰ
<ν> ἐφ´ ἑαυτά· γίγνονται <͵βφ>.
ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοσού–
των. τὴν δὲ διαγώνιον
εὑρεῖν. δὶς τὸ ἐμβαδὸν <͵ε>·
ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
γίγνεται ποδῶν <ο> #0ʹ δʹ. τοσ–
ούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος.
καὶ ἄλλως· τὴν μίαν πλευ–
ράν, τουτέστι τὰ <ν>, ἐπὶ τὰ
<ο> #0ʹ δʹ· γίγνονται πόδες
<͵γφλζ> #0ʹ· ὧν νʹ γίνεται
<ο> # δʹ.
Τούτων δὲ οὕτως ἐχόν–
των τὴν μέτρησιν τῶν
θεωρημάτων ποιησώμεθα.
Περὶ τετραγώνων ἰσο–
πλεύρων καὶ ὀρθογωνίων.
Τετράγωνον ἰσόπλευρον
καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη
πλευρὰ ἀνὰ ὀργυιῶν <ι>·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
ποίει οὕτως· τὰς <ι> ἐπὶ τὰς
<ι>· γίνονται <ρ>· τοσούτων
ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.
τούτων τὸ εʹ· γίνονται <κ>·
καὶ ἔστιν λιτρῶν <κ> ἤτοι
μοδίου #0ʹ.
Ἕτερον τετράγωνον ἰσό–
πλευρον καὶ ὀρθογώνιον,
οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ὀρ–
γυιῶν <ιη>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδόν. πολυπλασίασον
τὴν μίαν τῶν βάσεων ἐπὶ
τὴν μίαν τῶν καθέτων,
ἤγουν τὰς <ιη> ἐπὶ τὰς <ιη>·
γίνονται <τκδ>· καὶ ἔστι τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τετρα–
γώνου ὀργυιῶν <τκδ>. ὧν
μέρος διακοσιοστὸν γίνεται
<α> #0ʹ ιʹ νʹ· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <α> #0ʹ καὶ λιτρῶν
<δ> #0ʹ εʹ ιʹ· τοῦ γὰρ μέτρου
τοῦ μοδίου ὀργυιῶν <σ>
παραλαμβανομένου, λι–
τρῶν δὲ <μ>, ἐπιβάλλουσι
μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ ὀργυιαὶ <ε>,
ἑκάστῃ δὲ ὀργυιᾷ τὸ εʹ
τῆς λίτρας.
Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ
αἱ <δ> πλευραὶ ἀνὰ ὀργυιῶν <λϛ>. αὗται ἐφ´ ἑαυτὰς πολυ–
πλασιαζόμεναι γίνονται <͵ασϞϛ>· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου. ὧν μέρος διακοσιοστὸν
γίνεται <ϛ> δʹ ηʹ ιʹ ςʹ· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων ἓξ καὶ λιτρῶν
<ιθ> εʹ· αἱ γὰρ <͵ασ> ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν <σ>
ποσοῦνται εἰς γῆν μοδίων ἕξ, αἱ δὲ λοιπαὶ <Ϟϛ> ὑπεξαι–
ρούμεναι ἐπὶ τῶν <ε> ποσοῦνται εἰς γῆν λιτρῶν <ιθ> καὶ
ὀργυιᾶς μιᾶς.
Καὶ οὕτω μὲν ἐπὶ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν· ἐπὶ
δὲ τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ποίει οὕτως· τὴν μίαν
τῶν πλευρῶν ἐφ´ ἑαυτήν, ὧν τὸ #0ʹ, καὶ ἔστιν ὁ μο–
δισμός. οἷον ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθο–
γώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων <ϛ>· εὑρεῖν
τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ <ϛ> ἐπὶ τὰ <ϛ>· γίνονται <λϛ>·
καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <λϛ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται
<ιη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ιη>.
Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ
ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων <ιϛ>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <σνϛ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων
τοσούτων. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ρκη>· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων ἑκατὸν εἰκοσιοκτώ.
Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ
αἱ <δ> πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων <κε>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γί–
νονται <χκε>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων.
ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <τιβ> #0ʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων
<τιβ> #0ʹ.
Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ
ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων <ιβ> καὶ ὀργυιῶν <ϛ>· εὑ–
ρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοι–
νία εἰς ὀργυιάς· γίνονται διά τε σχοινίων καὶ ὀργυιῶν
ὀργυιαὶ <ρκϛ>, αἵτινες ἐφ´ ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι
συμποσοῦνται εἰς α̈ <͵εωοϛ>· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν ὀρ–
γυιῶν τοσούτων. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται
<οθ> δʹ ηʹ ςʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <οθ> καὶ λιτρῶν <ιε> εʹ·
αἱ γὰρ α̈ <͵εω> ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν <σ> ποιοῦσι
γῆν μοδίων <οθ>, αἱ δὲ λοιπαὶ <οϛ> ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ
τῶν πέντε ποιοῦσι γῆν λιτρῶν <ιε> καὶ ὀργυιᾶς <α>.
Τετραγώνου ἰσοπλεύρου ὀρθογωνίου τὴν διαγώνιον
εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ <ιβ> τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>· ταῦτα δὶς <σπη>· τούτων τετραγω–
νικὴ πλευρὰ <ιζ>· καὶ ἔστιν ἡ διαγώνιος <ιζ>.
Παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου τὴν διαγώνιον εὑ–
ρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ <ιβ> τῆς πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γί–
νονται <ρμδ>· τὰ <ε> τῆς ὀρθῆς ἐφ´ ἑαυτὰ <κε>· ὁμοῦ <ρξθ>·
ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <ιγ>· καὶ ἔστι τοσούτων
ἡ διαγώνιος.
{Περὶ τετραγώνων παραλληλογράμμων ὀρθογωνίων.}
Ἔστω τετράγωνον ἑτερό–
μηκες ἤτοι παραλληλό–
γραμμον, οὗ τὸ μῆκος πο–
δῶν <ν>, τὸ δὲ πλάτος πο–
δῶν <λ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδὸν καὶ τὴν διαγώ–
νιον. ποιῶ οὕτως. τὸ μῆ–
κος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνον–
ται πόδες <͵αφ>. ἔστω τὸ
ἐμβαδὸν <͵αφ> ποδῶν. τὴν
δὲ διαγώνιον εὑρεῖν. τὸ
μῆκος ἐφ´ ἑαυτό· γίνονται
πόδες <͵βφ>· καὶ τὸ πλάτος
ἐφ´ ἑαυτό· γίνονται πόδες
<ϡ>· ὁμοῦ γίνονται πόδες
<͵γυ>· ὧν πλευρὰ τετραγω–
νικὴ ποδῶν <νη> γʹ. τοσούτου
ἐστὶν ἡ διαγώνιος [ποδῶν
<νη> γʹ], τὸ δὲ ἐμβαδόν ἐστι
ποδῶν <͵αφ>.
Ἔστω τετράγωνον παρ–
αλληλόγραμμον μὴ ὂν ὀρ–
θογώνιον, οὗ τὸ μεῖζον
μῆκος ποδῶν <λβ> καὶ ἡ
ἄλλη ποδῶν <λ>· ὁμοῦ γί–
νονται πόδες <ξβ>· ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <λα>. καὶ τὸ πλά–
τος ποδῶν <ιη> καὶ τὸ ἄλλο
ποδῶν <ιϛ>· ὁμοῦ γίνονται
<λδ>· ὧν τὸ #0ʹ <ιζ>. ταῦτα
πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ <λα>·
γίνονται πόδες <φκζ>. τοσ–
ούτων ποδῶν ἐστι τὸ ἐμ–
βαδόν [ποδῶν <φκζ>].
Τετράγωνον παραλλη–
λόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ
δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται,
μετρεῖται οὕτως· ἔστω παρ–
αλληλόγραμμον ὀρθογώ–
νιον, οὗ τὸ πλάτος σχοι–
νίων <γ>, τὸ δὲ μῆκος σχοι–
νίων <η>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδόν. πολυπλασίασον
τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος
ἤγουν ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται
<κδ>· τοσούτων ἐστὶ τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλ–
ληλογράμμου. ὧν τὸ #0ʹ·
γίνονται <ιβ>· καὶ ἔστι μο–
δίων τοσούτων.
Τετράγωνον παραλληλό–
γραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ
καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται,
οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ ὀρ–
γυιῶν <κ>, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ
ὀργυιῶν <ιε>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕ–
τως· τὰ <κ> ἐπὶ τὰ <ιε>· γί–
νονται <τ>· τοσούτων ὀρ–
γυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.
ὧν τὸ εʹ· γίνονται <ξ>· καὶ
ἔστι λιτρῶν <ξ> ἤτοι μο–
δίου <α>#0ʹ.
Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὰ
μὲν μήκη ἀνὰ ὀργυιῶν <π>, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ ὀργυιῶν <ξ>·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον τὰς <π> τοῦ μήκους
ἐπὶ τὰς <ξ> τοῦ πλάτους· γίνεται οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
παραλληλογράμμου ὀργυιῶν <͵δω>. ὧν μέρος διακοσιο–
στὸν γίνεται <κδ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων εἰκοσιτεσσάρων.
Τετράγωνον ὀρθογώνιον καὶ ἰσόπλευρον, οὗ τὸ ἐμ–
βαδὸν ὀργυιῶν <ρ>· εὑρεῖν αὐτοῦ, πόσων ὀργυιῶν ἑκάστη
πλευρά. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν <ρ> πλευρὰν τετράγωνον·
γίνεται <ι>· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρά.
Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ
καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ σχοινίων
ὀκτώ, τὸ δὲ ἐμβαδὸν σχοινίων <μ>· εὑρεῖν τὸ πλάτος.
ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν <μ> τὸ ὄγδοον· γίνεται <ε>· τοσού–
των σχοινίων ἐστὶ τὸ πλάτος. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν.
πολυπλασίασον τὰ <ε> τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ <η> τοῦ μή–
κους· γίνονται <μ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <κ>· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <κ>.
{Περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων.}
Τρίγωνον ὀρθογώνιον,
οὗ ἡ μὲν κάθετος ποδῶν
<λ>, ἡ δὲ βάσις ποδῶν <μ>, ἡ
δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν <ν>·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν
ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται
πόδες <͵ασ>· ὧν #0ʹ· γίνον–
ται πόδες <χ>. ἔστω τὸ ἐμ–
βαδὸν ποδῶν <χ>. εὑρεῖν
αὐτοῦ καὶ τὴν ὑποτείνου–
σαν. τὰ <λ> τῆς καθέτου
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ϡ>· καὶ
τὰ <μ> τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <͵αχ>· ὁμοῦ πόδες
<͵βφ>· ὧν πλευρὰ τετραγω–
νικὴ γίνεται <ν>. ἄλλως
εὑρεῖν τὴν ὑποτείνουσαν.
σύνθες τὰς <β> πλευρὰς τὰ
<λ> καὶ τὰ <μ>· γίνονται <ο>·
ταῦτα ἐπὶ <ε> <τν>· τούτων τὸ
ζʹ <ν>.
Ἔστω τρίγωνον ἕτερον
ὀρθογώνιον καὶ ἐχέτω τὴν
μὲν βάσιν ποδῶν <μ>, τὴν
δὲ ὑποτείνουσαν ποδῶν
<μα>, τὴν δὲ κάθετον πο–
δῶν <θ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον.
ποιῶ οὕτως· τὰ <μα> ἐφ´
ἑαυτά· γίνεται <͵αχπα>· καὶ
τὰ <μ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<͵αχ>. ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ
τῶν <͵αχπα> ποδῶν· λοιπὸν
μένουσιν πόδες <πα>· ὧν
πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νονται πόδες <θ>. νῦν ποιῶ
τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν·
γίνονται <τξ>· ὧν τὸ #0ʹ· γί–
νονται πόδες <ρπ>. ἔστω τὸ
ἐμβαδὸν ποδῶν <ρπ>.
Ἔστω τριγώνου ὀρθο–
γωνίου ἡ βάσις σχοινίων
<δ> ἤτοι ὀργυιῶν <μ>, ἡ κά–
θετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρ–
θὰς σχοινίων <γ> ἤτοι ὀρ–
γυιῶν <λ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα
σχοινίων <ε> ἤτοι ὀργυιῶν
<ν>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ
μὲν τῶν σχοινίων ποίει
οὕτως· λάμβανε τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως, τουτέστι τὰ <β>, καὶ
πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ <γ> τῆς
καθέτου· γίνονται <ϛ>· καὶ
ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρ–
θογωνίου τριγώνου σχοι–
νίων <ϛ>. τούτων τὸ ἥμισυ·
γίνονται <γ>· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <γ>. ἐπὶ δὲ τῶν ὀρ–
γυιῶν λάμβανε ὁμοίως τὸ
ἥμισυ τῆς βάσεως, τουτέστι
τὰς <κ> ὀργυιάς, καὶ πολυ–
πλασίαζε ἐπὶ τὰς <λ> τῆς κα–
θέτου· γίνονται <χ>· καὶ ἔστι
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογω–
νίου τριγώνου ὀργυιῶν <χ>.
τούτων μέρος διακοσιοστὸν
γίνεται <γ>· καὶ ἔστι καὶ οὕ–
τως γῆς μοδίων τριῶν. ἐν
παντὶ γὰρ μέτρῳ, εἰ μὲν
μετὰ σχοινίου γίνεται, τὰ
τοῦ πολυπλασιασμοῦ ἡμι–
σειαζόμενα ἀποτελοῦσι τὸν
μοδισμόν, εἰ δὲ μετὰ ὀρ–
γυιᾶς, αἱ τοῦ πολυπλα–
σιασμοῦ ὀργυιαὶ ὑπεξαι–
ρούμεναι ἐπὶ τῶν <σ> ἀπο–
τελοῦσι τὸν μοδισμόν, <μ>
δὲ λιτρῶν οὐσῶν τῷ ἑνὶ
μοδίῳ ὀργυιῶν τε <σ> ἐπι–
βάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ
ὀργυιαὶ πέντε.
Ἕτερον τρίγωνον ὀρ–
θογώνιον, οὗ ἡ μὲν βά–
σις σχοινίων <η> ἤτοι ὀρ–
γυιῶν <π>, ἡ δὲ κάθετος
ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοι–
νίων <ϛ> ἤτοι ὀργυιῶν <ξ>, ἡ
δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων
<ι> ἤτοι ὀργυιῶν <ρ>· εὑρεῖν
τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ τῶν σχοι–
νίων ποίησον οὕτως· λα–
βὼν τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως
ἤγουν τὰ <δ> σχοινία πο–
λυπλασίασον ἐπὶ τὰ <ϛ> τῆς
καθέτου· γίνονται <κδ>· καὶ
ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρ–
θογωνίου τριγώνου σχοι–
νίων <κδ>. τούτων τὸ ἥμισυ·
γίνονται <ιβ>· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <ιβ>. ἐπὶ δὲ τῶν
ὀργυιῶν ποίησον οὕτως·
λαβὼν τὸ #0ʹ τῆς βάσεως
ἤγουν τὰς <μ> ὀργυιὰς πο–
λυπλασίασον ἐπὶ τὰ <ξ> τῆς
καθέτου οὕτως· <μ> <ξ> <͵βυ>·
καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ὀρθογωνίου τριγώνου ὀρ–
γυιῶν <͵βυ>. τούτων μέρος
διακοσιοστὸν γίνεται <ιβ>·
καὶ ἔστι καὶ οὕτως γῆς
μοδίων <ιβ>.
Ἰστέον δέ, ὡς παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου οἱ πολυ–
πλασιασμοὶ τῶν <β> πλευρῶν τῆς ὀρθῆς γωνίας ἴσοι
εἰσὶ τῷ πολυπλασιασμῷ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης.
οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τριγώνου ὀρθογωνίου
αἱ <β> πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν μείζων σχοι–
νίων <η>, ἡ ἐπὶ τῆς βάσεως δηλαδή, ἡ δὲ <ϛ>, τουτέστιν
ἡ πρὸς ὀρθάς· ἀπὸ τούτων εὑρεῖν τὸν ἀριθμὸν τῆς
ὑποτεινούσης. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὰ <η>
τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ξδ>· καὶ τὰ <ϛ> τῆς κα–
θέτου ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>. εἶτα σύνθες ἀμφοτέρων
τῶν πλευρῶν τοὺς πολυπλασιασμούς, ἤγουν τὰ <ξδ> καὶ
τὰ <λϛ>· γίνονται <ρ>. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν·
γίνεται <ι>· καὶ ἔστιν ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων <ι> [καὶ
ἐπὶ ἄλλων ὁμοίως ποίει].
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων
<ιϛ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <ιβ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα
σχοινίων <κ>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ <ιϛ>
τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται <ρϞβ>·
τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται <Ϟϛ>· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ
ἐμβαδόν. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν· λαβὲ τὸ #0ʹ τῶν <Ϟϛ>·
γίνονται <μη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μη>. ἐὰν δὲ θέλῃς
[ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευρῶν] τὴν
ὑποτείνουσαν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ <ιϛ> τῆς βάσεως
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σνϛ>· καὶ τὰ <ιβ> τῆς πρὸς ὀρθὰς
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>· ὁμοῦ <υ>· ὧν πλευρὰ τετρά–
γωνος <κ>· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα. ἐὰν
δὲ θέλῃς τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ <κ>
τῆς ὑποτεινούσης ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <υ>· ἐξ αὐτῶν
λαβὲ τὰ <ιϛ> ποιῶν ἐφ´ ἑαυτὰ [γίνονται] <σνϛ>· λοιπὰ
<ρμδ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <ιβ>· τοσούτων
σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν,
ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν <υ> τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς <ιβ> γινό–
μενα ἐφ´ ἑαυτὰ <ρμδ>· λοιπὰ <σνϛ>· ὧν πλευρὰ τετρά–
γωνος γίνεται <ιϛ>· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ βάσις.
ἐὰν δὲ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων <κ> καὶ θέλῃς ἐκ ταύτης
εὑρεῖν τὴν βάσιν καὶ τὴν πρὸς ὀρθάς, ποίει οὕτως· τὰ
<κ> τῆς ὑποτεινούσης τετράκις· γίνονται <π>· ὧν τὸ εʹ·
γίνονται <ιϛ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ βάσις. ὁμοίως
καὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. τρισσάκις τὰ <κ>· γίνονται <ξ>·
τούτων τὸ εʹ· γίνονται <ιβ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ
πρὸς ὀρθάς.
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν <χ>,
ἡ δὲ κάθετος ὀργυιῶν <λ>· τούτου τήν τε βάσιν καὶ τὴν
ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· δὶς τὸ ἐμβαδόν·
γίνονται <͵ασ>. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὴν κάθετον· γί–
νονται <μ>· τοσούτων ἐστὶν ὀργυιῶν ἡ βάσις. ὁμοίως
καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολυπλασίαζε τὴν κάθετον
ἐφ´ ἑαυτήν· γίνονται <ϡ>· καὶ τὴν βάσιν ἐφ´ ἑαυτήν·
γίνονται <͵αχ>· ὁμοῦ γίνονται <͵βφ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος
γίνεται <ν>· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα.
{Μέθοδος Πυθαγόρου περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου.}
Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι
κατὰ τὴν Πυθαγόρειον μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ,
ποιήσεις οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν <ε>·
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κε>· ἀπὸ τούτων ἄφελε μο–
νάδα μίαν· λοιπὰ <κδ>· τούτων τὸ #0ʹ <ιβ>· ταῦτα ἡ βάσις.
πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν· γίνονται <ιγ>· τοσού–
των ἡ ὑποτείνουσα.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ τριγώνου. λαβὲ
τῶν <ιβ> τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται <ϛ>· ταῦτα ἐπὶ
τὰ <ε> τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται <λ>· καὶ ἔσται τὸ ἐμ–
βαδὸν αὐτοῦ μονάδων τριάκοντα.
Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς ἄξαι κάθετον ἀπὸ τῆς ὀρθῆς
γωνίας ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν, πολυπλασίαζε τὰ <ε> τῆς
πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς βάσεως· γίνονται ἑξήκοντα.
ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὰ <ιγ> τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται
<δ> #0ʹ ιγʹ κϛʹ ἤτοι μονάδες <δ> καὶ λεπτὰ ιγʹ ιγʹ ὀκτώ·
τοσούτου ἀριθμοῦ ἡ κάθετος.
Τὴν δὲ ἀποτομὴν αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως·
τὰ <ιγ> τῆς ὑποτεινούσης ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρξθ>· καὶ
τὰ <ε> τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κε>· ὁμοῦ
<ρϞδ>. ἀπὸ τούτων λαβὲ τὰ <ιβ> τῆς βάσεως ποιῶν ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>· λοιπὰ <ν>· ὧν ἥμισυ γίνεται <κε>.
ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <ιγ> τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται
<α> #0ʹ γʹ ιγʹ οηʹ ἤτοι μονὰς μία καὶ λεπτὰ ιγʹ ιγʹ <ιβ>·
τοσούτου ἡ ἀποτομὴ τοῦ ἥττονος τμήματος. ταῦτα
ἆρον ἀπὸ τῶν <ιγ>· λοιπὰ <ια> ιγʹ ἤτοι μονάδες ἕνδεκα
καὶ λεπτὸν ιγʹ <α>· τοσούτου ἡ ἀποτομὴ καὶ τοῦ μεί–
ζονος τμήματος.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ἀπὸ τούτων εὑρεῖν. λαβὲ
τῶν <ιγ> τῆς ὑποτεινούσης τὸ ἥμισυ· γίνονται <ϛ> #0ʹ· ταῦτα
πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τῆς ἀχθείσης καθέτου,
τουτέστιν ἐπὶ τὰ <δ> #0ʹ ιγʹ κϛʹ· γίνονται τριάκοντα. ἔσται
οὖν καὶ οὕτως τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μονάδων τριάκοντα.
{Μέθοδος Πλάτωνος περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου.}
Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι
κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίησον οὕτως·
δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν <η>· τούτων τὸ #0ʹ·
γίνονται <δ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιϛ>. ἀφαίρει ἀπὸ
τούτων μονάδα μίαν· λοιπὰ <ιε>· τοσούτου ἡ βάσις.
πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται <ιζ>· ταῦτα ἀπόδος
τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.
Τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε
ἀεὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ #0ʹ τῆς
πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγό–
μενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τρι–
γώνου. οἷον ἔστω τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ βάσις σχοι–
νίων <κ>, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <ιε>
καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων <κε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμ–
βαδόν. ποίησον οὕτως· τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν
τὰ δέκα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <ιε> τῆς καθέτου· γί–
νονται <ρν>· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <οε>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <οε>.
Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις
ἀνὰ σχοινίων <ε>, αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων <ιγ>, ἡ
δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν.
ποίει οὕτως· τὰ <ι> τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς πρὸς
ὀρθάς· γίνονται <ρκ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <ξ>· τοσούτων
σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <λ>· καὶ
ἔστι γῆς μοδίων <λ>.
Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν,
ποίει οὕτως· τῶν <ι> τῆς βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται <ε>· ταῦτα
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κε>· καὶ τὰ <ιγ> τῆς ὑποτεινούσης
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρξθ>. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ <κε>· λοιπὰ
<ρμδ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <ιβ>· τοσούτων σχοι–
νίων ἐστὶν ἡ κάθετος.
{Περὶ τριγώνων ἰσοπλεύρων.}
Παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε ἀεὶ τὴν <α> τῶν πλευρῶν
ἐφ´ ἑαυτὴν καὶ τοῦ ἀναβιβαζομένου ἀπὸ τοῦ τοιούτου
πολυπλασιασμοῦ λάμβανε μέρος γʹ καὶ ιʹ· καὶ ἔστι τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. οἷον ὡς ἐν παρα–
δείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν πλευ–
ρῶν σχοινίων <ι>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως·
τὰ <ι> τῆς <α> πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ὧν τὸ γʹ·
γίνονται <λγ> γʹ· καὶ τὸ ιʹ· γίνονται <ι>· σύνθες τὰ <λγ> γʹ
καὶ τὰ <ι>· γίνονται <μγ> γʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.
Τριγώνου δὲ ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν. ποίει
οὕτως· ὕφελε ἀεὶ τὸ ιʹ καὶ λʹ τῆς πλευρᾶς καὶ τὸ
λοιπὸν γίνωσκε εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου. εἶτα
πολυπλασίαζε τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ
τὸ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενόν ἐστι τὸ ἐμ–
βαδόν. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσο–
πλεύρου ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων <ι>. μιᾶς
δὲ πλευρᾶς τὸ ιʹ· γίνεται <α>· καὶ τὸ λʹ· γίνεται γʹ·
ταῦτα ἤγουν τὸ <α> γʹ ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν <ι>· λοιπὰ <η> #1ʹ·
τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως ἤγουν τὰ πέντε σχοινία πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ
<η> #1ʹ τῆς καθέτου· γίνονται <μγ> γʹ· καὶ ἔστιν καὶ οὕτως
τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <μγ> γʹ. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <κα> #1ʹ·
καὶ ἔστι γῆς μοδίων <κ> πρὸς τῷ ἑνὶ καὶ λιτρῶν εἰκοσιὲξ
διμοίρου.
Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευ–
ρῶν σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον
τὰ <ιβ> τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>·
τούτων τὸ γʹ· γίνονται <μη>· καὶ τὸ ιʹ <ιδ> γʹ ιεʹ· ὁμοῦ
<ξβ> γʹ ιεʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. τὴν
δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε
ὁμοίως τὸ ιʹ λʹ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ λοιπόν
ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου. οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν
πλευρῶν <ιβ>· μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ιʹ· γίνεται <α> εʹ· καὶ
τὸ λʹ· γίνεται γʹ ιεʹ. ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις <α> #0ʹ ιʹ·
ταῦτα ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν <ιβ>· λοιπὰ <ι> γʹ ιεʹ· τοσούτων
σχοινίων ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον, τὰ <ϛ> ἐπὶ τὰ <ι> γʹ ιεʹ· καὶ οὕτως
γίνονται <ξβ> γʹ ιεʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσ–
ούτων. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <λα> εʹ· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων
<λα> καὶ λιτρῶν <η>.
Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ
ἀνὰ σχοινίων <λ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον
οὕτως· τὰ <λ> τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ϡ>·
ὧν τὸ γʹ καὶ ιʹ· γίνονται <τϞ>· τοσούτων σχοινίων τὸ
ἐμβαδόν.
Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν, λαβὲ
τῶν <λ> τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται <ιγ>· ταῦτα ἐπὶ τὴν
πλευρὰν ἤγουν τὰ <λ>· γίνονται <τϞ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
Ἐὰν θέλῃς καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, τὰ <λ> ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ϡ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιγ>· γίνονται α̈ <͵αψ>·
ὧν τὸ λʹ <τϞ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
[Ἔτι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τὰ
<λ> τῆς μιᾶς πλευρᾶς καὶ πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <κϛ> τῆς
καθέτου· γίνονται <ψπ>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <τϞ>· τοσ–
ούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.]
Ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον
εὑρεῖν· ἔστι δὲ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοινίων <λ>· ποίει
οὕτως· τὴν μίαν πλευρὰν ἐφ´ ἑαυτήν· γίνονται <ϡ>·
ὧν τὸ δʹ· γίνονται <σκε>· λοιπὰ <χοε>· ὧν πλευρὰ τετρά–
γωνος <κϛ> ὡς σύνεγγυς· ἔσται ἡ κάθετος σχοινίων <κϛ>.
[Ἄλλως εἰς τοῦτο. λαμβάνω τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ·
γίνονται <ιε>· ταῦτα πολυπλασιάζω ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<σκε>. καὶ τὰ <λ> τοῦ σκέλους ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ϡ>·
ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ <σκε>· λοιπὰ <χοε>· ὧν πλευρὰ
τετραγωνικὴ ὡς σύνεγγυς γίνεται <κϛ>· ἔσται οὖν ἡ
κάθετος σχοινίων εἰκοσιέξ.] ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ
τὴν βάσιν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ <λ>· γίνονται <ψπ>· ὧν τὸ
#0ʹ <τϞ>· καὶ μένει αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <τϞ>. τού–
των πάλιν τὸ #0ʹ· γίνονται <ρϞε>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ρϞε>.
{Περὶ τριγώνων ἰσοσκελῶν.}
Τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ
ἡ κάθετος ποδῶν <κ>, ἡ δὲ
βάσις ποδῶν <ιβ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ
οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν
κάθετον· γίνονται πόδες
<σμ>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται
πόδες <ρκ>. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν
ποδῶν <ρκ>.
Τριγώνου ἰσοσκελοῦς
ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν
ποδῶν <κε>, ἡ δὲ βάσις πο–
δῶν <ιδ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον.
ποιῶ οὕτως· ἑκάστης πλευ–
ρᾶς ποίησον τετράγωνον·
γίνονται πόδες <χκε>· λαμ–
βάνω τὸ #0ʹ τῆς βάσεως·
γίνονται πόδες <ζ>· ταῦτα
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες
<μθ>· λοιπὸν μένουσι πόδες
<φοϛ>· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ γίνεται ποδῶν <κδ>.
καὶ τὰ <ζ> ἐπὶ τὴν κάθετον
πόδες <ρξη>· τοσούτων ἔστω
τὸ ἐμβαδόν.
Τρίγωνον ἰσοσκελὲς με–
τρεῖται οὕτως· ἔστω τρι–
γώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη
τῶν ἴσων πλευρῶν σχοι–
νίων <ε>, ἡ δὲ βάσις σχοι–
νίων <ϛ>· εὑρεῖν τὴν κά–
θετον. ποίησον οὕτως·
πολυπλασίασον τὴν μίαν
τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ´
ἑαυτήν· γίνονται <κε>· καὶ
τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν
τὰ <γ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<θ>. εἶτα ὑπέξελε τὰ <θ> ἀπὸ
τῶν <κε>· λοιπὰ <ιϛ>· ὧν πλευ–
ρὰ τετραγωνικὴ <δ>· τοσού–
των σχοινίων ἡ κάθετος.
τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίησον οὕτως· τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως πολυπλασίασον ἐπὶ
τὴν κάθετον ἤγουν τὰ <γ>
ἐπὶ τὰ <δ>· γίνονται <ιβ>· καὶ
ἔστιν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <ιβ>. ὧν τὸ #0ʹ·
γίνονται <ϛ>· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <ϛ>·
Ὡσαύτως ἔστω καὶ ἑτέρου τριγώνου ἰσοσκελοῦς
ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων <ε>, ἡ δὲ βάσις
σχοινίων <η>· εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως·
πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ´ ἑαυ–
τήν· γίνονται <κε>· καὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως τὰ <δ> ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <ιϛ>. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν
πολυπλασιασμοῦ ἤγουν τῶν <κε>· λοιπὰ <θ>· ὧν πλευρὰ
τετραγωνικὴ γίνεται <γ>· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὴν κάθετον
ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <δ>· καὶ γίνονται
<ιβ>· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <ϛ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ϛ>. τὸ τοιοῦτον
ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ.
Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἑκάστη τῶν ἴσων
πλευρῶν σχοινίων <ι>, ἡ δὲ βάσις σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων
πλευρῶν ἐφ´ ἑαυτήν· γίνονται <ρ>· καὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως
ἤγουν τὰ <ϛ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ
τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν τῶν <ρ>·
λοιπὰ <ξδ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <η>· τοσούτων
σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὰ
<η> τῆς καθέτου ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <ϛ>·
γίνονται <μη>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <μη>. ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <κδ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <κδ>.
Ὁμοίως ἔστω καὶ ἑτέρου τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη
τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων <ι>, ἡ δὲ βάσις σχοινίων
<ιϛ>· εὑρεῖν τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὰ <ι> τῆς μιᾶς
τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· καὶ τὸ #0ʹ
τῆς βάσεως ἤγουν τὰ <η> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ξδ>. ταῦτα
ἀφαίρει ἀπὸ τῶν <ρ>· λοιπὰ <λϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
<ϛ>· τοσούτων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὸ
#0ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ <η> ἐπὶ τὰ <ϛ>·
γίνονται <μη>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <μη>. ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <κδ>· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων <κδ>. καὶ τὸ παρὸν
ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ τριγώνῳ.
Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοι–
νίων <ιδ>, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων <κε>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ·
γίνονται <ζ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <μθ>· καὶ τὰ <κε>
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <χκε>· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ <μθ>· λοιπὰ
<φοϛ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <κδ>· τοσούτων
ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ ἐμ–
βαδὸν εὑρεῖν, λαβὲ τῶν <ιδ> τῆς βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται
<ζ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <κδ> τῆς καθέτου ἤγουν τῆς πρὸς ὀρθάς·
γίνονται <ρξη>· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου
ἰσοσκελοῦς τριγώνου.
Ἔστω καὶ ἑτέρου ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἡ βάσις
σχοινίων <μη>, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων <κε>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ
#0ʹ· γίνονται <κδ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <φοϛ>· καὶ
τὰ <κε> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <χκε>· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ <φοϛ>·
λοιπὰ <μθ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <ζ>· τοσούτων
ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ
τῶν <μη> τῆς βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται <κδ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ
<ζ> τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται <ρξη>· τοσούτων ἔσται σχοι–
νίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τριγώνου. ὧν τὸ #0ʹ·
γίνονται <πδ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <πδ>. καὶ τὸ παρὸν
ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ.
{Περὶ τριγώνων σκαληνῶν.}
Ἔστω τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν
ἥττων πλευρὰ σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ βάσις σχοινίων <ιδ>, ἡ
δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων <ιε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον.
ποίει οὕτως· πολυπλασίασον τὰ <ιγ> τῆς ἥττονος πλευ–
ρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρξθ>· καὶ τὰ <ιδ> τῆς βάσεως
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρϞϛ>· καὶ τὰ <ιε> τῆς ὑποτεινούσης
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σκε>. εἶτα σύνθες τὸν τῆς βάσεως
πολυπλασιασμὸν καὶ τὸν τῆς ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ
<ρϞϛ> καὶ τὰ <σκε>· γίνονται <υκα>· ἀφ´ ὧν ἀφαίρει τὸν
πολυπλασιασμὸν τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ <ρξθ>·
λοιπὰ <σνβ>· ὧν #0ʹ γίνεται <ρκϛ>. ταῦτα μέρισον παρὰ
τὰ <ιδ> τῆς βάσεως· γίνονται <θ>· τοσούτων σχοινίων ἡ
ἀποτομή. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <πα>· τὰ <πα> ἀφαίρει
ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν πλευρὰν πολυπλα–
σιασμοῦ, τουτέστι τῶν <σκε>· λοιπὰ <ρμδ>· ὧν πλευρὰ τε–
τραγωνικὴ <ιβ>· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων ἡ κάθετος.
Ἄλλως. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν
καὶ τὸν τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ <ρϞϛ> καὶ τὰ <ρξθ>·
γίνονται <τξε>· ἀφ´ ὧν ἀφαίρει τὸν τῆς ὑποτεινούσης
πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ <σκε>· λοιπὰ <ρμ>·
τούτων τὸ #0ʹ <ο>· ὧν τὸ ιδʹ <ε>· τοσούτων σχοινίων ἡ
ἀποτομή. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κε>· τὰ <κε> ἀφαίρει
ἀπὸ τῶν <ρξθ>· λοιπὰ <ρμδ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νεται <ιβ>· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ #0ʹ
τῆς βάσεως· γίνονται <ζ>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν
κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰ <ιβ>· γίνονται <πδ>· τοσούτων ἔσται
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ τριγώνου. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται
<μβ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μβ>.
Ἄλλως γίνεται ἡ ἀναμέτρησις ἐπὶ τοῦ τοιούτου τρι–
γώνου, οὗ ἡ βάσις σχοινίων <ιγ>, ἡ μείζων πλευρὰ σχοι–
νίων <ιε>, ἡ ἐλάττων σχοινίων <ιδ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
κάθετον. ποίησον οὕτως· σύνθες τὸν τῆς βάσεως
πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἤγουν τὰ
<ρξθ> καὶ τὰ <ρϞϛ>· γίνονται <τξε>· ἀπὸ τούτων ὑπέξελε τὸν
πολυπλασιασμὸν τῆς ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ <σκε>· λοιπὰ
<ρμ>· τούτων τὸ #0ʹ <ο>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <ιγ> τῆς
βάσεως· γίνονται μονάδες <ε> καὶ <ε> ιγʹ ιγʹ· τοσούτων
σχοινίων ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται μο–
νάδες <κθ> παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ. πολυπλασιάζεται οὕτως·
<ε> <ε> <κε>· καὶ πεντάκις τὰ <ε> ιγʹ ιγʹ <κε> ιγʹ ιγʹ· καὶ αὖθις
<ε> ιγʹ ιγʹ τῶν <ε> μονάδων <κε> ιγʹ ιγʹ· καὶ <ε> ιγʹ ιγʹ τῶν
<ε> ιγʹ ιγʹ <κε> ιγʹ ιγʹ τῶν ιγʹ ιγʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα
ιγʹ ιγʹ <β> παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ· ὁμοῦ μονάδες <κε> καὶ λεπτὰ
ιγʹ ιγʹ <νβ> παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα μο–
νάδες <δ> παρὰ ιγʹ τὸ ιγʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες <κθ> παρὰ
ιγʹ τὸ ιγʹ. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν παρα–
κειμένην πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ, τουτέστιν ἀπὸ τῶν
<ρϞϛ>· λοιπαὶ μονάδες <ρξζ> καὶ ιγʹ τὸ ιγʹ· ὧν πλευρὰ
τετραγωνικὴ μονάδες <ιβ> καὶ λεπτὰ ιγʹ ιγʹ <ιβ>· τοσού–
των ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. πολυπλασιάζονται δὲ
αἱ <ιβ> μονάδες καὶ τὰ <ιβ> ιγʹ ιγʹ οὕτως· <ιβ> <ιβ> <ρμδ>· καὶ
<ιβ> τὰ <ιβ> ιγʹ ιγʹ <ρμδ> ιγʹ ιγʹ· καὶ πάλιν <ιβ> ιγʹ ιγʹ τῶν
<ιβ> μονάδων <ρμδ> ιγʹ ιγʹ· καὶ <ιβ> ιγʹ ιγʹ τῶν <ιβ> ιγʹ ιγʹ
<ρμδ> ιγʹ ιγʹ τῶν ιγʹ ιγʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα <ια> ιγʹ ιγʹ
καὶ ιγʹ τὸ ιγʹ· ὁμοῦ μονάδες <ρμδ> λεπτὰ ιγʹ ιγʹ <ςϞθ>
καὶ ιγʹ τὸ ιγʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες <κγ> καὶ ιγʹ
τὸ ιγʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες <ρξζ> καὶ ιγʹ τὸ ιγʹ. ἔστιν
οὖν ἡ κάθετος τοῦ παρόντος τριγώνου σχοινίων <ιβ>
καὶ λεπτῶν ιγʹ ιγʹ <ιβ>.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ
<ϛ> #0ʹ ἐπὶ τὰ <ιβ> καὶ τὰ <ιβ> ιγʹ ιγʹ· γίνονται <πδ>· καὶ ἔστι
τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς
γινέσθω οὕτως· αἱ <ϛ> πρὸς τῇ #0ʹ πολυπλασιασθήτωσαν
μετὰ τῆς καθέτου [ἀμφότεροι] οὕτως· <ϛ> <ιβ> <οβ>· καὶ
ἑξάκις τὰ <ιβ> ιγʹ ιγʹ [τὰ] <οβ> ιγʹ ιγʹ· αἱ <ιβ> μονάδες καὶ
τὰ <ιβ> ιγʹ ιγʹ ἐπὶ τὸ #0ʹ <ϛ> μονάδες καὶ <ϛ> ιγʹ ιγʹ· ὁμοῦ
μονάδες <οη> καὶ ιγʹ ιγʹ <οη>, ἅτινα ποιοῦσι μονάδας <ϛ>·
ἑνωμένως οὖν μετὰ τῶν <οη> γίνονται <πδ>· καὶ ἔστι τὸ
ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων.
Ἔστω τριγώνου σκαληνοῦ ἡ βάσις σχοινίων <ιε>, ἡ
μία τῶν πλευρῶν σχοινίων <ιγ> καὶ ἡ ἑτέρα σχοινίων
<ιδ>· εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως· σύνθες τὸν
τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευ–
ρῶν ἤγουν τὰ <σκε> καὶ τὰ <ρξθ>· γίνονται <τϞδ>. εἶτα
ὑφεῖλον ἀπὸ τούτων τὸν τῆς λοιπῆς πλευρᾶς πολυ–
πλασιασμὸν ἤγουν τὰ <ρϞϛ>· λοιπὰ <ρϞη>· τούτων τὸ #0ʹ
<Ϟθ>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <ιε> τῆς βάσεως· γίνεται τὸ
ιεʹ τούτων μονάδες <ϛ> καὶ λεπτὰ ιεʹ ιεʹ <θ> ἤτοι μο–
νάδες <ϛ> καὶ εʹ εʹ <γ>· τοσούτων σχοινίων ἡ ἀποτομή.
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται μονάδες <μγ> καὶ εʹ εʹ <γ> παρὰ
εʹ τὸ εʹ. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· <ϛ> <ϛ> <λϛ>· καὶ ἑξάκις
τὰ <γ> εʹ εʹ <ιη> εʹ εʹ· καὶ αὖθις <γ> εʹ εʹ τῶν <ϛ> μονάδων
<ιη> εʹ εʹ· καὶ <γ> εʹ εʹ τῶν <γ> εʹ εʹ <θ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ, γι–
νόμενα καὶ ταῦτα εʹ εʹ <β> παρὰ εʹ τὸ εʹ· ὁμοῦ μονάδες
<λϛ> καὶ εʹ εʹ <λη> παρὰ εʹ τὸ εʹ, γινόμενα καὶ ταῦτα μο–
νάδες <ζ> καὶ <γ> εʹ εʹ παρὰ εʹ τὸ εʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες
<μγ> καὶ εʹ εʹ <γ> παρὰ εʹ τὸ εʹ. ταύτας ἄφελε ἀπὸ τοῦ
κατὰ τὴν παρακειμένην πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν
ἀπὸ τῶν <ρξθ>· λοιπαὶ μονάδες <ρκε> εʹ εʹ <β> καὶ εʹ τὸ εʹ
ἤτοι μονάδες <ρκε> γʹ ιεʹ κεʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
γίνεται <ια> εʹ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος.
ὁ δὲ τούτων πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· <ια> <ια> <ρκα>·
καὶ <ια> τὸ εʹ <ια> εʹ εʹ· καὶ πάλιν εʹ τῶν <ια> μονάδων <ια> εʹ εʹ·
καὶ εʹ τὸ εʹ κεʹ· ὁμοῦ μονάδες <ρκα> εʹ εʹ <κβ> καὶ εʹ τὸ εʹ,
γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες <δ> γʹ ιεʹ κεʹ, ἤτοι τὰ ὅλα
μονάδες <ρκε> γʹ ιεʹ κεʹ.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως ἤγουν τὰ <ζ> #0ʹ πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <ια> εʹ τῆς
καθέτου· γίνονται <πδ>· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων
τοσούτων. πολυπλασίασον δὲ ταῦτα οὕτως· <ζ> <ια> <οζ>·
καὶ τὸ εʹ τῶν <ζ> <α> καὶ εʹ εʹ <β>· τὸ #0ʹ τῶν <ια> <ε> #0ʹ. καὶ
τοῦ εʹ τὸ #0ʹ ιʹ· ὁμοῦ μονάδες <πβ> καὶ εʹ εʹ <ι>, γινόμενα
καὶ ταῦτα μονάδες <β>, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες <πδ>. ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <μβ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τεσσαράκοντα <β>.
[Ταῦτα τὰ τρία σκαληνὰ ἓν σχῆμά ἐστι καὶ εἷς
ἀριθμὸς καὶ μία ποσότης, γίνεται δὲ ἡ ἀναμέτρησις
αὐτῶν, καθὼς ἄνωθεν εἴρηται. τοῦτο μόνον ὑπέφηνε
τὰ σχήματα τῶν σκαληνῶν, ὅτι, ἐὰν τὴν βάσιν τάξῃς
πλευρὰν ἢ τὴν πλευρὰν βάσιν, μὴ ἐκπέσῃς οὐδέποτε
τῆς προκειμένης ποσότητος. παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ
ὀξυγωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν <β> πλευραὶ τῆς λοιπῆς
τῆς ὑποτεινούσης μείζονές εἰσιν ἐφ´ ἑαυτὰς πολυ–
πλασιαζόμεναι, καὶ παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ἀμβλυ–
γωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν δύο
πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινού–
σης ἥττονές εἰσι πολυπλασιαζόμεναι
πρὸς ἑαυτάς.]
Ἕτερον τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυ–
γώνιον, οὗ τὸ μικρὸν σκέλος σχοι–
νίων <κϛ>, τὸ δὲ μεῖζον σχοινίων <λ>,
ἡ δὲ βάσις σχοινίων <κη>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <κδ>·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τῆς βάσεως τὸ #0ʹ·
γίνονται <ιδ>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <κδ> τῆς κα–
θέτου· γίνονται <τλϛ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ τοῦ
ὀξυγωνίου σκαληνοῦ τριγώνου σχοινίων <τλϛ>.
Ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν, πόσων σχοινίων ἐστὶν ἡ βά–
σις τοῦ ἥττονος τμήματος τοῦ τριγώνου, ποίησον οὕτως·
τὰ <κϛ> τοῦ μικροῦ σκέλους ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <χοϛ>·
ὁμοίως καὶ τὰ <κη> τῆς ὅλης βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<ψπδ>· ὁμοῦ γίνονται <͵αυξ>. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ <λ> τοῦ με–
γάλου σκέλους γινόμενα ἐφ´ ἑαυτὰ <ϡ>· λοιπὰ <φξ>· ὧν
τὸ #0ʹ <σπ>· τούτων τὸ κηʹ <ι>, ἐπειδήπερ ἡ ὅλη βάσις
σχοινίων <κη> γίνεται· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ βάσις
τοῦ ἥττονος τμήματος. δῆλον γάρ, ὅτι τὸ ὑπολιμπανό–
μενον ἀπὸ τῆς ὅλης βάσεως, τουτέστι τὰ <ιη>, τοῦ μεί–
ζονος τμήματός εἰσι, καὶ ἐγένοντο δύο τρίγωνα ὀρ–
θογώνια, τοῦ μὲν μείζονος ἡ βάσις σχοινίων <ιη>, τοῦ
δὲ ἥττονος <ι>, ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων <λ>, ἡ ἑτέρα <κϛ>,
καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς τῶν ἀμφοτέρων τριγώνων, ἥτις καὶ
κάθετος καλεῖται, σχοινίων <κδ>, ἡ δὲ βάσις σχοινίων
<κη>. ἔστι δὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου σχοινίων
<τλϛ>. εὑρίσκεται δὲ οὕτως· τὰ <κη> τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ
<κδ> τῆς καθέτου· γίνονται <χοβ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <τλϛ>·
τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου, ἤγουν
τοῦ μὲν μείζονος τμήματος σχοινίων <σιϛ>, τοῦ δὲ ἐλάτ–
τονος σχοινίων <ρκ>.
Ἄλλως τὸ αὐτὸ ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μείζων πλευρὰ ὁμοί–
ως σχοινίων <λ>, ἡ δὲ ἐλάττων σχοινίων <κϛ>, ἡ βάσις
σχοινίων <κη>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
τὰ <λ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ϡ>· καὶ τὰ <κϛ> ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <χοϛ>· καὶ τὰ <κη> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ψπδ>. συν–
τιθῶ τὰ <ϡ> καὶ τὰ <ψπδ>· γίνονται <͵αχπδ>· ἀπὸ τούτων
ἀφαιρῶ τὰ <χοϛ>· λοιπὰ <͵αη>· ὧν τὸ #0ʹ <φδ>. ταῦτα μερίζω
παρὰ τὰ <κη> τῆς βάσεως· γίνονται <ιη>· ἔσται ἡ μείζων
βάσις σχοινίων <ιη>. ὁμοίως συντιθῶ τὰ <χοϛ> καὶ τὰ
<ψπδ>· γίνονται <͵αυξ>· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ <ϡ>· λοιπὰ
<φξ>· τούτων τὸ #0ʹ <σπ>. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ <κη> τῆς
βάσεως· γίνονται <ι>· καὶ ἔσται ἡ ἐλάττων βάσις σχοι–
νίων <ι>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα ὑφαιρῶ
ἀπὸ τῶν <χοϛ>· λοιπὰ <φοϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νεται <κδ>· ταῦτα ἀπόδος τῇ καθέτῳ. πάλιν τὰ <ιη> ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <τκδ>· ὑφαιρῶ ταῦτα ἀπὸ τῶν <ϡ>· λοιπὰ
<φοϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ὁμοίως <κδ>. ταῦτα πολυ–
πλασιάζω ὁμοίως ἐπὶ τὰ <κη> τῆς βάσεως· γίνονται <χοβ>·
ὧν ἥμισυ γίνεται <τλϛ>· ἔσται οὖν ὁ τόπος τοῦ παντὸς
σχοινίων <τλϛ>. ποιῶ πάλιν τὰ <κδ> ἐπὶ τὰ <ιη> τῆς βάσεως
τοῦ μείζονος τριγώνου· γίνονται <υλβ>· ὧν τὸ ἥμισυ·
γίνονται <σιϛ>. ὁμοίως πολυπλασιάζω τὰ <κδ> ἐπὶ τὰ <ι> τῆς
βάσεως τοῦ ἐλάττονος τριγώνου· γίνονται <σμ>· ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <ρκ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μὲν μείζονος
τριγώνου σχοινίων <σιϛ>, τοῦ δὲ ἐλάττονος σχοινίων
<ρκ>. συντιθῶ τὰ <σιϛ> καὶ τὰ <ρκ>· γίνονται <τλϛ>· μένει
οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παντὸς τριγώνου, ὡς ἔστιν ἰδεῖν,
σχοινίων <τλϛ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <ρξη>· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <ρξη>.
Ἕτερον τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν
πρώτη καὶ ἐλάττων πλευρὰ ὀργυιῶν <λθ>, ἡ δὲ ἑτέρα ἡ
ὑποτείνουσα ὀργυιῶν <με>, ἡ δὲ βάσις ὀργυιῶν <μβ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· τὰ <λθ> ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <͵αφκα>· καὶ τὰ <με> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <͵βκε>·
καὶ τὰ <μβ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <͵αψξδ>. εἶτα σύνθες τὸν
τῆς πλευρᾶς καὶ βάσεως πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ
<͵αφκα> καὶ τὰ <͵αψξδ>· γίνονται <͵γσπε>· ἀφ´ ὧν ὑφαίρει
τὸν τῆς ὑποτεινούσης πολυπλασιασμὸν τὰ <͵βκε>· λοιπὰ
<͵ασξ>. τούτων τὸ #0ʹ <χλ>· ὧν τὸ μβʹ <ιε>· τοσούτων ὀρ–
γυιῶν ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σκε>· τὰ
<σκε> ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ,
τουτέστιν ἀπὸ τῶν <͵αφκα>· λοιπὰ <͵ασϞϛ>· ὧν πλευρὰ τε–
τραγωνικὴ <λϛ>· τοσούτων ὀργυιῶν ἡ κάθετος. πάλιν
σύνθες τὸν τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν
καὶ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ <͵βκε> καὶ τὰ <͵αψξδ>· γίνονται
<͵γψπθ>· ἀφ´ ὧν ἆρον τὰ <͵αφκα> τῆς ἥττονος πλευρᾶς·
λοιπὰ <͵βσξη>· ὧν τὸ #0ʹ <͵αρλδ>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ
<μβ> τῆς βάσεως· γίνεται τὸ μβʹ τούτων <κζ>· τοσούτων
ὀργυιῶν ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ψκθ>.
τὰ <ψκθ> ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν πολυ–
πλασιασμοῦ ἤγουν ἀπὸ τῶν <͵βκε>· λοιπὰ <͵ασϞϛ>· ὧν
πλευρὰ τετραγωνικὴ <λϛ>· τοσούτων ὀργυιῶν ἡ κάθετος.
τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως· γί–
νονται ὀργυιαὶ <κ> πρὸς τῇ μιᾷ· ταύτας πολυπλασίασον
ἐπὶ τὰς <λϛ> τῆς καθέτου· γίνονται <ψνϛ>· καὶ ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀξυγωνίου τριγώνου ὀργυιῶν <ψνϛ>.
ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται <γ> #0ʹ δʹ μʹ ςʹ· καὶ ἔστι
γῆς μοδίων <γ> #0ʹ λιτρῶν <ια> καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς.
Τρίγωνον σκαληνὸν ἀμβλυγώνιον, οὗ τὸ μικρὸν σκέ–
λος σχοινίων <ι>, τὸ δὲ μεῖζον σχοινίων <ιζ>, βάσις σχοινίων
<κα>, τοῦ μείζονος τμήματος ἡ βάσις σχοινίων <ιε>, τοῦ
δὲ ἐλάττονος σχοινίων <ϛ>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <η>·
εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τῆς βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται
<ι> #0ʹ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ὀκτὼ τῆς καθέτου·
γίνονται <πδ>· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου
σχοινίων <πδ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <μβ>· καὶ ἔστι γῆς μο–
δίων <μβ>.
Ἕτερον τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν
μείζων πλευρὰ σχοινίων <κ>, ἡ δὲ ἐλάττων πλευρὰ σχοι–
νίων <ιε>, ἡ δὲ βάσις σχοινίων <κε>, τοῦ μείζονος τμή–
ματος ἡ βάσις σχοινίων <ιϛ>, τοῦ δὲ ἐλάττονος <θ>, ἡ δ´
ἀμφοτέρων ὀρθὴ σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβα–
δόν. ποίει οὕτως· τὰ τῆς καθέτου <ιβ> ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως, τουτέστιν ἐπὶ τὰ <ιβ> #0ʹ· γίνονται <ρν>· καὶ ἔστιν
αὐτοῦ τοῦ παντὸς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ρν>.
ὧν #0ʹ γίνεται <οε>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
{Ἑτέρα μέτρησις καθολικὴ ἐπὶ παντὸς τριγώνου.}
Τρίγωνον οἱονδηποτοῦν μετρήσεις οὕτως· οἷον ἔστω
τριγώνου ἡ μὲν τῶν πλευρῶν σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ σχοι–
νίων <ιδ>, ἡ δὲ σχοινίων <ιε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
ποίει οὕτως· σύνθες τὰ <ιγ> καὶ τὰ <ιδ> καὶ τὰ <ιε>· γί–
νονται <μβ>· τούτων τὸ #0ʹ <κα>· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰς
τρεῖς πλευρὰς κατὰ μίαν, τουτέστιν ἄφελε τὰ <ιγ>, λοιπὰ
<η>, καὶ τὰ <ιδ>, λοιπὰ <ζ>, καὶ τὰ <ιε>, λοιπὰ <ϛ>. πολυπλα–
σίασον οὖν δι´ ἀλλήλων· τὰ <κα> ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται
<ρξη>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ζ>· γίνονται <͵αροϛ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ϛ>·
γίνονται <͵ζνϛ>· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <πδ>·
τοσούτων σχοινίων γίνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
Ἄλλως. ἔστω τῶν πλευρῶν ἡ μὲν <ιγ>, ἡ δὲ <ιδ>, ἡ
δὲ <ιε>· ὁμοῦ <μβ>· τούτων #0ʹ <κα>· ὑφαίρει ἀπὸ τῶν <κα>
τὰ <ιγ>· λοιπὰ <η>· καὶ τὰ <ιδ>· λοιπὰ <ζ>· καὶ τὰ <ιε>· λοιπὰ
<ϛ>. ποίει τὰ <ϛ> ἐπὶ τὰ <ζ>· γίνονται <μβ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <η>·
γίνονται <τλϛ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <κα>· γίνονται <͵ζνϛ>· τούτων
λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται <πδ>· τοσούτων
ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ὁμοίως καὶ ἐπὶ ἰσο–
πλεύρου καὶ ἐπὶ ἰσοσκελοῦς καὶ ἐπὶ σκαληνοῦ καὶ ὀρ–
θογωνίου πάντοτε ποιοῦμεν.
Τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις
σχοινίων <ιβ> καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <ε>, ἡ δὲ ὑπο–
τείνουσα σχοινίων <ιγ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
ὡς κατὰ τὴν προγραφεῖσαν ἔφοδον. ἕνωσον οὖν τὰς
τρεῖς πλευράς· καὶ γίνονται <λ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <ιε>.
αὐτῶν τῶν <ιε> παρέκβαλε ἑκάστην πλευράν, τὰ <ιβ>, λοιπὰ
<γ>, τὰ <ε>, λοιπὰ <ι>, τὰ <ιγ>, λοιπὰ <β>· καὶ σύνθες τὰς ἀπο–
λοιπασίας πάσας, τουτέστι τὰ <γ>, τὰ <ι> καὶ τὰ <β>· γίνονται
<ιε>. ταῦτα ἐπὶ τὰ <β>· γίνονται <λ>· καὶ τὰ <λ> ἐπὶ τὰ <γ>·
γίνονται <Ϟ>· καὶ τὰ <Ϟ> ἐπὶ τὰ <ι>· γίνονται <ϡ>· ὧν πλευρὰ
τετραγωνικὴ γίνεται <λ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ. καὶ ἐπὶ παντὸς δὲ τριγώνου
ἡ μέθοδος αὕτη ἰσχύει.
Τρίγωνον ἀμβλυγώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων
<θ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἀμβλεῖα πλευρὰ σχοινίων <ι>, ἡ δὲ
ὑποτείνουσα σχοινίων <ιζ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
ποίει οὕτως· παρεκβεβλήσθω ἡ βάσις, καὶ ἤχθω ἐπὶ
τὴν ἐκβληθεῖσαν εὐθεῖαν κάθετος, καὶ γενέσθω τρί–
γωνον ὀρθογώνιον. πρῶτον οὖν δεῖ εὑρεῖν, πόσων
σχοινίων ἐστὶν ἡ ἐκβληθεῖσα εὐθεῖα, καὶ πόσων ἡ
κάθετος. εὑρίσκεται δὲ οὕτως· τὰ <ιζ> τῆς ὑποτεινούσης
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σπθ>· ἐξ ὧν ἔκβαλε τὰ <θ> τῆς
βάσεως γενόμενα ἐφ´ ἑαυτὰ <πα> καὶ τὰ <ι> τῆς ἀμβλείας
πλευρᾶς γενόμενα ἐφ´ ἑαυτὰ <ρ>· ὁμοῦ <ρπα>· λοιπὰ <ρη>·
ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <νδ>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <θ> τῆς
βάσεως· γίνονται <ϛ>· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων ἡ ἐκ–
βληθεῖσα. καὶ ἐγένετο τὸ ἓν τρίγωνον τὸ ἐπιβληθέν,
οὗ ἡ βάσις σχοινίων <ϛ>, ἡ δὲ ἀμβλεῖα σχοινίων <ι>, ἡ
δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <η>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ἐπιβληθέντος τριγώνου. ποίει οὕτως· τὰ <ϛ> τῆς βάσεως
ἐπὶ τὰ <η> τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται <μη>· ὧν τὸ ἥμισυ·
γίνονται <κδ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ.
τοῦ δὲ ὅλου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. σύνθες τὰ
προϋπάρχοντα <θ> τῆς βάσεως καὶ τὰ παρεκβληθέντα <ϛ>·
γίνονται <ιε>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <η> τῆς πρὸς
ὀρθάς· γίνονται <ρκ>· ὧν τὸ ἥμισυ <ξ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου.
Ἐὰν δὲ θέλῃς διαστεῖλαι καὶ γνῶναι ἰδίως τοῦ τε
μείζονος καὶ ἐλάττονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν, ποίει
οὕτως· τὰ <ϛ> τῆς παρεκβληθείσης εὐθείας ἐπὶ τὰ <η> τῆς
πρὸς ὀρθάς· γίνονται <μη>· ὧν τὸ #0ʹ <κδ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἥττονος τμήματος τοῦ τρι–
γώνου. δῆλον δέ, ὅτι τὸ ὑπολιμπανόμενον ἀπὸ τοῦ
ὅλου τριγώνου τοῦ ἀπὸ τῶν ἑξήκοντα σχοινίων ἔσται
τοῦ μείζονος τμήματος, ὅ ἐστι σχοινίων <λϛ>.
Ἄλλως τὸ αὐτὸ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον. πολυπλα–
σιάζω τὰ <ιζ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σπθ>· ἀπὸ τούτων
ὑφαιρῶ τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτὰ γενόμενα <ρ>· λοιπὰ <ρπθ>. ταῦτα
μερίζω ἐπὶ τὰ <θ> τῆς βάσεως· γίνονται <κα>· προστιθῶ
τὰ <θ> τῆς βάσεως· γίνονται <λ>· ὧν τὸ #0ʹ <ιε>. ἀπὸ τού–
των ὑφαιρῶ τὰ <θ> τῆς βάσεως· λοιπὰ <ϛ>· ἔσται ἡ ἀπο–
λαμβανομένη ὑπὸ τῆς καθέτου σχοινίων <ϛ>. ταῦτα πο–
λυπλασιάζω ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>· καὶ τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <ρ>· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ <λϛ>· λοιπὰ <ξδ>· ὧν
πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <η>· ταῦτα τῆς προβληθείσης
καθέτου. καὶ πολυπλασιάζω τὰ <η> ἐπὶ τὰ <θ> τῆς βάσεως·
γίνονται <οβ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <λϛ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων μετὰ τὴν παρεκβληθεῖσαν προσθήκην τοῦ
τριγώνου τὸ προκείμενον ἀμβλυγώνιον, ἀμφότερα δη–
λονότι σχοινίων <ξ>, χωριζόμενα τὸ μὲν μεῖζον ἀμβλυ–
γώνιον σχοινίων <λϛ>, τὸ δὲ ἔλαττον τῆς προσαγομένης
ψήφου τριγώνου ὀρθογωνίου σχοινίων <κδ>.
[Ἐν δὲ τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς
ὑπὸ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τε–
τράγωνον μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν
γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχο–
μένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν,
ἐφ´ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης
ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ.
Δεῖ γινώσκειν, ὅτι ἡ ὀργυιὰ ἔχει σπιθαμὰς <θ> δʹ
ἢ παλαιστὰς <κη> ἐχούσης τῆς πρώτης παλαιστῆς προσθή–
κην κόνδυλον. καὶ ἄλλως· ἀνὴρ μέσος μήτε κοντὸς
μήτε μακρὸς σταθεὶς ὄρθιος ἐκτεινάτω τὴν δεξιὰν αὑτοῦ
χεῖρα ἄνω, καὶ ἔνθα ἂν φθάσῃ τὰ ἄκρα τῶν δακτύλων
αὐτοῦ, ἐκεῖ ἐστι μέτρον δικαίας ὀργυιᾶς. καὶ ἄλλως.
λαβὼν σχοινίον ἢ κάλαμον ὁ τῆς μέσης ἡλικίας ἀνὴρ
πατησάτω τὴν ἄκραν ἐν τοῖς δακτύλοις τοῦ ποδὸς
αὑτοῦ· εἶτα ἀναβιβασάτω τὸ σχοινίον ἄχρι τοῦ ὤμου
αὑτοῦ, εἶθ´ οὕτως καμψάτω τοῦτο ὄπισθεν ἄχρι τοῦ
κώλου αὑτοῦ, καὶ ποιήσει ὀργυιὰν πάνυ δικαιοτάτην.]
Δοθέντος τριγώνου
ἰσοσκελοῦς, οὗ ἡ βάσις
σχοινίων <ιβ>, ἡ κάθετος
σχοινίων <η>, καὶ τὸ ἐμ–
βαδὸν σχοινίων <μη>,
καὶ ἐντὸς τοῦ τοιούτου
τριγώνου τετραγώνου
ἰσοπλεύρου ἐγγραφο–
μένου εὑρεῖν τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ τετραγώ–
νου. ποίει οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον τοῦ
τριγώνου ἤγουν <ιβ> καὶ <η>· γίνονται <κ>. εἶτα πολυπλα–
σίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι τὰ <ιβ> ἐπὶ
τὰ <η>· γίνονται <Ϟϛ>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ συναμφότερα
ἤγουν παρὰ τὰ <κ>· γίνονται <δ> #0ʹ εʹ ιʹ ἤτοι <δ> καὶ <δ> εʹ εʹ·
τοσούτων σχοινίων ἔσται ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετρα–
γώνου. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κγ> κεʹ. ὁ δὲ πο–
λυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· <δ> <δ> <ιϛ>· <δ> τὰ <δ> εʹ εʹ <ιϛ> εʹ εʹ·
καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν <δ> μονάδων <ιϛ> εʹ εʹ· καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν
<δ> εʹ εʹ <ιϛ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ γινόμενα καὶ ταῦτα εʹ εʹ <γ>
καὶ εʹ τὸ εʹ· ὁμοῦ μονάδες <ιϛ> καὶ εʹ εʹ <λε> καὶ εʹ τὸ εʹ.
τὰ <λε> εʹ εʹ μεριζόμενα παρὰ τὰ πέντε γίνονται μονάδες
<ζ> καὶ προστίθενται ταῖς λοιπαῖς <ιϛ>· μένει δὲ καὶ εʹ
τὸ εʹ· καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ
συναγόμενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας <κγ> καὶ εʹ τὸ εʹ·
τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου.
Τῶν κάτωθεν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμ–
βαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ
τῆς ὅλης βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ
τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν τὰ <δ> #0ʹ εʹ ιʹ, τουτέστι τὰ
<δ> καὶ <δ> εʹ εʹ· λοιπὰ <ζ> εʹ τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται <γ> #0ʹ ιʹ
ἤτοι <γ> καὶ <γ> εʹ εʹ· τοσούτων σχοινίων ἡ βάσις ἑκάστου
ὀρθογωνίου τριγώνου. ἡ δὲ κάθετος ἑκάστου τούτων
ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὴν ποσότητα τοῦ ἀριθμοῦ
τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν σχοινίων <δ> #0ʹ εʹ ιʹ·
τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται <β> γʹ ιεʹ ἤτοι <β> καὶ εʹ εʹ <β>.
ταῦτα ἐπὶ τὴν βάσιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου πολυπλα–
σιαζόμενα ἤγουν ἐπὶ τὰ <γ> καὶ <γ> εʹ εʹ γίνονται <η> #0ʹ ιʹ κεʹ
ἤτοι μονάδες <η> εʹ εʹ <γ> καὶ εʹ τὸ εʹ. ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς
οὕτως· <β> <γ> <ϛ>· καὶ δὶς τὰ <γ> εʹ εʹ <ϛ> εʹ εʹ· καὶ <β> εʹ εʹ
τῶν <γ> μονάδων <ϛ> εʹ εʹ· καὶ <β> εʹ εʹ τῶν <γ> εʹ εʹ <ϛ> εʹ εʹ
τῶν εʹ εʹ γινόμενα καὶ ταῦτα εʹ <α> καὶ εʹ τὸ εʹ· ὁμοῦ
μονάδες <ϛ> εʹ εʹ <ιγ> καὶ εʹ τὸ εʹ· τὰ <ιγ> εʹ εʹ μεριζόμενα
παρὰ τὰ <ε> γίνονται μονάδες <β> καὶ εʹ εʹ <γ>, καὶ προσ–
τίθενται ταῖς <ϛ> μονάσι· μένει δὲ καὶ εʹ τὸ εʹ· καὶ
συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος
ἀριθμὸς εἰς μονάδας <η> εʹ εʹ <γ> καὶ εʹ τὸ εʹ· τοσούτων
σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τῶν τοιούτων ὀρθο–
γωνίων τριγώνων, ἀμφοτέρων δὲ τὸ ἐμβαδὸν γίνεται
<ιζ> εʹ καὶ <β> εʹ τοῦ εʹ ἤτοι σχοινίων <ιζ> εʹ <α> καὶ δύο εʹ τὸ εʹ.
Τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῆς καθέτου τοῦ ὅλου τρι–
γώνου τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν ἤγουν τὰ <δ> #0ʹ εʹ ιʹ·
λοιπὰ <γ> εʹ· ταῦτα ἡ κάθετος τοῦ ἄνωθεν τριγώνου.
ἡ δὲ βάσις τούτου κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετρα–
γώνου πλευρᾶς ἤγουν τὰ <δ> #0ʹ εʹ ιʹ. τούτων τὸ #0ʹ· γί–
νονται <β> γʹ ιεʹ ἤτοι <β> καὶ <β> εʹ εʹ· ταῦτα ἐπὶ τὰ <γ> εʹ
τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται <ζ> #0ʹ ιʹ ιεʹ οεʹ
ἤτοι μονάδες <ζ> εʹ εʹ <γ> καὶ <β> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ. ὁ δὲ
πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· <β> <γ> <ϛ>· καὶ <β> τὸ εʹ <β> εʹ εʹ·
καὶ <β> εʹ εʹ τῶν <γ> μονάδων <ϛ> εʹ εʹ· καὶ <β> εʹ εʹ τοῦ <α> εʹ <β> εʹ εʹ
τῶν εʹ εʹ· ὁμοῦ μονάδες <ϛ> εʹ εʹ <η> καὶ <β> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ·
τὰ <η> εʹ εʹ μεριζόμενα παρὰ τὰ πέντε γίνεται μονὰς
μία καὶ <γ> εʹ εʹ· καὶ προστίθεται ταῖς λοιπαῖς <ϛ> μο–
νάσιν· μένουσι δὲ καὶ <β> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ· καὶ συμπο–
σοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολυπλασιασμοῦ συναγό–
μενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας <ζ> εʹ εʹ <γ> καὶ <β> εʹ εʹ τῶν
εʹ εʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ ἄνωθεν
ἰσοσκελοῦς τριγώνου. ὁμοῦ τῶν ὅλων τμημάτων τὸ
ἐμβαδὸν καὶ πάλιν σχοινίων <μη>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <κδ>·
καὶ ἔσται ὁ τόπος τοῦ παντὸς τριγώνου μοδίων <κδ>.
Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ βάσις μονάδων
<ιϛ>, ἡ δὲ κάθετος μονάδων <ιβ>, τὸ δὲ ἐμβαδὸν μονάδων
<Ϟϛ>· εὑρεῖν ἐντὸς τοῦ τοιούτου τριγώνου τετράγωνον
ἰσόπλευρον. ποίησον οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθε–
τον· γίνονται <κη>· εἶτα πολυπλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ
τὴν κάθετον, τουτέστιν τὰ <ιϛ> ἐπὶ τὰ <ιβ>· γίνονται
<ρϞβ>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <κη>· γίνονται <ϛ> #1ʹ ζʹ καʹ
ἤτοι μονάδες <ϛ> καὶ <ϛ> ζʹ ζʹ τῆς μονάδος· τοσούτου
ἀριθμοῦ ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου. ταῦτα
πολυπλασίαζε ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <μζ> μθʹ. πολυπλα–
σιάζονται δὲ οὕτως· <ϛ> <ϛ> <λϛ>· καὶ ἑξάκις τὰ <ϛ> ζʹ ζʹ <λϛ> ζʹ ζʹ·
καὶ <ϛ> ζʹ ζʹ τῶν <ϛ> μονάδων <λϛ> ζʹ ζʹ· καὶ <ϛ> ζʹ ζʹ τῶν
<ϛ> ζʹ ζʹ <λϛ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ γινόμενα καὶ ταῦτα ζʹ ζʹ <ε>
καὶ ζʹ τοῦ ζʹ· ὁμοῦ μονάδες <λϛ> ζʹ ζʹ <οζ>, γινόμενα καὶ
ταῦτα μονάδες <ια>, καὶ ζʹ τοῦ ζʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες
<μζ> καὶ ζʹ τοῦ ζʹ ἤγουν μθʹ· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
τετραγώνου.
Τῶν ἔνθεν κἀκεῖθεν τοῦ τετραγώνου δύο ὀρθο–
γωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ἡνωμένως εὑρεῖν. ποί–
ησον οὕτως· τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ὀκτὼ μέρισον
παρὰ τὰ <ιβ> τῆς καθέτου· γίνεται #1ʹ· τὸ #1ʹ τῆς τοῦ
τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν τῶν <ϛ> μονάδων καὶ τῶν
<ϛ> ζʹ ζʹ· γίνονται μονάδες <δ> καὶ <δ> ζʹ ζʹ· αἱ <δ> μονάδες
καὶ τὰ <δ> ζʹ ζʹ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὴν τοῦ τετρα–
γώνου πλευράν, ἥτις κάθετός ἐστι τῶν τοιούτων δύο
τριγώνων, τουτέστιν ἐπὶ τὰς <ϛ> μονάδας καὶ τὰ <ϛ> ζʹ ζʹ,
γίνονται μονάδες <λ> πρὸς τῇ μιᾷ ζʹ ζʹ <β> καὶ <γ> ζʹ ζʹ
τῶν ζʹ ζʹ. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· <δ> <ϛ> <κδ>· καὶ
<δ> τὰ <ϛ> ζʹ ζʹ <κδ> ζʹ ζʹ· καὶ <δ> ζʹ ζʹ τῶν <ϛ> μονάδων
<κδ> ζʹ ζʹ· καὶ <δ> ζʹ ζʹ τῶν <ϛ> ζʹ ζʹ <κδ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ γι–
νόμενα καὶ ταῦτα ζʹ ζʹ <γ> καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ· ὁμοῦ
μονάδες <κδ> ζʹ ζʹ <να>, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες <ζ>
καὶ <β> ζʹ ζʹ, καὶ τρία ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μο–
νάδες <λα> καὶ ζʹ ζʹ <β> καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ· τοσούτων
τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων.
Διῃρημένως δὲ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου
τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τοῦ
ἀριθμοῦ τῆς βάσεως, τουτέστιν ἀπὸ τῶν <ιϛ> μονάδων,
τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς, ὅς ἐστι
μονάδες <ϛ> καὶ <ϛ> ζʹ ζʹ· λοιπαὶ μονάδες <θ> καὶ ζʹ τῆς
μονάδος. τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται μονάδες <δ> καὶ <δ> ζʹ ζʹ
τῆς μονάδος· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ βάσις ἑνὸς
ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου. ἡ δὲ κάθετος, τουτ–
έστιν ἡ πρὸς ὀρθάς, κατὰ τὴν ποσότητα τοῦ ἀριθμοῦ
τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤτοι μονάδων <ϛ> καὶ
<ϛ> ζʹ ζʹ. τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται μονάδες <γ> καὶ <γ> ζʹ ζʹ
τῆς μονάδος· ταῦτα ἐπὶ τὴν βάσιν ἑνὸς ἑκάστου τρι–
γώνου πολυπλασιαζόμενα γίνονται μονάδες <ιε> <δ> ζʹ ζʹ
καὶ <ε> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως·
<γ> <δ> <ιβ>· καὶ <γ> τὰ <δ> ζʹ ζʹ <ιβ> ζʹ ζʹ· καὶ <δ> ζʹ ζʹ τῶν <γ>
μονάδων <ιβ> ζʹ ζʹ· καὶ <δ> ζʹ ζʹ τῶν <γ> ζʹ ζʹ <ιβ> ζʹ ζʹ τῶν
ζʹ ζʹ γινόμενα καὶ ταῦτα ζʹ ἓν καὶ <ε> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ·
ὁμοῦ μονάδες <ιβ> ζʹ ζʹ <κε>, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες
<γ> καὶ <δ> ζʹ ζʹ, καὶ <ε> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ, ἤτοι τὰ ὅλα μο–
νάδες <ιε> ζʹ ζʹ <δ> καὶ <ε> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ· τοσούτων τὸ
ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου. ταῦτα
δίς· γίνονται μονάδες <λ> πρὸς τῇ μιᾷ ζʹ ζʹ <β> καὶ <γ> ζʹ ζʹ
τῶν ζʹ ζʹ· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τῶν <β> ὀρθογωνίων
τριγώνων.
Τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῆς καθέτου τὴν τοῦ τε–
τραγώνου πλευρὰν ἤγουν μονάδας <ϛ> #1ʹʹ ζʹ καʹ· λοιπαὶ
μονάδες <ε> ζʹ· τοσούτου ἀριθμοῦ ἡ κάθετος τοῦ ἄνωθεν
ἰσοσκελοῦς τριγώνου. ἡ δὲ βάσις τούτου κατὰ τὸν
ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤτοι μονάδων
<ϛ> καὶ <ϛ> ζʹ ζʹ. τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται μονάδες <γ> καὶ
<γ> ζʹ ζʹ· ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ <ε> ζʹ τῆς καθέ–
του γίνονται μονάδες <ιζ> ζʹ ζʹ <δ> καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ.
πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· <γ> <ε> <ιε>· καὶ <γ> τὸ ζʹ <γ> ζʹ ζʹ·
καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν <ε> μονάδων <ιε> ζʹ ζʹ· καὶ <γ> ζʹ ζʹ τοῦ
ζʹ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ· ὁμοῦ μονάδες <ιε> ζʹ ζʹ <ιη>, γινόμενα
μονάδες <β> καὶ <δ> ζʹ ζʹ, καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ, ἤτοι τὰ
ὅλα μονάδες <ιζ> <δ> ζʹ ζʹ καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ· τοσούτων
τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου.
Ἄρτι σύνθες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν
μονάδας <μζ> καὶ ζʹ τοῦ ζʹ, ὁμοίως καὶ τὸ ἐμβαδὸν τῶν
κάτωθεν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων ἤγουν μονάδας <λ>
πρὸς τῇ μιᾷ ζʹ ζʹ <β> καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ, ὡσαύτως καὶ
τὸ τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἤγουν μονάδας
<ιζ> ζʹ ζʹ <δ> καὶ <γ> ζʹ ζʹ τῶν ζʹ ζʹ· καὶ εὑρήσεις πάλιν τὸ
τῶν ὅλων τμημάτων ἐμβαδὸν μονάδας <Ϟϛ>. αἱ τοιαῦται
<Ϟϛ> μονάδες ἐπὶ μὲν τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ἡμι–
σειαζόμεναι γίνονται <μη> καὶ δηλοῦσι τὴν τοῦ μοδισμοῦ
ποσότητα, ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν ὑπεξαιρού–
μεναι ἐπὶ τῶν <ε> γίνονται <ιθ> εʹ καὶ δηλοῦσι τὴν τῶν
λιτρῶν ποσότητα, ὡς εἶναι τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπὶ μὲν
τῶν σχοινίων μοδίων <μη>, ἐπὶ δὲ τῶν ὀργυιῶν λιτρῶν
<ιθ> εʹ.
Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ βάσις μονάδων
<ιζ>, ἡ δὲ κάθετος μονάδων <ιε>, τὸ δὲ ἐμβαδὸν μονάδων
<ρκζ> #0ʹ· εὑρεῖν ἐντὸς τοῦ τοιούτου τριγώνου τετράγωνον
ἰσόπλευρον. ποίησον οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον
ἤγουν <ιζ> καὶ <ιε>· γίνονται <λβ>· εἶτα πολυπλασίασον τὴν
βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι <ιζ> ἐπὶ <ιε>· γίνονται
<σνε>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <λβ>· γίνονται <ζ> #0ʹ δʹ ηʹ
ιϛʹ λβʹ ἤτοι μονάδες ἑπτὰ καὶ <λα> λβʹ λβʹ· τοσούτου
ἀριθμοῦ ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου. ταῦτα
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται μονάδες <ξγ> #0ʹ καὶ λβʹ τὸ λβʹ ἤτοι
<͵ακδʹ> τῆς μονάδος. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· <ζ> <ζ> <μθ>·
καὶ ἑπτάκις τὰ <λα> λβʹ λβʹ <σιζ> λβʹ λβʹ· καὶ <λα> λβʹ λβʹ
τῶν ἑπτὰ μονάδων <σιζ> λβʹ λβʹ· καὶ <λα> λβʹ λβʹ
τῶν <λα> λβʹ λβʹ <ϡξα> λβʹ λβʹ τῶν λβʹ λβʹ γινόμενα καὶ
ταῦτα λβʹ λβʹ τριάκοντα καὶ λβʹ τὸ λβʹ· ὁμοῦ μονάδες
τεσσαρακονταεννέα λβʹ λβʹ <υξδ> καὶ λβʹ τὸ λβʹ γινόμενα
καὶ ταῦτα μονάδες <ιδ> #0ʹ καὶ λβʹ τὸ λβʹ, ἤτοι τὰ ὅλα
μονάδες <ξγ> #0ʹ καὶ λβʹ τὸ λβʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ τετραγώνου.
Τῶν ἔνθεν κἀκεῖθεν τοῦ τετραγώνου δύο ὀρθο–
γωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως·
ἄφελε ἀπὸ τῆς βάσεως τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετρα–
γώνου πλευρᾶς ἤγουν μονάδας <ζ> καὶ <λα> λβʹ λβʹ· καὶ
εὑρήσεις τὰς βάσεις τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων
μονάδων ἐννέα καὶ λεπτοῦ λβʹ ἑνός. τούτων τὸ ἥμισυ·
γίνονται μονάδες <δ> καὶ <λγ> ξδʹ ξδʹ· τοσούτου ἀριθμοῦ
ἐστιν ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου.
Ἄλλως ἡ μέθοδος εἰς τὸ αὐτό. λαβὲ τὸ ἥμισυ τῆς
ὅλης βάσεως τοῦ τριγώνου· γίνονται μονάδες ὀκτὼ
ἥμισυ. ταύτας μέρισον παρὰ τὰς <ιε> τῆς καθέτου· γί–
νεται #0ʹ ιεʹ· τὸ #0ʹ ιεʹ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς
ἤγουν τῶν ἑπτὰ μονάδων καὶ <λα> λβʹ λβʹ γίνονται μο–
νάδες <δ> καὶ <λγ> ξδʹ ξδʹ.
Αἱ τέσσαρες μονάδες καὶ τὰ <λγ> ξδʹ ξδʹ πολυπλα–
σιαζόμενα ἐπὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευράν, ἥτις κά–
θετός ἐστι τῶν τοιούτων δύο ὀρθογωνίων τριγώνων,
τουτέστιν ἐπὶ τὰς ἑπτὰ μονάδας καὶ τὰ ἑξηκονταδύο
ξδʹ ξδʹ, γίνονται μονάδες <λε> ξδʹ ξδʹ ἑξηκονταδύο καὶ
<ξβ> ξδʹ ξδʹ τῶν ξδʹ ξδʹ. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως·
<δ> <ζ> <κη>· καὶ τετράκις τὰ <ξβ> ξδʹ ξδʹ <σμη> ξδʹ ξδʹ· καὶ
<λγ> ξδʹ ξδʹ τῶν ἑπτὰ μονάδων <σλα> ξδʹ ξδʹ· καὶ <λγ>
ἑξηκοστοτέταρτα τῶν ἑξηκονταδύο ξδʹ ξδʹ <βμϛ> ξδʹ ξδʹ
τῶν ξδʹ ξδʹ γινόμενα καὶ ταῦτα ξδʹ ξδʹ <λα> καὶ ἑξηκον–
ταδύο ξδʹ ξδʹ τῶν ξδʹ ξδʹ· ὁμοῦ μονάδες <κη> ἑξηκοστο–
τέταρτα πεντακόσια δέκα καὶ ἑξηκονταδύο ξδʹ ξδʹ τῶν
ξδʹ ξδʹ γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ἑπτὰ ἑξηκοστο–
τέταρτα <ξβ> καὶ ἑξηκονταδύο ξδʹ ξδʹ τῶν ξδʹ ξδʹ, ἤτοι
τὰ ὅλα μονάδες <λε> ξδʹ ξδʹ <ξβ> καὶ <ξβ> ξδʹ ξδʹ τῶν ἑξη–
κοστοτετάρτων· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο ὀρθο–
γωνίων τριγώνων.
Τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ἄφελε ἀπὸ τῆς ὅλης καθέτου τὴν τοῦ τετραγώνου πλευ–
ρὰν ἤγουν μονάδας ἑπτὰ καὶ <λα> λβʹ λβʹ· λοιπαὶ μο–
νάδες ἑπτὰ καὶ λβʹ τῆς μονάδος, ὅ ἐστιν ἑξηκοστο–
τέταρτα δύο· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος τοῦ
ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου. ἡ δὲ βάσις τούτου κατὰ
τὴν ποσότητα τοῦ ἀριθμοῦ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευ–
ρᾶς ἤτοι μονάδων ἑπτὰ καὶ <λα> λβʹ λβʹ. τούτων τὸ
ἥμισυ· γίνονται μονάδες <γ> καὶ <ξγ> ἑξηκοστοτέταρτα. αἱ
τρεῖς μονάδες καὶ τὰ <ξγ> ξδʹ ξδʹ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ
τὴν κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰς ἑπτὰ μονάδας καὶ τὰ δύο
ξδʹ ξδʹ γίνονται μονάδες εἰκοσιοκτὼ καὶ <ξβ> ξδʹ ξδʹ
τῶν ξδʹ ξδʹ. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· <γ> <ζ> <κα>· καὶ
<γ> τὰ <β> ξδʹ ξδʹ <ϛ> ξδʹ ξδʹ· καὶ <ξγ> ξδʹ ξδʹ τῶν ἑπτὰ μο–
νάδων <υμα> ξδʹ ξδʹ· καὶ <ξγ> ξδʹ ξδʹ τῶν δύο ξδʹ ξδʹ
<ρκϛ> ξδʹ ξδʹ τῶν ξδʹ ξδʹ γινόμενα καὶ ταῦτα ἑξηκοστο–
τέταρτον <α> καὶ <ξβ> ξδʹ ξδʹ τῶν ξδʹ ξδʹ· ὁμοῦ μονάδες
<κα> ξδʹ ξδʹ <υμη>, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ἑπτά, καὶ
ἑξηκονταδύο ξδʹ ξδʹ τῶν ἑξηκοστοτετάρτων, ἤτοι τὰ
ὅλα μονάδες εἰκοσιοκτὼ καὶ ἑξηκονταδύο ξδʹ ξδʹ τῶν
ξδʹ ξδʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκε–
λοῦς τριγώνου.
Ἄρτι σύνθες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν
μονάδας <ξγ> #0ʹ καὶ λβʹ τὸ λβʹ, ὅ ἐστι τέσσαρα ἑξηκοστο–
τέταρτα τῶν ἑξηκοστοτετάρτων, ὁμοίως καὶ τὸ ἐμβαδὸν
τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων ἤγουν μονάδας <λε> ξδʹ
ξδʹ <ξβ> καὶ <ξβ> ξδʹ ξδʹ τῶν ξδʹ ξδʹ, ὡσαύτως καὶ τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἤγουν μο–
νάδας <κη> καὶ <ξβ> ξδʹ ξδʹ τῶν ἑξηκοστοτετάρτων· καὶ
εὑρήσεις πάλιν τὸ τῶν ὅλων τμημάτων ἐμβαδὸν μονά–
δων ἑκατὸν εἰκοσιεπτὰ #0ʹ.
Ἐπὶ μέντοι τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων διελὼν τὸ
ἐμβαδὸν μέσον εὑρήσεις τὸ ὅλον σχῆμα γῆς μοδίων
ἑξηκοντατριῶν καὶ ἡμίσεως καὶ τετάρτου ἤτοι μοδίων
<ξγ> καὶ λιτρῶν <λ>· ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν λα–
βὼν τὸ εʹ μέρος τοῦ ἐμβαδοῦ εὑρήσεις τὸν τόπον γῆς
λιτρῶν εἰκοσιπέντε #0ʹ.
Ἑπτὰ εἴδη εἰσὶ τῶν τριγώνων· τὸ ἰσόπλευρον μο–
νοειδές, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυ–
γώνιον ἢ ὀξυγώνιον καὶ τὸ σκαληνὸν ὁμοίως.
Οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνου
διπλάσιον, ἀλλ´ οὐδὲ ἰσόπλευρον τρίγωνον ὀρθογώνιον
τὴν ὑποτείνουσαν ἴσην τῶν δύο τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν
γωνίαν ἔχον.
{Περὶ τετραγώνων ἰσοπλεύρων μὲν οὐκ ὀρθογωνίων δέ,
ἤτοι ῥόμβων.}
Σχῆμα ῥόμβου, ὃ ἰσόπλευρον μὲν οὐκ ὀρθογώνιον
δέ, μετρεῖται οὕτως· ἔστω σχῆμα ῥόμβου, οὗ ἑκάστη
τῶν πλευρῶν σχοινίων <ι>, ἡ μία τῶν διαγωνίων σχοι–
νίων <ιβ> καὶ ἡ ἑτέρα σχοινίων <ιϛ>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ῥόμβου. λαβὲ τὸ #0ʹ τῆς μιᾶς τῶν διαγωνίων καὶ
πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν ἑτέραν ὅλην διαγώνιον, τουτ–
έστι τὰ <ϛ> ἐπὶ τὰ <ιϛ> ἢ τὰ <η> ἐπὶ τὰ <ιβ>· γίνονται <Ϟϛ>·
καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου σχοινίων <Ϟϛ>. ὧν τὸ
#0ʹ· γίνονται <μη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μη>.
Ἄλλως εἰς τὸ αὐτὸ σχῆμα. ῥόμβος, οὗ ἑκάστη πλευ–
ρὰ ἀνὰ σχοινίων <ι>, ἡ δὲ διαγώνιος σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τήν τε κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
τῶν <ιβ> τῆς διαγωνίου τὸ #0ʹ· γίνονται <ϛ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <λϛ>· καὶ τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ἐξ ὧν
λαβὲ τὰ <λϛ>· λοιπὰ <ξδ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται
<η>· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς
καὶ τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ <η> τῆς καθέτου
ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς βάσεως· γίνονται <Ϟϛ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται
<μη>· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμίσεως
τοῦ ῥόμβου, δηλαδὴ τοῦ ὅλου ῥόμβου ὄντος σχοινίων
<Ϟϛ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <μη>· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ ὅλου
ῥόμβου γῆς μοδίων <μη>.
Ἕτερον σχῆμα ῥόμβου, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοι–
νίων <κε>, ἡ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων λ, ἡ δὲ ἑτέρα
σχοινίων <μ>. τὸ #0ʹ τῶν <λ> γίνεται <ιε>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <μ>·
γίνονται <χ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου σχοινίων
<χ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <τ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <τ>.
Τὸ τοιοῦτον σχῆμα τοῦ ῥόμβου κατὰ μὲν τὴν μίαν
τῶν διαγωνίων τεμνόμενον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων <λ>,
ποιεῖ τρίγωνα ἰσοσκελῆ ὀξυγώνια <β>, κατὰ δὲ τὴν διαγώ–
νιον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων <μ>, ποιεῖ τρίγωνα ἀμβλυ–
γώνια <β>. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου τῶν ὀξυγωνίων τρι–
γώνων σχοινίων <λ>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοι–
νίων <κε>. τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ <ιε> ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <σκε>· καὶ τὰ <κε> τῆς πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνον–
ται <χκε>· τὰ <σκε> ἀφαίρει ἀπὸ τῶν <χκε>· λοιπὰ <υ>· ὧν
πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <κ>· τοσούτων ἔσται σχοι–
νίων ἡ κάθετος ἑνὸς ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου.
ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως
ἤγουν ἐπὶ τὰ <ιε> γίνονται <τ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς
ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων <τ>. ὧν τὸ #0ʹ·
γίνονται <ρν>· καὶ εἰσὶ τὰ ἀμφότερα ἀνὰ γῆς μοδίων <ρν>.
Πάλιν ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου
σχοινίων <μ>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων <κε>.
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <χκε>· καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βά–
σεως ἤγουν τὰ <κ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <υ>· ταῦτα ἀφαίρει
ἀπὸ τῶν <χκε>· λοιπὰ <σκε>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γί–
νεται <ιε>· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος ἑνὸς ἑκάστου
ἀμβλυγωνίου τριγώνου. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ
τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <κ> γίνονται <τ>· καὶ
ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <τ>. πάλιν τὸ #0ʹ τῶν <τ>· γίνονται <ρν>· καὶ ἔστιν
ἓν ἕκαστον τῶν τριγώνων γῆς μοδίων <ρν>. ὁμοῦ ἀμ–
φοτέρων τῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <χ>. ὧν
τὸ #0ʹ· γίνονται <τ>· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ ὅλου ῥόμβου
γῆς μοδίων <τ>.
Ῥόμβος, οὗ τὰ σκέλη ἀνὰ σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ διαγώ–
νιος σχοινίων <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
ἤχθω κάθετος διατέμνουσα τὴν διαγώνιον· ἡ δὲ ἀχθεῖσα
ἔχει σχοινία <κδ>· καὶ γεγόνασι <β> μετρήσεις τριγώνων
ἰσοσκελῶν, ὧν τὰ σκέλη ἀνὰ σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ βάσις
σχοινίων <ι>, ἡ δὲ κάθετος ἑκάστου ἀνὰ σχοινίων <ιβ>, ὡς
γίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου σχοινίων <ξ>,
τοῦ ὅλου ῥόμβου ὄντος δηλαδὴ σχοινίων <ρκ> ἤτοι γῆς
μοδίων <ξ>.
{Περὶ παραλληλογράμμων ὀρθογωνίων.}
Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον μετρεῖται οὕτως·
ἔστω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερό–
μηκες καλεῖται, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων <γ>, τὸ δὲ μῆκος
σχοινίων ὀκτώ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. πολυπλα–
σίασον τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος ἤγουν τὰ <γ> ἐπὶ τὰ <η>·
γίνονται <κδ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλ–
ληλογράμμου σχοινίων <κδ>. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ιβ>·
καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ιβ>.
Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμη–
κες καλεῖται, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ σχοινίων <ιη>, τὰ δὲ
πλάτη ἀνὰ σχοινίων <ιβ>. τὰ <ιη> τοῦ μήκους πολυπλα–
σιαζόμενα ἐπὶ τὰ <ιβ> τοῦ πλάτους γίνονται <σιϛ>· καὶ
ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου παραλληλογράμμου σχοι–
νίων <σιϛ>. ὧν τὸ #0ʹ <ρη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ρη>.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς διάφορα
εἴδη τριγώνων, εἰς ἓν ὀξυγώνιον ἰσοσκελές, εἰς <β> σκα–
ληνὰ ὀρθογώνια καὶ εἰς <β> ἀμβλυγώνια σκαληνὰ καὶ
αὐτά. ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου
σχοινίων <ιη>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων
<ιε>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σκε>· καὶ τὸ ἥμισυ τῆς
βάσεως ἤγουν τὰ <θ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <πα>· ταῦτα
ἀφαίρει ἀπὸ τῶν <σκε>· λοιπὰ <ρμδ>· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ <ιβ>· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. ταῦτα πο–
λυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως, τουτέστιν ἐπὶ
τὰ <θ>, γίνονται <ρη>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀξυγωνίου
τριγώνου σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <νδ>·
καὶ ἔστι γῆς μοδίων <νδ>.
Ἡ κορυφὴ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοι–
νίων <ε>, ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <ιβ> καὶ ἡ ὑποτείνουσα
σχοινίων <ιγ>. τὸ #0ʹ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἤγουν τὰ <ϛ> πολυ–
πλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ πέντε τῆς κορυφῆς ἑνὸς ἑκάστου
ὀρθογωνίου τριγώνου γίνονται <λ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν
ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων <λ>. ὧν #0ʹ γίνεται <ιε>·
καὶ ἔστιν γῆς μοδίων <ιε>.
Ἡ ἐλάσσων πλευρὰ ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <δ>, ἡ δὲ μείζων σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ
ὑποτείνουσα βάσις σχοινίων <ιε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμ–
βαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ <ιε> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σκε>·
τὰ <ιγ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρξθ>· τὰ <δ> ἐφ´ ἑαυτά· γί–
νονται <ιϛ>. συντιθῶ τὰ <σκε> καὶ τὰ <ρξθ>· γίνονται <τϞδ>·
ἀπὸ τούτων ἀφαιρῶ τὰ <ιϛ>· λοιπὰ <τοη>· ὧν #0ʹ <ρπθ>.
ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ <ιε> τῆς βάσεως· γίνονται <ιβ> #0ʹ ιʹ
ἤτοι μονάδες <ιβ> καὶ εʹ εʹ <γ>· τοσούτων σχοινίων ἔσται
ἡ μείζων ἀποτομὴ [τῆς βάσεως]. ὁμοίως συντιθῶ τὰ <σκε>
καὶ τὰ <ιϛ>· γίνονται <σμα>· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ <ρξθ>·
λοιπὰ <οβ>· ὧν #0ʹ γίνεται <λϛ>. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ <ιε>
τῆς βάσεως· γίνονται <β> γʹ ιεʹ ἤτοι μονάδες <β> καὶ
εʹ εʹ <β>· ἔσται οὖν καὶ ἡ ἐλάττων βάσις σχοινίων <β>
καὶ εʹ εʹ <β>. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐφ´ ἑαυτὰ γί–
νονται μονάδες <ε> καὶ εʹ εʹ <γ> καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ·
ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν <ιϛ>· λοιπαὶ μονάδες <ι> εʹ ἓν
καὶ εʹ τὸ εʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <γ> εʹ·
τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. πάλιν τὰ <ιβ> καὶ <γ> εʹ εʹ
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται μονάδες <ρνη> εʹ εʹ <γ> καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν
εʹ εʹ· ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῶν <ρξθ>· λοιπαὶ μονάδες δέκα
εʹ <α> καὶ εʹ τὸ εʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὁμοίως
<γ> εʹ· καὶ ἔσται ἡ κάθετος <γ> εʹ. ταῦτα πολυπλασιάζω
ἐπὶ τὰ <ιε> τῆς βάσεως· γίνονται <μη>· ὧν #0ʹ γίνεται <κδ>·
καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <κδ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <ιβ>· καὶ ἔστιν
ἕκαστον τούτων γῆς μοδίων <ιβ>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ
ἐμβαδὸν τῶν ὅλων τμημάτων σχοινίων <σιϛ>, ὁ δὲ μο–
δισμὸς τούτων γῆς μοδίων <ρη>.
Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἕτερον, οὗ αἱ μὲν
<β> πλευραὶ τοῦ πλάτους ἀνὰ ὀργυιῶν <λϛ>, αἱ δὲ δύο
τοῦ μήκους ἀνὰ ὀργυιῶν <μη>. αἱ <λϛ> τῆς μιᾶς τῶν τοῦ
πλάτους πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὰς <μη> τῆς μιᾶς τῶν
τοῦ μήκους ποιοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμ–
μου ὀργυιῶν <͵αψκη>. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται
<η> #0ʹ ιʹ κεʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <η> #0ʹ λιτρῶν <ε> καὶ ὀρ–
γυιῶν <γ>.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ῥόμβον
καὶ <δ> τρίγωνα ὀρθογώνια. αἱ <δ> πλευραὶ τοῦ ῥόμβου
ἀνὰ ὀργυιῶν <λ>, ἡ μία τῶν διαγωνίων ὀργυιῶν <λϛ> καὶ
ἡ ἑτέρα ὀργυιῶν <μη>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυ–
πλασίασον τὸ #0ʹ τῆς μιᾶς διαγωνίου ἐπὶ τὴν ἑτέραν
ὅλην διαγώνιον ἤγουν τὰς <ιη> ἐπὶ τὰς <μη>· γίνονται
<ωξδ>· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου.
ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται <δ> δʹ κʹ νʹ· καὶ ἔστι
γῆς μοδίων <δ> λιτρῶν <ιβ> καὶ ὀργυιῶν <δ>.
Ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου ὀρ–
γυιῶν <ιη>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ὀργυιῶν <κδ>, ἡ δὲ ὑποτεί–
νουσα ὀργυιῶν <λ>. τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν αἱ ἐννέα
ὀργυιαὶ πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὰς <κδ> τῆς πρὸς ὀρθὰς
ποιοῦσιν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου τὸ ἐμ–
βαδὸν ὀργυιῶν <σιϛ> ἤτοι γῆς μοδίου <α> λιτρῶν <γ> καὶ
ὀργυιᾶς μιᾶς. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ τῶν ὅλων τμημάτων
ἐμβαδὸν ἤγουν τῶν <δ> ὀρθογωνίων τριγώνων καὶ τοῦ
ῥόμβου ὀργυιῶν <͵αψκη>, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μο–
δίων <η> #0ʹ λιτρῶν <ε> καὶ ὀργυιῶν <γ>.
Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἕτερον, οὗ τὸ πλά–
τος σχοινίων <η>, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὰ <η> τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ
<ιβ> τοῦ μήκους· γίνονται <Ϟϛ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
αὐτοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων <Ϟϛ>. ὧν τὸ #0ʹ· γί–
νονται <μη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τεσσαρακονταοκτώ.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ἕτερα
παραλληλόγραμμα τέσσαρα ὀρθογώνιά τε καὶ στενοεπι–
μήκη. τὸ πλάτος ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων <γ>, τὸ
δὲ μῆκος σχοινίων <η>. τὰ τρία τοῦ πλάτους πολυπλα–
σιαζόμενα ἐπὶ τὰ <η> τοῦ μήκους γίνονται <κδ>· καὶ ἔστι
τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τμήματος σχοινίων <κδ> ἤτοι
γῆς μοδίων <ιβ>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ ἐμβαδὸν τῶν <δ>
τμημάτων σχοινίων <Ϟϛ>, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μο–
δίων <μη>.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ἕτερα
παραλληλόγραμμα ὀρθογώνια ὀκτώ. τὸ πλάτος ἑνὸς
ἑκάστου τούτων σχοινίων τριῶν, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων
τεσσάρων. τὰ <γ> τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ
<δ> τοῦ μήκους γίνονται <ιβ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς
ἑκάστου τούτων σχοινίων <ιβ> ἤτοι γῆς μοδίων <ϛ>. ὁμοῦ·
καὶ πάλιν τὸ ἐμβαδὸν τῶν ὀκτὼ τμημάτων σχοινίων
ἐνενηκονταὲξ ἤτοι γῆς μοδίων <μη>.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς τρί–
γωνον ἰσοσκελὲς ὀξυγώνιον καὶ εἰς ἕτερα <β> ὀρθογώνια
σκαληνά. ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου
σχοινίων <ιβ>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων <ι>·
εὑρεῖν τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν πλευ–
ρῶν ἐφ´ ἑαυτήν· γίνονται <ρ>· καὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως
ἤγουν τὰ <ϛ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>. ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ
τῶν <ρ>· λοιπὰ <ξδ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ <η>· τοσούτων
σχοινίων ἡ κάθετος. εἶτα λαβὲ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως· γί–
νονται <ϛ>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν
ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται <μη>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου. ὧν #0ʹ γίνεται
<κδ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <κδ>.
Ἡ κορυφὴ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοι–
νίων <ϛ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <η>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα
σχοινίων <ι>. τὸ #0ʹ τῆς κορυφῆς ἑνὸς ἑκάστου αὐτῶν
ἤγουν τὰ <γ> πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ <η> τῆς πρὸς ὀρ–
θὰς γίνονται <κδ>· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <κδ> ἤτοι γῆς μοδίων <ιβ>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ
ἐμβαδὸν τῶν τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ ἑνὸς ἰσο–
σκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου καὶ τῶν ἑτέρων <β> ὀρθο–
γωνίων τριγώνων σχοινίων <Ϟϛ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <μη>·
καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μη>.
Ἰστέον, ὅτι τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς
δύο ὀρθογωνίοις τριγώνοις· καὶ γὰρ καὶ αὐτὸ τεμνό–
μενον κατὰ κάθετον ἕτερα δύο ἰσόμετρα ἀποτελεῖ τρί–
γωνα ὀρθογώνια.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ῥόμβου
σχῆμα καὶ εἰς τρίγωνα ἰσοσκελῆ <ϛ>, ἐξ ὧν τὰ <δ> ὀξυ–
γώνια, τὰ δὲ <β> ἀμβλυγώνια. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου
ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων <ϛ>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων
πλευρῶν σχοινίων <ε>. τὰ <ε>
τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <κε>· καὶ τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως ἤγουν τὰ <γ> ἐφ´ ἑαυ–
τά· γίνονται <θ>· ταῦτα ἀφαί–
ρει ἀπὸ τῶν <κε>· λοιπὰ <ιϛ>·
ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ <δ>·
τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ
κάθετος ἑνὸς ἑκάστου τούτων. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα
ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <γ> γίνονται <ιβ>· καὶ
ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <ιβ>.
Ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοι–
νίων <η>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων <ε>. τὰ
<ε> τῆς <α> πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κε>· καὶ τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως ἤγουν τὰ <δ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιϛ>· ταῦτα
ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν <κε>· λοιπὰ <θ>· ὧν πλευρὰ τετραγω–
νικὴ τρία· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος ἑνὸς
ἑκάστου τούτων. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ #0ʹ
τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <δ> γίνονται <ιβ>· καὶ ἔστιν ἑνὸς
ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ιβ>.
Ἰστέον δέ, ὅτι καὶ τὰ τοιαῦτα ἀμβλυγώνια ἴσα εἰσὶ
τοῖς προγραφεῖσιν ὀξυγωνίοις τριγωνίοις.
Αἱ <δ> πλευραὶ τοῦ ῥόμβου ἀνὰ σχοινίων <ε>, ἡ μία
τῶν διαγωνίων σχοινίων <ϛ> καὶ ἡ ἑτέρα σχοινίων <η>·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὸ #0ʹ τῆς
μιᾶς τῶν διαγωνίων ἐπὶ τὴν ἑτέραν ὅλην διαγώνιον
ἤγουν τὰ <γ> ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται <κδ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβα–
δὸν τοῦ ῥόμβου σχοινίων <κδ>.
Τὸ τοιοῦτον σχῆμα τοῦ ῥόμβου κατὰ μὲν τὴν <α>
τῶν διαγωνίων τεμνόμενον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων <ϛ>,
ποιεῖ τρίγωνα ἰσοσκελῆ ὀξυγώνια <β>, κατὰ δὲ τὴν ἑτέ–
ραν διαγώνιον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων <η>, ποιεῖ τὰ τοι–
αῦτα τρίγωνα ἀμβλυγώνια· ἡ δὲ μέτρησις τούτων προ–
γέγραπται.
Ὁμοῦ τῶν <ϛ> τριγώνων καὶ τοῦ ῥόμβου τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <Ϟϛ>, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μοδίων <μη>.
Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τρί–
γωνα ὀρθογώνια <ιϛ>, ὧν αἱ βάσεις ἢ κορυφαὶ ἀνὰ σχοι–
νίων <γ>, αἱ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἀνὰ σχοινίων <δ>, αἱ δὲ ὑπο–
τείνουσαι ἀνὰ σχοινίων <ε>. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου
τούτων σχοινίων <ϛ>, καὶ ὁ μοδισμὸς ἑκάστου τούτων
μοδίων τριῶν. ὁμοῦ τῶν <ιϛ> ὀρθογωνίων τὸ ἐμβαδὸν
καὶ πάλιν σχοινίων <Ϟϛ>, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μο–
δίων <μη>.
Τὸ τοιοῦτον παραλληλόγραμμον καὶ μονομερῶς με–
τρούμενον καὶ εἰς διαφόρους κατατομὰς διαιρούμενον,
ὡς δεδήλωται, συστοιχεῖ ἐπὶ πᾶσι κατ´ οὐδὲν τῆς ἀλη–
θείας ἐκπίπτον.
{Περὶ παραλληλογράμμων ῥομβοειδῶν.}
Παραλληλόγραμμον οὐκ ὀρθογώνιον ῥομβοειδὲς δὲ
μετρεῖται οὕτως· ἔστωσαν παραλληλογράμμου ῥομβο–
ειδοῦς αἱ μὲν τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων <ϛ>, αἱ δὲ
ἀνὰ σχοινίων <η>, ἡ δὲ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων <δ>·
δεῖ γὰρ προστίθεσθαι καὶ μίαν τῶν διαγωνίων. τού–
των οὖν ὑποκειμένων εὑρεῖν χρὴ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥομ–
βοειδοῦς παραλληλογράμμου. τοῦτο δὲ φανερόν· γε–
γόνασι γὰρ σκαληνὰ τρίγωνα ἀμβλυγώνια <β> τὰ περι–
εχόμενα ὑπὸ τῆς διαγωνίου καὶ τῶν πλευρῶν, ὧν
ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ μείζων πλευρὰ ἑνὸς ἑκάστου
τούτων σχοινίων <ϛ>, ἡ δὲ ἐλάττων σχοινίων <δ>, ἡ δὲ
ὑποτείνουσα βάσις σχοινίων <η>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβα–
δόν. ποιῶ οὕτως· τὰ <δ> τῆς ἐλάττονος πλευρᾶς ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ιϛ>· καὶ τὰ <η> τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <ξδ>· ὁμοῦ <π>· ἐξ ὧν αἴρω τὰ <ϛ> τῆς μείζονος
πλευρᾶς γινόμενα ἐφ´ ἑαυτὰ <λϛ>· λοιπὰ <μδ>· ὧν #0ʹ <κβ>.
ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ <η> τῆς βάσεως· γίνονται <β> #0ʹ δʹ·
ἔσται οὖν ἡ τοῦ ἐλάττονος τμήματος βάσις σχοινίων
<β> #0ʹ δʹ. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ζ> #0ʹ ιϛʹ· ταῦτα
αἴρω ἀπὸ τῶν <ιϛ>· λοιπὰ <η> δʹ ηʹ ιϛʹ· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ <β> #1ʹ δʹ ὡς σύνεγγυς· τοσούτων σχοινίων ἡ
κάθετος. πάλιν συντιθῶ τὰ <η> τῆς βάσεως γινόμενα
ἐφ´ ἑαυτὰ <ξδ> καὶ τὰ <ϛ> τῆς μείζονος πλευρᾶς γινόμενα
ἐφ´ ἑαυτὰ <λϛ>· γίνονται ὁμοῦ <ρ>· ἀφ´ ὧν αἴρω τὰ <δ>
τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς γινόμενα ἐφ´ ἑαυτὰ <ιϛ>· λοιπὰ
<πδ>· ὧν #0ʹ <μβ>. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ ὀκτὼ τῆς βάσεως·
γίνονται <ε> δʹ· ἔσται καὶ ἡ τοῦ μείζονος τμήματος βά–
σις σχοινίων <ε> δʹ. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κζ> #0ʹ ιϛʹ·
ταῦτα αἴρω ἀπὸ τῶν <λϛ>· λοιπὰ <η> δʹ ηʹ ιϛʹ· ὧν πλευρὰ
τετραγωνικὴ ὡς ἔγγιστα <β> #1ʹ δʹ· τοσούτων σχοινίων
ἡ κάθετος. τὰ <β> #1ʹ δʹ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα
ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <δ> γίνονται <ια> #1ʹ·
καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου σχοινίων
τοσούτων, ἀμφοτέρων δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου
ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων
<κγ> γʹ. ὧν #0ʹ γίνεται <ια> #1ʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ια>
καὶ λιτρῶν <κϛ> #1ʹ.
{Ἄλλως ἡ μέθοδος εἰς τὸ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
αὐτοῦ παραλληλογράμμου.}
Ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου σχοινίων <η>· τού–
των τὸ #0ʹ· γίνονται <δ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιϛ>·
ταῦτα ἐπὶ τὸν τῆς καθέτου πολυπλασιασμὸν ἤγουν
ἐπὶ τὰ <η> δʹ ηʹ ιϛʹ πολυπλασιαζόμενα γίνονται <ρλε>· ὧν
πλευρὰ τετραγωνικὴ <ια> #0ʹ ιδʹ καʹ παρ´ ὀλίγον παντε–
λῶς ἤτοι μονάδες <ια> καὶ λεπτὰ καʹ καʹ <ιγ>· τοσούτων
σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνὸς τριγώνου, ἀμφοτέρων
δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς παραλ–
ληλογράμμου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <κγ> ζʹ ιδʹ μβʹ. ὧν
#0ʹ γίνεται <ια> #0ʹ ιδʹ καʹ [καὶ ἔστι μοδίων τοσούτων].
Ἡ παροῦσα δὲ μέθοδος ἀκριβεστέρα ἐστὶ τῆς
πρώτης.
Ἕτερον ῥομβοειδές, οὗ αἱ μὲν τῶν πλευρῶν ἀνὰ
σχοινίων <ιβ>, αἱ δὲ ἀνὰ σχοινίων <ι> καὶ ἡ μία τῶν δια–
γωνίων σχοινίων <η>· δεῖ γὰρ προστίθεσθαι ἀεὶ ἐπὶ
τούτοις διὰ τὸ ἄτακτον καὶ μίαν τῶν διαγωνίων. τού–
των δὲ οὕτως ὑποκειμένων γενόνασι δύο τρίγωνα σκα–
ληνὰ ὀξυγώνια τὰ ὑπὸ τῆς διαγωνίου καὶ τῶν πλευ–
ρῶν περιεχόμενα, ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ ἐλάσσων
πλευρὰ ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων <η>, ἡ δὲ μείζων
πλευρὰ σχοινίων <ι>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα βάσις σχοινίων
<ιβ>. τὰ <η> τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<ξδ>· καὶ τὰ <ι> τῆς μείζονος πλευρᾶς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<ρ>· καὶ τὰ <ιβ> τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>·
εὑρεῖν τὴν κάθετον. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυ–
πλασιασμὸν καὶ τὸν τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ
<ρμδ> καὶ τὰ <ξδ>· γίνονται <ση>· ἐξ ὧν λαβὲ τὸν τῆς ἑτέρας
πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ <ρ>· λοιπὰ <ρη>· ὧν τὸ
#0ʹ γίνεται <νδ>. ταῦτα μεριζόμενα παρὰ τὰ <ιβ> τῆς βά–
σεως γίνονται <δ> #0ʹ· τοσούτων σχοινίων ἡ βάσις τοῦ
ἥττονος τμήματος. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <κ> δʹ·
ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλα–
σιασμοῦ ἤγουν ἀπὸ τῶν <ξδ>· λοιπὰ <μγ> #0ʹ δʹ· ὧν πλευ–
ρὰ τετραγωνικὴ <ϛ> #0ʹ ιγʹ κϛʹ ἤτοι μονάδες <ϛ> καὶ λεπτὰ
ιγʹ ιγʹ ὀκτὼ παρ´ ὀλίγον· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
ταῦτα ἤγουν τὰ <ϛ> καὶ <η> ιγʹ ιγʹ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ
τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ <ϛ> γίνονται <λθ> #1ʹ λθʹ·
καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων
τοσούτων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς σχοινίων <οθ> γʹ
κϛʹ οηʹ. ὧν #0ʹ γίνεται <λθ> #0ʹ ϛʹ λθʹ· καὶ ἔστι γῆς μο–
δίων τοσούτων.
Ὁμοίως δὲ καὶ ῥόμβος μετρεῖται καὶ τραπέζιον
οἱονδήποτε.
Παραλληλόγραμμον ῥομβοειδὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμε–
νον εἰς τμήματα <γ> ἤγουν εἰς ἓν παραλληλόγραμμον
ὀρθογώνιον καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια.
αἱ δύο πλάγιοι πλευραὶ τοῦ ὀρθογωνίου παραλληλο–
γράμμου κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου τῶν προγρα–
φέντων δύο τριγώνων ἤτοι ἀνὰ σχοινίων <ϛ> καὶ λεπτῶν
ιγʹ ιγʹ <η>, ἡ δὲ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις ἀνὰ σχοινίων <δ> #0ʹ·
εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. πολυπλασίασον τὰ <δ> #0ʹ τῆς
βάσεως ἐπὶ τὰ <ϛ> καὶ <η> ιγʹ ιγʹ τῆς μιᾶς τῶν πλαγίων·
γίνονται <κθ> #1ʹ ιγʹ λθʹ ἤτοι μονάδες <κθ> καὶ λεπτὰ ιγʹ
ιγʹ <ι>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παρ–
αλληλογράμμου. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου
τριγώνου σχοινίων <ζ> #0ʹ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <ϛ>
καὶ λεπτῶν ιγʹ ιγʹ <η>. τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ
<γ> #0ʹ δʹ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ <ϛ> καὶ <η> ιγʹ ιγʹ τῆς πρὸς
ὀρθὰς γίνονται <κδ> #0ʹ δʹ κϛʹ νβʹ· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου
τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὁμοῦ τῶν <γ>
τμημάτων ἤγουν τοῦ ἑνὸς ὀρθογωνίου παραλληλογράμ–
μου καὶ τῶν <β> ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν καὶ πά–
λιν σχοινίων <οθ> γʹ κϛʹ οηʹ ἤγουν γῆς μοδίων <λθ> #1ʹ λθʹ.
Ἄλλως εἰς τὸ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ
ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου.
Πολυπλασίασον τὰ <ιβ> τῆς μιᾶς τῶν βάσεων ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλα–
σιασμὸν τῆς καθέτου ἤγουν ἐπὶ τὰ <μγ> #0ʹ δʹ· γίνονται
<͵ϛτ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <οθ> γʹ λδʹ ρβʹ ἤτοι
μονάδες <οθ> καὶ λεπτὰ πεντηκοστόπρωτα <ιθ> παρ´ ὀλίγον·
τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥομβοειδοῦς παρ–
αλληλογράμμου.
Διῃρημένως δὲ ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὸ #0ʹ τῆς μιᾶς
τῶν βάσεων ἤγουν τὰ <ϛ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>· ταῦ–
τα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς καθέτου ἤγουν
ἐπὶ τὰ <μγ> #0ʹ δʹ· γίνονται <͵αφοε>· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ γίνεται <λθ> #1ʹ ναʹ ἤτοι μονάδες <λθ> καὶ λεπτὰ
ναʹ ναʹ <λε>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου
τριγώνου· ἀμφοτέρων δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου
ῥομβοειδοῦς τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <οθ> καὶ λεπτῶν
ναʹ ναʹ <ιθ>.
Εἰ δὲ καὶ εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ
δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια διαιρεθῇ τὸ τοιοῦτον
ῥομβοειδές, γίνεται ἑνὸς ἑκάστου τμήματος ἡ ἀναμέ–
τρησις οὕτως· ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ ὀρθογωνίου
παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων <δ> #0ʹ, τὰ δὲ <β> σκέλη
κατὰ τὸν προγραφέντα ἀριθμὸν τῆς καθέτου τῶν τρι–
γώνων. τὰ <δ> #0ʹ τῆς μιᾶς τῶν βάσεων πολυπλασιαζό–
μενα ἐφ´ ἑαυτὰ γίνονται <κ> τέταρτον· ταῦτα πάλιν ἐπὶ
τὸν πολυπλασιασμὸν τοῦ ἑνὸς σκέλους ἤγουν ἐπὶ τὰ
<μγ> #0ʹ δʹ γίνονται <ωπϛ> παρὰ ιϛʹ· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ γίνεται <κθ> #0ʹ δʹ ξηʹ ἤτοι μονάδες <κθ> καὶ λεπτὰ
ναʹ ναʹ <λθ>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθο–
γωνίου παραλληλογράμμου. τῶν δύο ὀρθογωνίων τρι–
γώνων τὸ ἐμβαδὸν ἡνωμένως εὑρεῖν. πολυπλασίασον
τὰ <ζ> #0ʹ τῆς βάσεως τοῦ ἑνὸς ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <νϛ> δʹ·
ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς πρὸς ὀρθὰς
ἤγουν ἐπὶ τὰ <μγ> #0ʹ δʹ· γίνονται <͵βυξ> #0ʹ δʹ ηʹ ιϛʹ ἤτοι
μονάδες <͵βυξ> καὶ λεπτὰ ιϛʹ ιϛʹ <ιε>· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ γίνεται <μθ> #0ʹ ιζʹ λδʹ ναʹ ἤτοι μονάδες <μθ> καὶ
λεπτὰ ναʹ ναʹ <λα>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τῶν
δύο ὀρθογωνίων τριγώνων.
Διῃρημένως δὲ πάλιν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου
τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφευρεῖν. πολυπλασίασον τὸ #0ʹ
τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιδ> ιϛʹ· ταῦτα πάλιν
ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς πρὸς ὀρθὰς ἤγουν ἐπὶ
τὰ <μγ> #0ʹ δʹ· γίνονται <χιε> ηʹ ιϛʹ λβʹ ξδʹ ἤτοι μονάδες
<χιε> καὶ λεπτὰ ξδʹ ξδʹ <ιε>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νεται <κδ> #0ʹ δʹ ναʹ ναʹ ξηʹ ἤτοι μονάδες <κδ> καὶ λεπτὰ
πεντηκοστόπρωτα <μα>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν τριῶν
τμημάτων ἤγουν τοῦ ἑνὸς παραλληλογράμμου ὀρθο–
γωνίου καὶ τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβα–
δὸν σχοινίων <οθ> γʹ λδʹ ρβʹ ἤτοι σχοινίων <οθ> καὶ λεπ–
τῶν ναʹ ναʹ <ιθ> [ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός].
Ῥομβοειδές, οὗ τὰ μὲν μείζονα σκέλη ἀνὰ σχοινίων
<ιδ>, τὰ δὲ μικρὰ ἀνὰ σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ διαγώνιος σχοι–
νίων <ιε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω–
σαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι, καὶ ἐγέ–
νοντο δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀξυγώνια, ὧν αἱ μικρότεραι
πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων <ιγ>, αἱ δὲ μείζους ἀνὰ σχοινίων
<ιε>, αἱ δὲ βάσεις ἀνὰ σχοινίων <ιδ>, αἱ δὲ κάθετοι ἀνὰ
σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
τὴν βάσιν ἑκάστου ἐπὶ τὴν κάθετον αὐτοῦ· γίνονται
<ρξη>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <πδ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων
τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου· δῆλον γάρ, ὅτι τοῦ
ὅλου ῥομβοειδοῦς ἔσται τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ρξη>. ἐὰν
δὲ θέλῃς πάλιν καὶ ἑκάστου τμήματος τῶν δύο τρι–
γώνων τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν μει–
ζόνων τὰ <ιβ> τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ <θ> τῆς βάσεως· γί–
νονται <ρη>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <νδ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων ἑκάστου τριγώνου τμῆμα τὸ μεῖζον. τῶν δὲ
ἡττόνων ὁμοίως τὰ <ιβ> τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ <ε> τῆς βά–
σεως· γίνονται <ξ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <λ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων ἑκάστου τριγώνου τὸ ἧττον τμῆμα τοῦ ὅλου
ῥομβοειδοῦς ὄντος δηλαδὴ σχοινίων <ρξη>.
Ἕτερον ῥομβοειδές, οὗ αἱ μὲν μείζονες τῶν πλευ–
ρῶν ἀνὰ ὀργυιῶν <κδ>, αἱ δὲ ἥττονες ἀνὰ ὀργυιῶν <ιε>,
καὶ ἡ μία τῶν διαγωνίων ὡσαύτως· τέμνεται δὲ τὸ
τοιοῦτον κατὰ τὴν ῥηθεῖσαν διαγώνιον καὶ ποιεῖ τρί–
γωνα ἰσοσκελῆ ἀμβλυγώνια <β>· πῶς δὲ χρὴ μετρεῖν τὰ
τοιαῦτα τρίγωνα, ἐν πολλοῖς προγέγραπται, χάριν δὲ
καταλήψεως πλείονος ῥητέον καὶ πάλιν.
Ἔχει ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ἰσοσκελοῦς ἀμβλυγωνίου
τριγώνου ὀργυιὰς <κδ>, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν
ὀργυιὰς <ιε>. αἱ <ιε> μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ´ ἑαυτὰς πο–
λυπλασιαζόμεναι γίνονται <σκε>, καὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως
ἤγουν αἱ <ιβ> ἐφ´ ἑαυτὰς γίνονται <ρμδ>· ταύτας ἄφελε
ἀπὸ τῶν <σκε>· λοιπὰ <πα>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νεται <θ>· τοσούτων ὀργυιῶν ἔσται ἡ κάθετος. αὗται
πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ
τὰς <ιβ> ὀργυιὰς γίνονται <ρη>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς
ἑκάστου τριγώνου ὀργυιῶν <ρη>. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν
τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς τὸ ἐμβαδὸν ὀρ–
γυιῶν <σιϛ> ἤτοι γῆς μοδίου ἑνὸς λιτρῶν τριῶν καὶ ὀρ–
γυιᾶς μιᾶς.
Ῥομβοειδὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα τρία
ἤγουν εἰς ἓν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς <β>
τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια καὶ ταῦτα. ἡ κορυφὴ καὶ
ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου ἀνὰ ὀρ–
γυιῶν <ιβ>, τὰ δὲ δύο σκέλη ἀνὰ ὀργυιῶν <θ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὰ <ιβ> τῆς βάσεως
ἐπὶ τὰ <θ> τοῦ ἑνὸς σκέλους· γίνονται <ρη>· καὶ ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν αὐτοῦ ὀργυιῶν <ρη>. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου τῶν
ὀρθογωνίων τριγώνων ὀργυιῶν <ιβ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς
ὀργυιῶν <θ>, καὶ ἡ ὑποτείνουσα ὀργυιῶν δεκαπέντε·
εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τούτων. λαβὲ τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως· γίνονται <ϛ>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <θ> τῆς
πρὸς ὀρθάς· γίνονται <νδ>· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τρι–
γώνου τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν <νδ>. ὁμοῦ τῶν τριῶν τμη–
μάτων τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν <σιϛ> ἤτοι γῆς μοδίου ἑνὸς
λιτρῶν τριῶν καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς.
{Περὶ τῶν λοιπῶν τετραπλεύρων σχημάτων τῶν
καὶ τραπεζίων καλουμένων.}
Τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μία τῶν καθέτων
ἤγουν τῶν πλαγίων πλευρῶν σχοινίων <η>, ἡ δὲ ἑτέρα
σχοινίων <ϛ>, καὶ ἡ βάσις σχοινίων <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδόν. σύνθες τὰ <η> καὶ τὰ <ϛ>· γίνονται <ιδ>· τούτων
τὸ #0ʹ· γίνονται <ζ>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <ι> τῆς
βάσεως· γίνονται <ο>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθο–
γωνίου τραπεζίου σχοινίων <ο>. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται
<λε>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <λε>.
Τὸ τοιοῦτον τραπέζιον διαιρεῖται καὶ εἰς παραλλη–
λόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον ὀρθογώνιον.
ἡ δὲ μέτρησις ἑκάστου τούτων ἔχει οὕτως· αἱ δύο τῶν
καθέτων τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων <ϛ>, αἱ
δὲ <β> τῶν βάσεων ἀνὰ σχοινίων <ι>· τὰ <ι> τῆς μιᾶς
τῶν βάσεων ἐπὶ τὰ <ϛ> τῆς μιᾶς τῶν καθέτων πολυ–
πλασιαζόμενα γίνονται <ξ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
παραλληλογράμμου σχοινίων <ξ>. ἡ βάσις τοῦ ὀρθο–
γωνίου τριγώνου σχοινίων <ι>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ
σχοινίων <β>. τὸ #0ʹ τῆς βάσεως γίνεται σχοινία <ε>· ταῦτα
ἐπὶ τὰ <β> τῆς πρὸς ὀρθὰς πολυπλασιαζόμενα γίνονται
<ι>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων <ι>. ὁμοῦ· καὶ
πάλιν τῶν δύο τμημάτων ἤγουν τοῦ παραλληλογράμ–
μου καὶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ο>. ὧν
#0ʹ γίνεται <λε>· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ὀρθο–
γωνίου τραπεζίου γῆς μοδίων <λε>.
Ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ ὄρθιος πλευρὰ
ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων <ιβ>, ἡ κορυφὴ σχοινίων <η>,
ἡ δὲ βάσις σχοινίων <ιϛ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν <η> καὶ <ιϛ>· γίνονται
<κδ>· ὧν #0ʹ γίνεται <ιβ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς πρὸς ὀρθὰς
πολυπλασιαζόμενα γίνονται <ρμδ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν
αὐτοῦ σχοινίων <ρμδ>. ὧν #0ʹ γίνεται <οβ>· καὶ ἔστιν ὁ
τόπος τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου μοδίων <οβ>.
Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς
παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον σκα–
ληνὸν ὀρθογώνιον. ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ παρ–
αλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων <η>, τὰ δὲ <β> σκέλη ἀνὰ
σχοινίων <ιβ>. τὰ <η> τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ <ιβ> τοῦ ἑνὸς
σκέλους πολυπλασιαζόμενα γίνονται <Ϟϛ> καὶ δηλοῦσι τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου. ἡ βάσις τοῦ ὀρθογω–
νίου τριγώνου σχοινίων <η>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς τούτου ἤγουν
ἡ κάθετος σχοινίων <ιβ>· τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ <δ>
ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται <μη>,
καὶ δηλοῦσι καὶ ταῦτα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <ρμδ>. ὧν τὸ #0ʹ ἐστιν ὁ μοδισμός.
Τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὀρθο–
γωνίου τριγώνου.
Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς
δύο τρίγωνα σκαληνά, ὧν τὸ ἓν ὀρθογώνιον, τὸ δὲ
ἕτερον ἀμβλυγώνιον. ἡ βάσις τοῦ ὀρθογωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <ιϛ>, ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ σχοινίων <ιβ>
καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων <κ>. τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν
τὰ <η> πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς πρὸς ὀρθὰς γί–
νονται <Ϟϛ> καὶ δηλοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου
τριγώνου. ἡ ἐλάσσων πλευρὰ τοῦ ἀμβλυγωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <η>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ξδ>· ἡ
βάσις σχοινίων <κ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <υ>· ὁ δὲ
πολυπλασιασμὸς τῆς ἑτέρας πλευρᾶς <ση>. εὑρεῖν αὐτοῦ
τὴν κάθετον. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν
καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἤγουν τὰ <υ> καὶ τὰ <ση>·
γίνονται <χη>· ἀφ´ ὧν ὑπέξελε τὸν τῆς ἑτέρας πλευρᾶς
πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ <ξδ>· λοιπὰ <φμδ>· ὧν τὸ #0ʹ·
γίνονται <σοβ>. ταῦτα μεριζόμενα παρὰ τὰ <κ> τῆς βάσεως
γίνονται <ιγ> #0ʹ ιʹ· ἔσται οὖν ἡ μείζων βάσις σχοινίων
τοσούτων. ὁμοίως σύνθες τὰ <υ> τῆς βάσεως καὶ τὰ <ξδ>
τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς· γίνονται <υξδ>· ἀπὸ τούτων
ἄφελε τὰ <ση> τῆς ἑτέρας πλευρᾶς· λοιπὰ <σνϛ>· ὧν #0ʹ
γίνεται <ρκη>. ταῦτα μεριζόμενα ὁμοίως παρὰ τὰ <κ> τῆς
βάσεως γίνονται <ϛ> γʹ ιεʹ· ἔσται καὶ ἡ ἐλάττων βάσις
σχοινίων <ϛ> καὶ εʹ εʹ <β>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
μονάδες <μ> εʹ εʹ <δ> καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ· ταῦτα ἆρον
ἀπὸ τῶν <ξδ>· λοιπαὶ μονάδες <κγ> καὶ εʹ τὸ εʹ· ὧν πλευ–
ρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <δ> #0ʹ εʹ ιʹ· τοσούτων σχοινίων
ἡ κάθετος. πάλιν τὰ <ιγ> #0ʹ ιʹ ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται μο–
νάδες <ρπδ> εʹ εʹ <δ> καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ· ταῦτα ἀφαίρει
ἀπὸ τῶν <ση>· λοιπαὶ μονάδες <κγ> καὶ εʹ τὸ εʹ· ὧν πλευ–
ρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὁμοίως <δ> #0ʹ εʹ ιʹ· ἔσται οὖν
ἡ κάθετος σχοινίων τοσούτων. τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ εὑ–
ρεῖν. λαβὲ τῆς βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται <ι>· ταῦτα πο–
λυπλασίασον ἐπὶ τὰ <δ> #0ʹ εʹ ιʹ τῆς καθέτου· γίνονται
<μη>· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου
σχοινίων <μη>. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων τὸ ἐμ–
βαδὸν σχοινίων <ρμδ>. ὧν #0ʹ γίνεται <οβ>· καὶ ἔστιν ὁ
τόπος τοῦ παντὸς ὀρθογωνίου τραπεζίου μοδίων <οβ>.
Τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀμ–
βλυγωνίου τριγώνου.
Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς
τρίγωνα ἕτερα δύο, ὧν τὸ ἓν ἰσοσκελὲς ὀξυγώνιον, τὸ
δὲ ἕτερον ὀρθογώνιον σκαληνόν. ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκε–
λοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων <ιϛ>, ἑκάστη δὲ τῶν
ἴσων πλευρῶν δυνάμει <ση>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον.
λαβὲ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως· γίνονται <η>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <ξδ>· τὰ <ξδ> ἀφαίρει ἀπὸ τῶν <ση>· λοιπὰ <ρμδ>·
ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <ιβ>· τοσούτων σχοινίων
ἡ κάθετος. ταῦτα ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ
<η> πολυπλασιαζόμενα γίνονται <Ϟϛ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων <Ϟϛ>. ὧν
τὸ #0ʹ <μη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων. ἡ κορυφὴ
τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων <η>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς
τούτου ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων <ιβ>· τούτων τὸ #0ʹ·
γίνονται <ϛ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <η> τῆς κορυφῆς πολυπλασια–
ζόμενα γίνονται <μη>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ
ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων <μη>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται
<κδ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων. ὁμοῦ· καὶ πάλιν
ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ρμδ>.
ὧν #0ʹ γίνεται <οβ>· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ὀρ–
θογωνίου τραπεζίου καὶ οὕτως μοδίων <οβ>.
Τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὀρθο–
γωνίου τριγώνου.
Ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ μὲν μεῖζον
σκέλος σχοινίων <ι>, τὸ δὲ ἧττον σχοινίων <ε>, ἡ δὲ κο–
ρυφὴ σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες
τὰ δέκα καὶ τὰ πέντε· γίνονται <ιε>· ὧν τὸ ἥμισυ· γί–
νονται ἑπτὰ ἥμισυ· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιβ> τῆς κορυφῆς· γί–
νονται ἐνενήκοντα· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ
τραπεζίου σχοινίων ἐνενήκοντα. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται
<με>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς
τμήματα δύο ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον
καὶ εἰς τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον. αἱ δύο τῶν
τοῦ μήκους τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων δώ–
δεκα, αἱ δὲ δύο τῶν τοῦ πλάτους ἀνὰ σχοινίων <ε>. τὰ
<ιβ> τῆς μιᾶς τῶν τοῦ μήκους ἐπὶ τὰ <ε> τῆς μιᾶς τῶν
τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμενα γίνονται ἑξήκοντα· καὶ
ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων ἑξή–
κοντα. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται τριάκοντα· καὶ ἔστι
γῆς μοδίων τριάκοντα. ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <ιβ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ ἤγουν ἡ
κάθετος σχοινίων <ε>. τὸ ἥμισυ τῆς κορυφῆς ἤγουν τὰ <ϛ>
πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ πέντε τῆς πρὸς ὀρθὰς γί–
νονται <λ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων <λ>. ὧν
ἥμισυ γίνεται δεκαπέντε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων δεκα–
πέντε. ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων τοῦ
τε παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
σχοινίων <Ϟ>. ὧν ἥμισυ γίνεται τεσσαρακονταπέντε· καὶ
ἔστιν ὁ τόπος τοῦ ὅλου τραπεζίου μοδίων <με>.
Τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ τριγώνου.
Ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ μὲν μεῖζον
σκέλος ὀργυιῶν <κδ>, τὸ δὲ ἧττον ὀργυιῶν <ιβ>, ἡ δὲ
κορυφὴ ὀργυιῶν <λε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύν–
θες τὰς <κδ> καὶ τὰς <ιβ>· γίνονται <λϛ>· ὧν #0ʹ γίνεται <ιη>·
ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς <λε> τῆς κορυφῆς· γίνον–
ται <χλ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου ὀρ–
γυιῶν <χλ>. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται <γ> ηʹ μʹ· καὶ
ἔστι γῆς μοδίων <γ> καὶ λιτρῶν <ϛ>.
Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς
τμήματα δύο ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον
καὶ εἰς τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον. αἱ δύο τοῦ
πλάτους τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ ὀργυιῶν <ιβ>, αἱ
δὲ δύο τοῦ μήκους ἀνὰ ὀργυιῶν <λε>. αἱ <ιβ> τῆς μιᾶς
τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὰς <λε> τῆς μιᾶς
τοῦ μήκους γίνονται <υκ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
παραλληλογράμμου ὀργυιῶν <υκ>. ὧν μέρος διακο–
σιοστὸν γίνεται <β> ιʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <β> καὶ λι–
τρῶν <δ>. ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν
<λε>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ ἤγουν ἡ κάθετος ὀργυιῶν
<ιβ>. τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται <ϛ>· αἱ <ϛ> ἐπὶ τὰ <λε> τῆς κο–
ρυφῆς πολυπλασιαζόμεναι γίνονται <σι>· καὶ ἔστι τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν <σι>.
ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται ἓν εἰκοστόν· καὶ ἔστι
γῆς μοδίου ἑνὸς καὶ λιτρῶν <β>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμ–
φοτέρων τῶν τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν <χλ>. ὁ δὲ
μοδισμὸς τούτου μοδίων <γ> καὶ λιτρῶν <ϛ>· αἱ γὰρ <χ>
ὀργυιαὶ ὑπεξαιροῦνται ἐπὶ τῶν διακοσίων καὶ ποσοῦν–
ται εἰς γῆν μοδίων <γ>, αἱ δὲ <λ> ὑπεξαιροῦνται ἐπὶ τῶν
<ε> καὶ ποσοῦνται καὶ αὐταὶ εἰς γῆν λιτρῶν <ϛ>.
Τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ τριγώνου.
Τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κορυφὴ σχοινίων <δ>, ἡ
δὲ βάσις σχοινίων <ιϛ>, καὶ ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν
σχοινίων <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ἄφελε κορυφὴν
ἀπὸ βάσεως ἤγουν <δ> ἀπὸ τῶν <ιϛ>· λοιπὰ <ιβ>· ὧν τὸ #0ʹ·
γίνονται <ϛ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>· καὶ τὰ <ι> τῆς
μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ἐξ ὧν λαβὲ
τὰ <λϛ>· λοιπὰ <ξδ>. ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ <η>· καὶ ἔστιν
ἡ κάθετος τοσούτων σχοινίων. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίει οὕτως· σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν <δ> καὶ
<ιϛ>· γίνονται <κ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <ι>· ταῦτα πολυπλα–
σιαζόμενα ἐπὶ τὰ <η> τῆς καθέτου γίνονται <π>· καὶ ἔστι
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ἰσοσκελοῦς τραπεζίου σχοινίων
<π>. ὧν #0ʹ γίνεται <μ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μ>.
Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμή–
ματα τρία ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον
καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια καὶ ταῦτα.
ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοι–
νίων <δ>, τὰ δὲ <β> σκέλη ἀνὰ σχοινίων <η>. εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὰ <δ> τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ
<η> τοῦ μήκους· γίνονται <λβ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
παραλληλογράμμου σχοινίων <λβ>. ὧν #0ʹ γίνεται <ιϛ>· καὶ
ἔστι γῆς μοδίων <ιϛ>. ἡ βάσις ἑκάστου ὀρθογωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <ϛ>, ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <η>. τὸ #0ʹ
τῆς βάσεως γίνεται <γ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <η> τῆς καθέτου
πολυπλασιαζόμενα γίνονται <κδ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν
ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων <κδ>. ὧν
#0ʹ γίνεται <ιβ>· καὶ ἔστιν ἕκαστον τούτων γῆς μοδίων
<ιβ>. ὁμοῦ τῶν τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ παραλληλο–
γράμμου καὶ τῶν δύο τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν καὶ πάλιν
σχοινίων <π>. ὧν #0ʹ γίνεται <μ>· καὶ ἔστι γῆς ὁ τόπος
τοῦ ὅλου ἰσοσκελοῦς τραπεζίου μοδίων <μ>.
Ἕτερον τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κορυφὴ σχοι–
νίων <β>, ἡ βάσις σχοινίων <ιη>, καὶ τὰ δύο σκέλη ἀνὰ
σχοινίων <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ἄφελε κορυ–
φὴν ἀπὸ βάσεως ἤγουν <β> ἀπὸ τῶν <ιη>· λοιπὰ <ιϛ>· ὧν
#0ʹ γίνεται <η>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ξδ>· καὶ τὰ <ι>
τοῦ σκέλους ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ <ξδ>·
λοιπὰ <λϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ <ϛ>· τοσούτων σχοι–
νίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. σύνθες κο–
ρυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν <β> καὶ <ιη>· γίνονται <κ>· ὧν τὸ
#0ʹ <ι>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ϛ> τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα
γίνονται <ξ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ἰσοσκελοῦς
τραπεζίου σχοινίων <ξ>. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <λ>· καὶ ἔστι
γῆς μοδίων <λ>.
Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμή–
ματα τρία ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον
καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια. ἡ κορυφὴ
καὶ ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων <β>,
τὰ δὲ <β> σκέλη ἀνὰ σχοινίων <ϛ>. τὰ <β> τοῦ πλάτους
ἐπὶ τὰ <ϛ> τοῦ μήκους πολυπλασιαζόμενα γίνονται <ιβ>·
καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων
<ιβ>. τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται <ϛ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ϛ>.
ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων
ὀκτώ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων <ϛ>.
τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ <δ> ἐπὶ τὰ <ϛ> τῆς καθέτου
πολυπλασιαζόμενα γίνονται <κδ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν
ἑκάστου τριγώνου σχοινίων <κδ>. ὧν #0ʹ <ιβ>· καὶ ἔστιν
ἕκαστον αὐτῶν γῆς μοδίων <ιβ>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν
τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τῶν
δύο τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ξ>. ὧν τὸ #0ʹ <λ>·
καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ἰσοσκελοῦς τραπεζίου
μοδίων <λ>.
Ἕτερον τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κορυφὴ σχοι–
νίων <η>, ἡ βάσις σχοινίων <λη>, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοι–
νίων <ιζ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ἄφελε ὁμοίως
κορυφὴν ἀπὸ βάσεως ἤγουν <η> ἀπὸ τῶν <λη>· λοιπὰ <λ>·
ὧν #0ʹ <ιε>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σκε>· καὶ τὰ <ιζ>
τοῦ ἑνὸς σκέλους ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σπθ>· ἐξ ὧν
λαβὲ τὰ <σκε>· λοιπὰ <ξδ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νεται <η>· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβα–
δὸν εὑρεῖν. σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν <η> καὶ
<λη>· γίνονται <μϛ>· ὧν #0ʹ <κγ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <η> τῆς καθ–
έτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται <ρπδ>· καὶ ἔστι τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου σχοινίων <ρπδ>. ὧν #0ʹ
γίνεται <Ϟβ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <Ϟβ>.
Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμή–
ματα τρία ἤγουν εἰς τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρ–
θογώνιον καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια.
αἱ τέσσαρες πλευραὶ τοῦ τετραγώνου ἀνὰ σχοινίων <η>.
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτὰ πολυπλασιαζόμενα γίνονται <ξδ>· καὶ
ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου σχοινίων <ξδ>. ὧν #0ʹ
γίνεται <λβ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <λβ>. ἡ βάσις ἑνὸς
ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων <ιε>, ἡ δὲ πρὸς
ὀρθὰς ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων <η>. ὧν #0ʹ γίνεται <δ>·
ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιε> τῆς βάσεως πολυπλασιαζόμενα γίνον–
ται <ξ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου ὀρθογωνίου τρι–
γώνου σχοινίων <ξ>. ὧν #0ʹ γίνεται <λ>· καὶ ἔστιν ἕκαστον
τούτων γῆς μοδίων <λ>. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν τριῶν
τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <ρπδ>. ὧν #0ʹ γίνεται
<Ϟβ>· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ἰσοσκελοῦς τραπε–
ζίου γῆς μοδίων <Ϟβ>.
Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς ἕτερα
τραπέζια ὀρθογώνια. ἡ κορυφὴ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθο–
γωνίου τραπεζίου ἀνὰ σχοινίων <δ>, ἡ δὲ βάσις σχοι–
νίων <ιθ>, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀμφοτέρων ἤγουν ἡ κάθ–
ετος σχοινίων <η>· εὑρεῖν ἑκάστου τούτων τὸ ἐμβαδόν.
σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν <δ> καὶ <ιθ>· γίνονται
<κγ>· ὧν #0ʹ γίνεται <ια> #0ʹ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ὀκτὼ τῆς καθ–
έτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται <Ϟβ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμ–
βαδὸν ἑκάστου ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων <Ϟβ>. ὧν
ἥμισυ γίνεται <μϛ>· καὶ ἔστιν ἕκαστον τούτων γῆς μο–
δίων <μϛ>, τοῦ ὅλου ἰσοσκελοῦς τραπεζίου ὄντος γῆς
μοδίων <Ϟβ>.
Τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀνὰ σχοι–
νίων <ζ>, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ βάσις σχοι–
νίων <λζ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω–
σαν κάθετοι ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ
ἐγένετο τετράγωνον ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον,
οὗ αἱ παράλληλοι πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων <ιγ> καὶ αἱ
λοιπαὶ ἀνὰ σχοινίων <ζ>, καὶ δύο τρίγωνα ὀρθογώνια,
ὧν αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀνὰ σχοινίων ἑπτά, αἱ δὲ βάσεις
ἀνὰ σχοινίων <ιβ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· τὰ <ιγ> τῆς κορυφῆς τοῦ παραλληλογράμμου ἐπὶ
τὰ <ζ> τῆς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ γίνονται <Ϟα>· τὰ δὲ <ιβ> τῆς
βάσεως ἑκάστου τριγώνου ἐπὶ τὰ <ζ> τῆς πρὸς ὀρθὰς
αὐτοῦ γίνονται <πδ>· ὧν #0ʹ γίνεται <μβ>· ἔσται οὖν τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων <Ϟα>, τῶν δὲ
δύο ὀρθογωνίων τριγώνων σχοινίων <πδ>. σύνθες τοίνυν
τὰ <Ϟα> καὶ τὰ <πδ>· γίνονται <ροε>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ τραπεζίου σχοινίων <ροε>. ὧν #0ʹ <πζ> #0ʹ· καὶ ἔστι γῆς
μοδίων <πζ> #0ʹ.
Ἕτερον τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοι–
νίων <λα>, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων <ιθ>, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ
σχοινίων <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ
ἐγένετο τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ
δύο τρίγωνα ὀρθογώνια. καὶ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώ–
νου, τουτέστιν ἡ βάσις, ἀπὸ σχοινίων <λα>· λοιπὰ σχοινία
<ιβ>· ταῦτα διάνεμε ταῖς <β> βάσεσι τῶν τριγώνων ὀρθο–
γωνίων, ὡς εἶναι ἑκάστου αὐτῶν τὴν βάσιν σχοινίων
<ϛ>. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν βάσις σχοινίων <ϛ> καὶ ἡ ὑποτεί–
νουσα σχοινίων <ι>, ἔσται καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <η>
καὶ τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου ἀπὸ τοῦ προκειμέ–
νου ὑποδείγματος σχοινίων <κδ>. τοῦ μέντοι τετραγώνου
τὰ <ιθ> τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ <η> τῆς πρὸς ὀρθὰς γίνονται
<ρνβ>· ὡς εἶναι τὸ ὅλον τραπέζιον σχοινίων <σ>. ἐὰν δὲ
καὶ ἄλλως θέλῃς γνῶναι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμ–
βαδόν, ποίει οὕτως· σύνθες τὰ <λα> τῆς βάσεως ὅλης
καὶ τὰ <ιθ> τῆς κατὰ τὴν κορυφήν· γίνονται ὁμοῦ <ν>·
ὧν #0ʹ γίνεται <κε>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <η> τῆς καθέτου· γίνον–
ται <σ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου
τραπεζίου. ὧν #0ʹ γίνεται ἑκατόν· καὶ ἔστι γῆς μοδίων
τοσούτων.
Τραπέζιον ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων <ϛ>,
ἡ δὲ μικροτέρα πλευρὰ σχοινίων <ε>, ἡ δὲ μείζων σχοι–
νίων <ιβ>, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων <ιγ>, καὶ ἡ διαγώνιος
σχοινίων <ε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ ἐγένοντο δύο τρί–
γωνα ὀρθογώνια, ὧν αἱ μὲν βάσεις ἀνὰ σχοινίων τριῶν,
αἱ δὲ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων <ε>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς
σχοινίων <δ>. ἔσται οὖν τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο τριγώ–
νων ὀρθογωνίων, ὡς ἐκ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος,
σχοινίων <ιβ>. τὸ δὲ ἕτερον τρίγωνον ἔσχε τὰς τρεῖς
πλευρὰς ἀνίσους ὡσανεὶ σκαληνόν· ἡ μὲν γὰρ ἀμβλεῖα
πλευρὰ σχοινίων <ιβ>, ἡ δὲ λοξὴ σχοινίων <ιγ>, ἡ δὲ λοιπὴ
σχοινίων πέντε· εὑρεῖν καὶ αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· σύνθες τὰς τρεῖς πλευρὰς τὰ <ιβ>, τὰ <ιγ> καὶ τὰ <ε>·
γίνονται ὁμοῦ <λ>· ὧν τὸ #0ʹ <ιε>. ἑκάστην οὖν πλευρὰν
τῶν <ιε> παρεκβαλὼν οὕτως· τὰ <ιβ>, λοιπὰ <γ>, τὰ <ιγ>,
λοιπὰ <β>, τὰ <ε>, λοιπὰ <ι>· σύνθες ὁμοῦ τὰ <γ>, τὰ <β>, τὰ <ι>·
γίνονται <ιε>· ταῦτα ἐπὶ τὴν πλείονα μονάδα κατὰ τὸ
προτεθὲν ὑπόδειγμα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ <β>· γίνονται <λ>·
καὶ τὰ <λ> ἐπὶ τὰ <γ>· γίνονται <Ϟ>· καὶ τὰ <Ϟ> ἐπὶ τὰ <ι>·
γίνονται <ϡ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <λ>· τοσού–
των σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ τοιούτου τριγώνου·
καὶ ἐπὶ παντὸς τριγώνου ἡ μέθοδος τοῦ σκαληνοῦ
ἰσχύει. ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τραπεζίου ὀξυ–
γωνίου ὁμοῦ σχοινίων <μβ>. ὧν #0ʹ γίνεται <κα>· καὶ ἔστι
γῆς μοδίων τοσούτων.
Τραπέζιον ἀμβλυγώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων
<ιϛ>, ἡ δὲ μία πλευρὰ ἡ περὶ τὴν ἀμβλεῖαν σχοινίων <ι>,
ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων <ζ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων
<ιζ>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω παράλληλος
ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης, ἥτις ἀχθεῖσά ἐστι σχοινίων <ι>.
ἐπεὶ οὖν ἡ κορυφή ἐστι σχοινίων <ζ>, ἔσται αὐτῆς καὶ
ἡ παράλληλος σχοινίων <ζ>· ὡς εἶναι τὰ λοιπὰ τῆς γραμ–
μῆς τῆς βάσεως σχοινίων <θ>· καὶ ἐγένετο τρίγωνον ἀμ–
βλυγώνιον, οὗ ἡ περὶ τὴν ἀμβλεῖαν πλευρὰ σχοινίων
<ι> καὶ ἡ βάσις σχοινίων <θ> καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοι–
νίων <ιζ>. ἐπιβαλλομένης δὲ τῇ βάσει εὐθείας εὑρίσκεται
ἡ κάθετος ἀπὸ τοῦ ὑποδείγματος τοῦ τριγώνου ἀμ–
βλυγωνίου σχοινίων <η>. μετρηθήσεται τοίνυν οὕτως·
σύνθες τὴν βάσιν τοῦ ὅλου τραπεζίου, τουτέστι τὰ <ιϛ>,
καὶ τὰ <ζ> τοῦ τραπεζίου τῆς κορυφῆς· γίνονται <κγ>· ὧν
τὸ #0ʹ· γίνονται <ια> #0ʹ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ὀκτὼ τῆς πρὸς ὀρ–
θάς· γίνονται <Ϟβ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβα–
δόν. ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται <μϛ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μϛ>.
Τραπέζιον ἄνισον, οὗ ἡ μὲν τῶν πλευρῶν σχοι–
νίων <ε>, ἡ δὲ <ϛ>, ἡ δὲ <η>, ἡ δὲ <θ>, μία δὲ τῶν διαγω–
νίων <ζ>· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου. τοῦτο δὲ
φανερόν· γεγόνασι γὰρ δύο τρίγωνα οἱαδήποτε τὰ ὑπὸ
τῆς διαγωνίου καὶ τῶν πλευρῶν περιεχόμενα, ὧν ἡ
μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ κορυφὴ τοῦ ἐλάσσονος τριγώνου
σχοινίων <ε>, ἡ μικροτέρα πλευρὰ σχοινίων <ϛ>, ἡ δὲ μεί–
ζων σχοινίων <ζ> ἤγουν· ἡ διαγώνιος τοῦ τραπεζίου·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες τὰς τρεῖς πλευρὰς
ἤγουν τὰ <ε>, τὰ <ϛ> καὶ τὰ <ζ>· γίνονται <ιη>· ὧν ἥμισυ
γίνεται <θ>· ἄφελε ἰδίᾳ καὶ ἀνὰ μέρος ἑκάστης πλευρᾶς
τὸν ἀριθμὸν οὕτως· ἤγουν ἄφελε τῶν <θ> <ε>, καὶ περι–
λιμπάνονται <δ>· ὁμοίως ἄφελε τῶν αὐτῶν <ϛ>, καὶ περι–
λιμπάνονται <γ>· ὡσαύτως ἄφελε τῶν αὐτῶν <ζ>, καὶ περι–
λιμπάνονται <β>. εἶτα πολυπλασίασον τὰ <β> ἐπὶ τὰ <γ>·
γίνονται <ϛ>· ταῦτα ὁμοίως ἐπὶ τὰ <δ>· γίνονται <κδ>· ταῦτα
πάλιν ἐπὶ τὰ <θ>· γίνονται <σιϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
<ιδ> #1ʹ λγʹ ἤτοι μονάδες <ιδ> καὶ λεπτὰ λγʹ λγʹ <κγ>. ὧν
ὁ πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· <ιδ> <ιδ> <ρϞϛ>, καὶ <ιδ> τὰ
<κγ> λγʹ λγʹ <τκβ> λγʹ λγʹ, καὶ πάλιν τὰ <κγ> λγʹ λγʹ τῶν
<ιδ> μονάδων <τκβ> λγʹ λγʹ, καὶ <κγ> λγʹ λγʹ τῶν <κγ> λγʹ λγʹ
<φκθ> λγʹ λγʹ τῶν λγʹ λγʹ γινόμενα καὶ ταῦτα λγʹ λγʹ <ιϛ>
καὶ λγʹ τὸ λγʹ· ὁμοῦ μονάδες <ρϞϛ> λγʹ λγʹ <χξ> καὶ λγʹ
τὸ λγʹ· τὰ <χξ> λγʹ λγʹ μεριζόμενα παρὰ τὰ <λγ> γίνονται
μονάδες <κ> καὶ συντίθενται ταῖς λοιπαῖς <ρϞϛ> μονάσι,
καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγό–
μενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας <σιϛ> καὶ λγʹ τὸ λγʹ, ὧν
πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <ιδ> #1ʹ λγʹ, καθὼς εἴρηται·
τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἥττονος τριγώνου.
ἡ βάσις τοῦ μείζονος τριγώνου σχοινίων <θ>, ἡ μείζων
πλευρὰ σχοινίων ὀκτώ, ἡ δὲ ἐλάττων σχοινίων <ζ> ἤγουν
ἡ διαγώνιος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες ὁμοίως
τοὺς ἀριθμοὺς τῶν τριῶν πλευρῶν ἤγουν <ζ>, <η> καὶ <θ>·
γίνονται <κδ>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ιβ>· ἀπὸ τούτων
ἄφελε μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς τὸν ἀριθμὸν οὕτως· ἤγουν
ἄφελε τὰ <ζ> τῆς μιᾶς· λοιπὰ <ε>· ὁμοίως καὶ τὰ <η> τῆς
ἑτέρας· λοιπὰ <δ>· ὡσαύτως καὶ τὰ <θ> τῆς ἄλλης· λοιπὰ <γ>.
εἶτα πολυπλασίασον τὰ <γ> ἐπὶ τὰ <δ>· γίνονται <ιβ>· ὁμοίως
καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ <ε>· γίνονται <ξ>· ὡσαύτως καὶ τὰ <ξ> ἐπὶ
τὰ <ιβ> <ψκ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <κϛ> #0ʹ γʹ ὡς
ἔγγιστα ἤτοι μονάδες <κϛ> καὶ ϛʹ ϛʹ <ε>. ὧν ὁ πολυπλα–
σιασμὸς γίνεται οὕτως· εἰκοσάκις καὶ ἑξάκις αἱ <κϛ> μο–
νάδες γίνονται <χοϛ> μονάδες, καὶ εἰκοσάκις καὶ ἑξάκις
τὰ πέντε ἕκτα <ρλ> ϛʹ ϛʹ, καὶ πάλιν <ε> ϛʹ ϛʹ τῶν <κϛ> μο–
νάδων <ρλ> ϛʹ ϛʹ, καὶ <ε> ϛʹ ϛʹ τῶν <ε> ϛʹ ϛʹ <κε> ϛʹ ϛʹ τῶν
ϛʹ ϛʹ γινόμενα καὶ ταῦτα ϛʹ ϛʹ τέσσαρα καὶ ϛʹ τὸ ϛʹ·
ὁμοῦ μονάδες <χοϛ> ϛʹ ϛʹ <σξδ> καὶ ϛʹ τὸ ϛʹ· τὰ <σξδ> ϛʹ ϛʹ
μεριζόμενα παρὰ τὰ <ϛ> γίνονται μονάδες <μδ> καὶ προσ–
τίθενται ταῖς λοιπαῖς <χοϛ> μονάσι, καὶ συμποσοῦται
ὁ ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος
ἀριθμὸς εἰς μονάδας <ψκ> καὶ ϛʹ τὸ ϛʹ, ὧν ἡ πλευρὰ
γίνεται <κϛ> #0ʹ γʹ, καθὼς εἴρηται· τοσούτων σχοινίων
τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ τοιούτου τριγώνου. ὁμοῦ ἀμφο–
τέρων τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμ–
βαδὸν σχοινίων <μα> #0ʹ λγʹ. ὧν ἥμισυ γίνεται <κ> #0ʹ δʹ
ξϛʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων εἴκοσι λιτρῶν <λ> #0ʹ ιαʹ ξϛʹ.
Ἕτερον τραπέζιον ἄνισον, οὗ ἡ μὲν τῶν πλευρῶν
σχοινίων <γ>, ἡ δὲ <ϛ>, ἡ δὲ <δ>, ἡ δὲ <ζ>, μία δὲ τῶν δια–
γωνίων <η>. διαιρούμενον τοίνυν καὶ τὸ τοιοῦτον κατὰ
τὴν ῥηθεῖσαν διαγώνιον ποιεῖ τρίγωνα σκαληνὰ δύο,
ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· τοῦ ἄνωθεν τριγώνου ἡ μὲν
τῶν πλευρῶν σχοινίων <γ>, ἡ δὲ <ϛ>, ἡ δὲ ἤγουν ἡ διαγώ–
νιος τοῦ τραπεζίου σχοινίων <η>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμ–
βαδόν. σύνθες τοὺς ἀριθμοὺς τῶν τριῶν πλευρῶν
ἤγουν <ϛ>, <γ>, <η>· γίνονται <ιζ>· τούτων λαβὲ μέρος ἥμισυ·
γίνονται <η> #0ʹ· ἀπὸ τούτων ὑπέξελε τὰ <γ> τῆς μιᾶς
πλευρᾶς, καὶ περιλιμπάνονται <ε> #0ʹ· ὁμοίως ὑπέξελε τῶν
αὐτῶν τὰ <ϛ> τῆς ἑτέρας πλευρᾶς, καὶ περιλιμπάνονται
<β> #0ʹ· ὡσαύτως ὑπέξελε καὶ τὰ <η> τῆς λοιπῆς, καὶ περι–
λιμπάνεται #0ʹ. εἶτα πολυπλασίασον τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὰ
<β> #0ʹ· γίνεται <α> δʹ· ὁμοίως καὶ τὸ <α> δʹ ἐπὶ τὰ <ε> #0ʹ·
γίνονται <ϛ> #0ʹ δʹ ηʹ· ὡσαύτως καὶ τὰ <ϛ> #0ʹ δʹ ηʹ ἐπὶ τὰ
<η> #0ʹ· γίνονται <νη> δʹ ηʹ ιϛʹ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
γίνεται <ζ> #1ʹ μετὰ διαφόρου· τοσούτων σχοινίων τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τριγώνου. τοῦ κάτωθεν τρι–
γώνου αἱ πλευραὶ ἡ μὲν σχοινίων <δ>, ἡ δὲ σχοινίων <ζ>,
ἡ δὲ <η> ἤγουν ἡ διαγώνιος τοῦ τραπεζίου· εὑρεῖν καὶ
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες ὁμοίως τοὺς ἀριθμοὺς τῶν
τριῶν πλευρῶν ἤγουν <δ>, <ζ> καὶ <η>· γίνονται <ιθ>· ὧν #0ʹ
γίνεται <θ> #0ʹ· ἀπὸ τούτων ἀφαίρει τὰ <δ> τῆς μιᾶς πλευ–
ρᾶς, καὶ περιλιμπάνονται <ε> #0ʹ· ὁμοίως καὶ τὰ <ζ> τῆς
ἑτέρας, καὶ περιλιμπάνονται <β> #0ʹ· ὡσαύτως καὶ τὰ <η>
τῆς ἑτέρας ἤγουν τῆς διαγωνόυ, καὶ περιλιμπάνεται
<α> #0ʹ. εἶτα πολυπλασίασον τὸ <α> #0ʹ ἐπὶ τὰ <β> #0ʹ· γίνον–
ται <γ> #0ʹ δʹ· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ε> #0ʹ· γίνονται <κ> #0ʹ ηʹ· ταῦτα
ἐπὶ τὰ <θ> #0ʹ· γίνονται <ρϞε> #0ʹ δʹ ηʹ ιϛʹ· ὧν πλευρὰ τε–
τραγωνικὴ γίνεται <ιδ>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν
καὶ τοῦ κάτωθεν τριγώνου. ἀμφοτέρων δὲ τῶν τρι–
γώνων ἤτοι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων
<κα> #1ʹ. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ι> #0ʹ γʹ· καὶ ἔστι γῆς μο–
δίων δέκα καὶ λιτρῶν <λγ> γʹ.
Ἕτερον τραπέζιον, οὗ αἱ δύο πλευραὶ τῆς ὀρθῆς
γωνίας ἰσόμετροι, αἱ δὲ λοιπαὶ δύο ἄνισοι. τέμνεται
οὖν καὶ τὸ τοιοῦτον κατὰ τὴν διαιροῦσαν αὐτὸ γραμ–
μὴν εἰς δύο καὶ ποιεῖ ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον
καὶ τρίγωνον ὀρθογώνιον· ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως·
ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων <θ>, ἡ
δὲ βάσις σχοινίων <ιε>, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς πλευρὰ σχοι–
νίων <ϛ>. τὰ <θ> τῆς κορυφῆς καὶ τὰ <ιε> τῆς βάσεως συν–
τιθέμενα γίνονται <κδ>· ὧν #0ʹ γίνεται <ιβ>· ταῦτα ἐπὶ
τὰ <ϛ> τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται <οβ>· καὶ ἔστι τὸ ἐμβα–
δὸν τοῦ τοιούτου τραπεζίου σχοινίων <οβ>. ὧν #0ʹ γί–
νεται <λϛ>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <λϛ>. τοῦ ὀρθογωνίου
τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν
σχοινίων <γ>, ἡ δὲ σχοινίων <ιε>. τὰ τρία τῆς μιᾶς πο–
λυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ <ιε> τῆς βάσεως γίνονται <με>· ὧν
ἥμισυ γίνεται <κβ> #0ʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ
ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων <κβ> #0ʹ. πάλιν τὸ ἥμισυ
τῶν <κβ> #0ʹ· γίνονται <ια> δʹ· καὶ ἔστι μοδίων <ια> καὶ λι–
τρῶν <ι>. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων ἤτοι τοῦ
ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων <Ϟδ> #0ʹ. ὧν τὸ
ἥμισυ· γίνονται <μζ> δʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <μζ> καὶ
λιτρῶν <ι>.
Τὸ τοιοῦτον σχῆμα διαιρούμενον κατὰ τὴν μίαν
τῶν διαγωνίων ποιεῖ τὸ μὲν ὀρθογώνιον τραπέζιον εἰς
τμήματα δύο ἤγουν εἰς τρίγωνον ἰσοσκελὲς καὶ εἰς
τραπέζιον ὀρθογώνιον ἕτερον ἴσον τῷ ἰσοσκελεῖ τρι–
γώνῳ, τὸ δὲ ὀρθογώνιον τρίγωνον εἰς ἕτερα τμήματα
δύο, εἰς τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον ἀμ–
βλυγώνιον τετραπλάσιον τοῦ ὀρθογωνίου. ἡ δὲ ἀνα–
μέτρησις ἑνὸς ἑκάστου τμήματος ἔχει οὕτως· ἡ βάσις
τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου σχοινίων <ιβ>, ἡ δὲ κάθετος
αὐτοῦ σχοινίων <ϛ>. τὰ #0ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ <ϛ> πο–
λυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ ϛ τῆς καθέτου γίνονται <λϛ>· καὶ
ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου σχοινίων <λϛ>.
τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται <ιη>· καὶ ἔστι γῆς μοδίων <ιη>.
ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων <θ>, ἡ
βάσις σχοινίων <γ>, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ πλευρὰ
σχοινίων <ϛ>. τὰ <θ> τῆς κορυφῆς καὶ τὰ <γ> τῆς βάσεως
συντιθέμενα γίνονται <ιβ>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ϛ>·
ταῦτα ἐπὶ τὰ <ϛ> τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται <λϛ>, καὶ δη–
λοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου.
εἶτα ἡμισειαζόμενα γίνονται <ιη>, καὶ δηλοῦσι τὸν μο–
δισμόν· ἔστιν οὖν τὸ τοιοῦτον ὀρθογώνιον τραπέζιον
ἴσον τῷ ἰσοσκελεῖ τριγώνῳ. αἱ δύο πλευραὶ τῆς ὀρθῆς
γωνίας τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ἀνὰ σχοινίων <γ>. τὰ
τρία τῆς μιᾶς πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ τρία τῆς ἑτέ–
ρας γίνονται <θ>· ὧν #0ʹ γίνεται <δ> #0ʹ· καὶ ἔστιν τὸ ἐμ–
βαδὸν αὐτοῦ σχοινίων <δ> #0ʹ. ὧν ὑπεξαιρουμένων ἀπὸ
τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ μείζονος ὀρθογωνίου τριγώνου, τουτ–
έστιν ἀπὸ τῶν <κβ> #0ʹ, περιλιμπάνονται <ιη>, καὶ δηλοῦσι
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου. ὁμοῦ·
καὶ πάλιν τῶν <δ> τμημάτων τὸ ἐμβαδόν, τοῦ ἰσοσκε–
λοῦς τριγώνου, τοῦ ἐλάσσονος ὀρθογωνίου τραπεζίου,
τοῦ ἥττονος ὀρθογωνίου τριγώνου καὶ τοῦ σκαληνοῦ
ἀμβλυγωνίου τριγώνου, σχοινίων <Ϟδ> #0ʹ. ὧν τὸ ἥμισυ·
γίνονται <μζ> δʹ· καὶ ἔστιν ὁ μοδισμὸς τούτων ἤτοι τοῦ
ὅλου σχήματος μοδίων <μζ> καὶ λιτρῶν <ι>.
{Περὶ κυκλικῶν σχημάτων.}
Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ μὲν περίμετρος σχοινίων <κβ>,
ἡ δὲ διάμετρος σχοινίων <ζ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
ποίει οὕτως· τὰ <ζ> τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ <κβ> τῆς περι–
μέτρου· γίνονται <ρνδ>· ὧν τὸ τέταρτον· γίνονται <λη> #0ʹ·
τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει
οὕτως· λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται <γ> #0ʹ·
καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται <ια>· καὶ πολυ–
πλασίασον τὰ <γ> #0ʹ ἐπὶ τὰ <ια>· γίνονται <λη> #0ʹ· τοσού–
των ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμ–
βαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ <κβ> τῆς περιμέτρου ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <υπδ>· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται <͵γτπη>·
ὧν τὸ πηʹ· γίνονται <λη> #0ʹ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διά–
μετρος ποδῶν <ιδ>, ἡ δὲ περί–
μετρος εὑρεθήσεται κατὰ
τὴν ἔκθεσιν ποδῶν <μδ>· τὸ
δὲ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
πάντοτε τὴν διάμετρον
ἐφ´ ἑαυτήν· γίνονται <ρϞϛ>·
ταῦτα ἑνδεκάκι· γίνονται
<͵βρνϛ>· ταῦτα μέρισον παρὰ
τὸν <ιδ>· γίνονται <ρνδ>· τοσ–
ούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν μέθ–
οδον τῆς περιμέτρου εὑ–
ρεῖν, ποίει οὕτως· πάντοτε
τὴν διάμετρον ποίει ἐπὶ τὰ
<κβ>· γίνονται πόδες <τη>· καὶ
πάντοτε μέριζε καθολικῶς
παρὰ τὸν <ζ> [τουτέστιν ὧν
ζʹ]· γίνονται <μδ>· ἔστω ἡ
περίμετρος ποδῶν <μδ>.
Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ περί–
μετρος ποδῶν <π>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ
οὕτως· πάντοτε τὴν περί–
μετρον ἐπὶ τὰ <ζ>· γίνονται
<φξ>· ὧν μερίζω τὸ κβʹ· γί–
νονται πόδες <κε> #0ʹ· ἔσται
ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου
ποδῶν <κε> #0ʹ.
Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διά–
μετρος ποδῶν <ζ>, ἡ δὲ αὐ–
τοῦ περίμετρος εὑρεθήσε–
ται κατὰ τὴν προγεγραμ–
μένην ἔκθεσιν ποδῶν <κβ>·
παντὸς γὰρ κύκλου ἡ περί–
μετρος τριπλάσιον καὶ ἕβ–
δομόν ἐστιν τῆς διαμέτρου.
ἐὰν οὖν θέλῃς εὑρεῖν τὴν
περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέ–
τρου, τριπλασίασον τοὺς <ζ>
πόδας τῆς διαμέτρου· γίνον–
ται πόδες <κα>· καὶ πρόσθες
τούτοις τὸ ζʹ τῆς αὐτῆς δια–
μέτρου· γίνεται ποὺς <α>· γί–
νονται πόδες <κβ>· τοσούτων
ποδῶν ἔστω ἡ περίμετρος.
Ἐὰν θέλῃς εὑρεῖν ἀπὸ
τῆς περιμέτρου τὴν διά–
μετρον, τοὺς <κβ> πόδας τῆς
περιμέτρου μέρισον παρὰ
τὸν <κβ>· γίνεται ποὺς <α>·
τοῦτον ἑπταπλασίασον· γί–
νονται πόδες <ζ>· τοσού–
των ἔστω ποδῶν ἡ διά–
μετρος.
Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ τῆς δια–
μέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν
τοῦ κύκλου, τοὺς <ζ> πόδας
τῆς διαμέτρου πολυπλα–
σίασον ἐφ´ ἑαυτούς· γίνον–
ται πόδες <μθ>· τούτους ἑν–
δεκαπλασίασον· γίνονται
πόδες <φλθ>· τούτων τὸ ιδʹ·
γίνονται πόδες <λη> #0ʹ· τοσ–
ούτων ἔστω τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ κύκλου.
Ἄλλη μέθοδος δηλοῦσα
διὰ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβα–
δὸν τοῦ κύκλου. τοὺς <ζ> πό–
δας τῆς διαμέτρου πολυ–
πλασίασον εἰς τοὺς <κβ> πό–
δας τῆς περιμέτρου· γίνον–
ται πόδες <ρνδ>· τούτων τὸ
δʹ πόδες <λη> #0ʹ· τοσούτων
ἔστω ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ τῆς περι–
μέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν,
τοὺς <κβ> πόδας τῆς περι–
μέτρου πολυπλασίασον ἐφ´
ἑαυτούς· γίνονται πόδες
<υπδ>· τούτους ἑπταπλασία–
σον· γίνονται πόδες <͵γτπη>·
τούτων τὸ πηʹ· γίνονται
πόδες <λη> #0ʹ· τοσούτων ἔστω
ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
,a. Ἄλλη μέθοδος δηλοῦσα
,a. διὰ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμ–
,a. βαδὸν τοῦ κύκλου.
,a. πρόσθες τοῖς <κβ> ποσὶ
,a. τῆς περιμέτρου μέρος αὐ–
,a. τῶν #0ʹ δʹ· γίνονται πόδες
,a. <ιϛ> #0ʹ· ὁμοῦ γίνονται πόδες
,a. <λη> #0ʹ· τοσούτων ἔστω τὸ
,a. ἐμβαδόν.
Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς
διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβα–
δὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως·
τὰ <ζ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<μθ>· ταῦτα ἑνδεκάκις· γί–
νονται <φλθ>· τούτων τὸ ιδʹ·
γίνονται <λη> #0ʹ· τοσούτων
ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
Παρὰ δὲ Εὐκλείδῃ ὁ
κύκλος οὕτως μετρεῖται·
πολυπλασιάζεται ἡ διάμε–
τρος ἐφ´ ἑαυτήν, καὶ τῶν
γινομένων ἐκβάλλεις τὸ ζʹ
ιδʹ, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ κύκλου σχοινίων <λη> #0ʹ.
Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς
περιμέτρου τὴν διάμετρον
εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ <κβ>
τῆς περιμέτρου ἑπτάκις·
γίνονται <ρνδ>· ὧν τὸ κβʹ·
γίνονται <ζ>· τοσούτων ἔσται
σχοινίων ἡ διάμετρος τοῦ
κύκλου.
Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως
ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν
διάμετρον εὑρεῖν, ποίει
οὕτως· τῶν <κβ> τῆς περι–
μέτρου τὸ κβʹ· γίνεται <α>·
τοῦτο ἑπτάκις· γίνονται <ζ>·
τοσούτων ἔσται σχοινίων
ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς
διαμέτρου τὴν περίμετρον
εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ <ζ>
τῆς διαμέτρου τρισσάκις·
γίνονται <κα>· καὶ τῶν ἑπτὰ
τῆς διαμέτρου ἀεὶ τὸ ζʹ·
γίνεται <α>· ὁμοῦ <κβ>· τοσ–
ούτων ἔσται σχοινίων ἡ
περίμετρος τοῦ κύκλου.
Καὶ ἄλλως· ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου μετὰ τῆς δια–
μέτρου σχοινίων <κθ>· διαστεῖλαι καὶ εὑρεῖν τήν τε περί–
μετρον αὐτοῦ καὶ τὴν διάμετρον. ποίει οὕτως· τὰ <κθ>
ἑπτάκις· γίνονται <σγ>· ὧν τὸ κθʹ· γίνονται <ζ>· ταῦτα λαβὲ
ἀπὸ τῶν <κθ>· λοιπὰ <κβ>· ἔσται τοίνυν ἡ περίμετρος σχοι–
νίων <κβ>, ἡ δὲ διάμετρος σχοινίων <ζ>.
Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων <ιδ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον
τρισσάκις· γίνονται <μβ>· τούτοις πρόσθες καὶ τὸ ζʹ τῆς
διαμέτρου ἤγουν τὰ <β>· γίνονται <μδ>· τοσούτων σχοι–
νίων εὐθυμετρικῶν λέγε εἶναι τὴν περίμετρον τοῦ
κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον εὑρεῖν.
ἄφελε τὸ κβʹ τῆς περιμέτρου, λέγω δὴ τῶν <μδ>· γίνον–
ται <β>· λοιπὰ <μβ>· τούτων τὸ γʹ· γίνονται <ιδ>· τοσούτων
σχοινίων ἔσται ἡ διάμετρος.
Ἄλλως ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον εὑρεῖν.
ἔστω τοῦ κύκλου ἡ περίμετρος σχοινίων <μδ>· ταῦτα
ἀεὶ ποίησον ἑπτάκις· γίνονται <τη>· τούτων λαβὲ μέρος
κβʹ· γίνονται <ιδ>· τοσούτων σχοινίων λέγε εἶναι τὴν
διάμετρον τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ἀεὶ τὴν περίμετρον ἐφ´
ἑαυτήν, τουτέστι τὰ <μδ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <͵αϡλϛ>·
ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται α̈ <͵γφνβ>· τούτων λαβὲ μέρος
πηʹ· ἔσται <ρνδ>· τοσούτων σχοινίων λέγε εἶναι τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου
εὑρεῖν. ποίησον τὰ <ιδ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρϞϛ>· τού–
των λαβὲ τὸ ζʹ ιδʹ ἤγουν τὰ <μβ>· λοιπὰ <ρνδ>· τοσούτων
σχοινίων λέγε εἶναι ἐπιπέδων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου εὑρεῖν. τὰ <ιδ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρϞϛ>· ταῦτα
ἑνδεκάκις· γίνονται <͵βρνϛ>· τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται <ρνδ>·
τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου εὑρεῖν. ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου σχοι–
νίων <ιδ>· λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται ἑπτά·
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <μθ>· ταῦτα τρισσάκις· γί–
νονται <ρμζ>· τούτοις πρόσλαβε τὸ ζʹ τῶν <μθ>, τουτέστιν
ἑπτά· γίνονται <ρνδ>· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἔτι ἄλλως τὸν κύκλον μετρήσωμεν ἀπὸ τῆς δια–
μέτρου μόνης. ἔστω τοῦ κύκλου ἡ διάμετρος σχοινίων
<ιδ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρϞϛ>· ἀπὸ τούτων ἆρον
τὸ τέταρτον ἤγουν τὰ <μθ>· λοιπὰ <ρμζ>· τούτοις πρόσθες
τὸ ἴδιον εἰκοστόπρωτον, τὰ ἑπτά· γίνονται <ρνδ>· τοσ–
ούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἐπεὶ ὁ πο–
λυπλασιασμὸς τῆς διαμέτρου μετὰ τῆς περιμέτρου τε–
τραπλάσιός ἐστι τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου, πολυπλα–
σίασον τὴν διάμετρον ἐπὶ τὴν περίμετρον, ἤγουν τὰ
<ιδ> ἐπὶ τὰ <μδ>· γίνονται <χιϛ>· τούτων λαβὲ μέρος τέ–
ταρτον· γίνονται <ρνδ>· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ
ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται
ἑπτά· καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται εἰκοσι–
δύο· καὶ πολυπλασίασον τὰ ἑπτὰ ἐπὶ τὰ <κβ>· γίνονται
<ρνδ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἔτι καὶ ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περι–
μέτρου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. λαβὲ τὸ δʹ τῆς
περιμέτρου καὶ πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν διάμετρον,
ἤγουν τὰ <ια> ἐπὶ τὰ <ιδ>· γίνονται καὶ οὕτως <ρνδ>· τοσ–
ούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Δοθείσης δὲ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου μετὰ τῆς
περιμέτρου σχοινίων <νη> διαστεῖλαι καὶ εὑρεῖν, πόσου
γίνεται ἡ διάμετρος καὶ πόσου ἡ περίμετρος. ποίει
οὕτως· ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον πρώτην εὑρεῖν, ποίησον
τὰ <νη> ἑπτάκις· γίνονται <υϛ>· τούτων λαβὲ μέρος κθʹ·
γίνονται <ιδ>· τοσούτου ἡ διάμετρος. ταῦτα ἆρον ἀπὸ
τῶν <νη>· λοιπὰ <μδ>· τοσούτου ἡ περίμετρος. ἐὰν δὲ
θέλῃς τὴν περιφέρειαν πρώτην εὑρεῖν, ποίησον οὕτως·
τὰ <νη> εἰκοσάκις καὶ δίς· γίνονται <͵ασοϛ>· τούτων λαβὲ
μέρος κθʹ· γίνονται <μδ>· τοσούτου ἐστὶν ἡ περιφέρεια
τοῦ κύκλου. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν <νη>· λοιπὰ <ιδ>· τοσ–
ούτου ἡ διάμετρος.
Ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου τήν τε διάμετρον καὶ
τὴν περίμετρον εὑρήσεις οὕτως· ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου μονάδων <λη> #0ʹ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον.
ποίησον τὰ <λη> #0ʹ τεσσαρεσκαιδεκάκις· γίνονται <φλθ>·
τούτων μέρος ιαʹ γίνεται <μθ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος
γίνεται ἑπτά· τοσούτου ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου. τὴν
δὲ περίμετρον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον τὸ ἐμβαδὸν ἤγουν
τὰ <λη> #0ʹ ὀγδοηκοντάκις <η>· γίνονται <͵γτπη>· τούτων μέ–
ρος ἕβδομον γίνεται <υπδ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γί–
νεται εἰκοσιδύο· τοσούτου ἔσται ἡ περίμετρος.
Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων <ϛ>· ἡ ἄρα
περίμετρος αὐτοῦ, ὅτι τριπλάσιος καὶ ἐφέβδομός ἐστι
τῆς διαμέτρου, ἔσται σχοινίων <ιη> καὶ <ϛ> ζʹ ζʹ. καὶ ἐπεὶ
τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τετραπλάσιόν
ἐστι τοῦ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τοῦ
τετάρτου τῆς περιμέτρου ἴσον ἔσται τῷ κύκλῳ. ἔστιν
οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου σχοινίων <ϛ>, τὸ δὲ δʹ τῆς
περιμέτρου σχοινίων <δ> #0ʹ ζʹ ιδʹ ἤτοι σχοινίων <δ> καὶ
πέντε ζʹ ζʹ· ταῦτα δι´ ἀλλήλων πολυπλασιαζόμενα γί–
νονται <κη> δʹ κηʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου σχοι–
νίων τοσούτων. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων <ιβ> #0ʹ δʹ·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· ἐπειδὴ <ιβ>
σχοινίων καὶ <γ> δʹ δʹ ἐστὶν ἡ διάμετρος, ἀνάλυσον διὰ
τὰ τέταρτα καὶ τὰ σχοινία εἰς δʹ δʹ· γίνονται ὁμοῦ
τέταρτα <να>· ταῦτα ποίησον <γ>· γίνονται <ρνγ>· τούτοις
πρόσθες καὶ τὸ ζʹ τῶν <να> ἤγουν <ζ> καὶ <β> ζʹ ζʹ· γίνονται
τὰ ὅλα δʹ δʹ <ρξ> καὶ <β> ζʹ ζʹ τῶν δʹ δʹ ἤτοι μονάδες <μ>
καὶ ιδʹ τῆς μονάδος· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ περί–
μετρος.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ἀπὸ τῆς διαμέτρου εὑ–
ρεῖν. ποίησον οὕτως· τὰ <ιβ> #0ʹ δʹ τῆς διαμέτρου ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ρξβ> #0ʹ ιϛʹ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται
<͵αψπη> ηʹ ιϛʹ· τούτων μέρος ιδʹ γίνεται <ρκζ> #0ʹ ζʹ ιδʹ ριβʹ
σκδʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἄλλως εἰς τὸ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ μόνης τῆς
διαμέτρου. ἐπειδὴ <ιβ> σχοινίων καὶ <γ> δʹ δʹ ἐστὶν ἡ
διάμετρος, ἀνάλυσον διὰ τὰ τέταρτα καὶ τὰ <ιβ> σχοινία
εἰς δʹ δʹ· καὶ γίνονται ὁμοῦ δʹ δʹ <να>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται δʹ δʹ τῶν δʹ δʹ <͵βχα>· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνον–
ται μυριάδες <β> καὶ <͵ηχια>· τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται <͵βμγ>
#0ʹ ζʹ· τούτων τὸ ιϛʹ διὰ τὸ πολυπλασιασθῆναι δʹ ἐπὶ
δʹ· γίνονται <ρκζ> #0ʹ ηʹ ιϛʹ λβʹ ριβʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύ–
κλου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὴν περίμετρον ἤγουν τὰ
<μ> σχοινία σὺν τῷ ιδʹ ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <͵αχε> #1ʹ καʹ
ρϞϛʹ· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται α̈ <͵ασμ> κηʹ· τούτων μέρος
πηʹ γίνεται <ρκζ> #1ʹ καʹ ριβʹ σκδʹ· τοσούτων σχοινίων
ἐστὶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμ–
βαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ τέταρτον τῆς
περιμέτρου· γίνονται σχοινία <ι> καὶ σχοινίου τὸ πεν–
τηκοστόεκτον· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <ιβ> #0ʹ δʹ τῆς
διαμέτρου οὕτως· δεκάκις τὰ <ιβ> #0ʹ δʹ <ρκζ> #0ʹ· καὶ τὸ
πεντηκοστόεκτον τῶν <ιβ> #0ʹ δʹ ζʹ ιδʹ ριβʹ σκδʹ· ὁμοῦ <ρκζ>
#0ʹ ζʹ ιδʹ ριβʹ σκδʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων <ιϛ> γʹ ιεʹ
ἤτοι σχοινίων <ιϛ> καὶ εʹ εʹ δύο· εὑρεῖν τὴν περίμετρον.
ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοινία εἰς εʹ εʹ· γίνονται ὁμοῦ εʹ εʹ
<πβ>. ταῦτα ποίησον τρισσάκις· γίνονται <σμϛ>· τούτοις
πρόσθες τὸ ζʹ τῶν <πβ> ἤγουν <ια> καὶ πέντε ζʹ ζʹ· γί–
νονται ὁμοῦ εʹ εʹ <σνζ> καὶ <ε> ζʹ ζʹ τῶν εʹ εʹ ἤτοι μονά–
δες <να> γʹ ζʹ ιεʹ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ περίμετρος.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ἀπὸ μόνης τῆς δια–
μέτρου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὴν διάμετρον, τουτ–
έστι τὰ <ιϛ> σχοινία καὶ τὰ <β> εʹ εʹ, ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<σξη> εʹ εʹ <δ> καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γί–
νονται <͵βϡνη> εʹ εʹ <β> καὶ <δ> εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ· τούτων μέρος
ιδʹ γίνεται <σια> δʹ κεʹ κηʹ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἔτι ἄλλως ἀπὸ μόνης τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν
εὑρεῖν. ἐπειδὴ τὰ <ιϛ> γʹ ιεʹ σχοινία <πβ> εʹ εʹ εἰσί, πο–
λυπλασίασον ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ
<͵ϛψκδ>· ταῦτα ποίησον ἑνδεκάκις· γίνονται μυριάδες
ἑπτὰ καὶ <͵γϡξδ>· τούτων μέρος ιδʹ γίνεται <͵εσπγ> ζʹ·
ταῦτα διὰ τὸ εἶναι εʹ εʹ τῶν εʹ εʹ μέρισον παρὰ τὰ <κε>·
γίνεται τὸ εἰκοστόπεμπτον τούτων <σια> δʹ κεʹ κηʹ· τοσ–
ούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύ–
κλου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἐπειδὴ ἡ περίμετρος τοῦ
κύκλου <να> σχοινίων καὶ λεπτῶν τριακοστοπέμπτων <ιθ>
ἐστί, πολυπλασίασον πρότερον τὰ <να> σχοινία ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <͵βχα>· εἶτα πολυπλασίασον τὰ αὐτὰ <να> σχοινία
καὶ ἐπὶ τὰ <ιθ> λεʹ λεʹ· γίνονται λεʹ λεʹ <ϡξθ>· καὶ αὖθις
πολυπλασίασον τὰ <ιθ> λεʹ λεʹ πρότερον μὲν ἐπὶ τὰ <να>
σχοινία· γίνονται λεʹ λεʹ <ϡξθ>· εἶτα πολυπλασίασον τὰ
αὐτὰ <ιθ> λεʹ λεʹ καὶ ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται λεʹ λεʹ τῶν
λεʹ λεʹ <τξα> γινόμενα λεʹ λεʹ <ι> καὶ <ια> λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ·
ὁμοῦ σχοινία <͵βχα> λεʹ λεʹ <͵αϡμη> καὶ λεʹ λεʹ τῶν λεʹ
λεʹ <ια>. τὰ <͵αϡμη> λεʹ λεʹ μεριζόμενα παρὰ τὰ <λε> γί–
νονται σχοινία <νε>, μένουσι δὲ καὶ λεʹ λεʹ <κγ>· τὰ τοι–
αῦτα <νε> σχοινία προστίθενται εἰς τὰ ἕτερα <͵βχα> καὶ
ποσοῦνται σὺν αὐτοῖς εἰς <͵βχνϛ>· καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τοῦ
πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ὅλος ἀριθμὸς σχοινία
<͵βχνϛ> λεʹ λεʹ <κγ> καὶ <ια> λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ. ἀναλυομέ–
νων δὲ καὶ τῶν <κγ> λεʹ λεʹ εἰς λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ γί–
νεται ὁ τοιοῦτος πολυπλασιασμὸς σχοινία <͵βχνϛ> καὶ
λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ <ωιϛ>· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται σχοι–
νία α̈ <͵ηφϞβ> καὶ λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ <͵εψιβ> γινόμενα τρια–
κοστόπεμπτα <ρξγ> εʹ· τὰ <ρξγ> εʹ λεʹ λεʹ μεριζόμενα παρὰ
τὰ <λε> γίνονται σχοινία <δ> #0ʹ ζʹ νʹ. ταῦτα προστίθενται
εἰς τὰ α̈ <͵ηφϞβ>· καὶ γίνεται ὁ ἑπταπλασιασμὸς τοῦ πο–
λυπλασιασμοῦ σχοινία α̈ <͵ηφϞϛ> #0ʹ ζʹ νʹ. τούτων μέρος
πηʹ γίνεται σχοινία <σια> δʹ κεʹ κηʹ· τοσούτων τὸ ἐμβα–
δὸν τοῦ κύκλου.
Ἄλλως ἀπὸ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου εὑρεῖν. ἐπειδὴ ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου <να>
σχοινίων καὶ <ιθ> λεʹ λεʹ ἐστίν, ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοι–
νία εἰς τριακοστόπεμπτα· γίνονται ὁμοῦ τὰ ὅλα λεʹ λεʹ
<͵αωδ>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται μυριάδες <τκε> καὶ
<͵δυιϛ>· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται μυριάδες <͵βσοη> καὶ <ϡιβ>.
τούτων μέρος πηʹ γίνεται μυριάδες <κε> καὶ <͵ηωοδ>· ταῦτα
παρὰ τὰ <͵ασκε> μεριζόμενα διὰ τὸ εἶναι λεʹ λεʹ τῶν
λεʹ λεʹ γίνονται <σια> δʹ κεʹ κηʹ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ δʹ
τῆς περιμέτρου ἤγουν τὰ <ιβ> σχοινία καὶ λεπτὰ λεʹ λεʹ
<λα> καὶ πολυπλασίασον αὐτὰ ἐπὶ τὴν διάμετρον, τουτ–
έστιν ἐπὶ τὰ <ιϛ> σχοινία καὶ <ιδ> λεʹ λεʹ οὕτως· <ιβ> <ιϛ>
<ρϞβ> καὶ <ιβ> τὰ <ιδ> λεʹ λεʹ <ρξη> λεʹ λεʹ· καὶ <λα> λεʹ λεʹ τῶν
<ιϛ> σχοινίων <υϞϛ> λεʹ λεʹ, καὶ <λα> λεʹ λεʹ τῶν <ιδ> λεʹ λεʹ
<υλδ> λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ γινόμενα καὶ ταῦτα λεʹ λεʹ <ιβ>
καὶ <ιδ> λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ· ὁμοῦ σχοινία <ρϞβ> λεʹ λεʹ
<χοϛ> καὶ <ιδ> λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ. τὰ <χοϛ> λεʹ λεʹ μεριζό–
μενα παρὰ τὰ <λε> γίνονται σχοινία <ιθ>, μένουσι δὲ καὶ
λεʹ λεʹ <ια>· τὰ δὲ <ιθ> σχοινία συντίθενται τοῖς ἑτέροις
<ρϞβ>· καὶ γίνονται ὁμοῦ σχοινία <σια> λεʹ λεʹ <ια> καὶ <ιδ>
λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ γινόμενα καὶ ταῦτα ἤγουν τὰ <ιδ>
λεʹ λεʹ τῶν λεʹ λεʹ <β> εʹ εʹ τοῦ λεʹ· τὰ <ια> γʹ ιεʹ λεʹ λεʹ
μεριζόμενα παρὰ τὰ <λε> γίνονται δʹ κεʹ κηʹ· λέγε γὰρ
δʹ τῶν <λε> <η> #0ʹ δʹ, εἰκοστόπεμπτον τῶν <λε> <α> γʹ ιεʹ,
καὶ τὸ κηʹ τῶν <λε> <α> δʹ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύ–
κλου σχοινίων <σια> δʹ κεʹ κηʹ. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ
μοδισμός.
{Περὶ ἡμικυκλίων.}
Ἔστω ἡμικύκλιον ἤτοι ἀψίς, οὗ ἡ περίμετρος σχοι–
νίων <ια>, ἡ δὲ διάμετρος σχοινίων <ζ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ <ζ> τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ <ια>
τῆς περιμέτρου· γίνονται <οζ>· ὧν μέρος δʹ γίνεται
<ιθ> δʹ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ
ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
Ἄλλο ἡμικύκλιον ἤτοι ἀψίς, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοι–
νίων <ιδ>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <ζ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
περιφέρειαν. ποίει οὕτως· τὴν κάθετον τριπλασίασον,
πρόσθες τὸ ζʹ τῆς καθέτου, καὶ εὑρήσεις τὴν περι–
φέρειαν. οἷον ἔστω ἡ κάθετος τοῦ παρόντος ἡμικυκλίου
σχοινίων <ζ>· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται <κα>· τούτοις
πρόσθες καὶ τὸ ζʹ τῶν <ζ> ἤτοι <α>· γίνονται <κβ>· τοσού–
των σχοινίων ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου.
Ἄλλως. σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον· γίνον–
ται <κα>· τούτοις καθόλου προστίθει τὸ καʹ· γίνεται <α>·
ὁμοῦ <κβ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ περίμετρος τοῦ
ἡμικυκλίου.
Ἀψῖδα μετρῆσαι, ἧς ἡ
διάμετρος ποδῶν <ιδ>, ἡ δὲ
κάθετος ποδῶν <ζ>· εὑρεῖν
αὐτῆς τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ´
ἑαυτήν· γίνονται πόδες
<ρϞϛ>· τούτους ἑνδεκαπλα–
σίασον· γίνονται πόδες
<͵βρνϛ>· ὧν τὸ κηʹ· γίνον–
ται πόδες <οζ>· τοσούτων
ποδῶν ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν αὐτοῦ
εὑρεῖν ἀπὸ μόνης τῆς βά–
σεως. ποίει οὕτως· τὰ <ιδ>
τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γί–
νονται ρϞϛ· ταῦτα ἑνδεκά–
κις <͵βρνϛ>· τούτων μέρος
κηʹ γίνεται <οζ>· τοσούτων
σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ἡμικυκλίου.
Ἄλλως. τὰ <ιδ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρϞϛ>. ἀπὸ τού–
των ἄφελε τὸ ζʹ ιδʹ, τουτέστι τὰ <μβ>· λοιπὰ <ρνδ>· ὧν
τὸ #0ʹ· γίνονται <οζ>· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
Εἰ δὲ καὶ ἀπὸ τῆς καθ–
έτου θέλεις εὑρεῖν τὸ ἐμ–
βαδόν, ποίει οὕτως· τοὺς <ζ>
πόδας τῆς καθέτου πολυ–
πλασίασον ἐφ´ ἑαυτούς· γί–
νονται πόδες <μθ>. τούτους
ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες
<φλθ>· ὧν τὸ ζʹ· γίνονται
πόδες <οζ>.
Ἀπὸ δὲ τῆς καθέτου μό–
νης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμι–
κυκλίου εὑρεῖν. ποίει οὕ–
τως· τὰ <ζ> τῆς καθέτου ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <μθ>· ταῦτα
ἑνδεκάκις· γίνονται <φλθ>·
τούτων τὸ ζʹ· γίνονται <οζ>·
τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
Ἀπὸ δὲ μόνης τῆς περιφερείας τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμι–
κυκλίου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ <κβ> τῆς περιφερείας
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <υπδ>· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται <͵γτπη>·
τούτων μέρος μδʹ γίνεται <οζ>· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
Ἀπὸ δὲ τῆς βάσεως καὶ τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν
αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ <ιδ> τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ
<ζ> τῆς καθέτου· γίνονται <Ϟη>· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὸ ζʹ
ιδʹ, τουτέστι τὰ <κα>· λοιπὰ <οζ>· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ἡμικυκλίου.
Ἄλλως. τὰ <ιδ> τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ <ζ> τῆς καθέτου·
γίνονται <Ϟη>· ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται <͵αοη>·
τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται <οζ>· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
Ἀπὸ δὲ τῆς καθέτου καὶ τῆς περιφερείας τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ <ζ> τῆς
καθέτου ἐπὶ τὰ <κβ> τῆς περιφερείας· γίνονται <ρνδ>· τού–
των τὸ ἥμισυ· γίνονται <οζ>· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
Ἄλλως. τὸ ἥμισυ τῆς καθέτου γίνεται <γ> #0ʹ· ταῦτα
ἐπὶ τὰ εἰκοσιδύο τῆς περιφερείας· γίνονται <οζ>· τοσού–
των τὸ ἐμβαδόν.
Ἀπὸ δὲ τῆς βάσεως καὶ τῆς περιφερείας τὸ ἐμβα–
δὸν τοῦ ἡμικυκλίου εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὴν βάσιν
ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἤγουν τὰ <ιδ> ἐπὶ τὰ εἰκοσιδύο·
γίνονται <τη>· τούτων μέρος τέταρτον γίνεται ἑβδομη–
κονταεπτά· τοσούτων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου.
Ἄλλως. τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς
περιφερείας, τουτέστι τὰ <ζ> ἐπὶ τὰ <ια>· γίνονται <οζ>· τοσ–
ούτων τὸ ἐμβαδόν.
Ἄλλως. τὸ δʹ τῆς περιφερείας ἐπὶ τὴν βάσιν, ἤγουν
τὰ <ε> #0ʹ ἐπὶ τὰ <ιδ>· γίνονται καὶ οὕτως <οζ>· τοσούτων
ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου. ὧν τὸ #0ʹ
ἔσται ὁ μοδισμός.
Ἀψίδα ἤγουν ἡμικύκλιον μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος
ποδῶν <ζ>, ἡ δὲ κάθετος κατὰ τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου
ποδῶν <γ> #0ʹ, καὶ ἡ περίμετρος ποδῶν <ια>· εὑρεῖν αὐτῆς
τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ <ζ> τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ
<ια> τῆς περιμέτρου· γίνονται πόδες <οζ>· τούτων τὸ δʹ·
γίνονται πόδες <ιθ> δʹ· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμ–
βαδόν.
Ἄλλη μέθοδος τοῦ αὐτοῦ ἐμβαδοῦ. τοὺς <ζ> πόδας
τῆς διαμέτρου ἐφ´ ἑαυτούς· γίνονται πόδες <μθ>· τού–
τους ἐπὶ <ια>· γίνονται πόδες <φλθ>· ὧν τὸ κηʹ· γίνονται
πόδες <ιθ> δʹ.
{Περὶ τμημάτων ἡμικυκλίου ἐλαττόνων.}
Τμῆμα κύκλου ἔλαττον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις.
σχοινίων <ιϛ>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <ϛ>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν
κάθετον· γίνονται <κβ>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ια>· ταῦτα
ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰ <ϛ>· γίνονται <ξϛ>. καὶ τῆς
βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται <η>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<ξδ>· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται <δ> #0ʹ ιδʹ. ταῦτα σύνθες τοῖς <ξϛ>·
γίνονται <ο> #0ʹ ιδʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
τμήματος. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <λε> δʹ κηʹ· καὶ ἔστι
γῆς μοδίων τοσούτων.
Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ τοιούτου
τμήματος εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ <ιϛ> τῆς βάσεως ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <σνϛ>· καὶ τὰ <ϛ> τῆς καθέτου ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <λϛ>· ταῦτα τετράκις· γίνονται <ρμδ>· ταῦτα
πρόσθες τοῖς <σνϛ>· γίνονται <υ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
γίνεται <κ>. εἶτα λαβὲ τῶν <ϛ> τῆς καθέτου τὸ δʹ· γίνεται
<α> #0ʹ· τοῦτο πρόσθες τοῖς <κ>· γίνονται <κα> #0ʹ· τοσούτων
σχοινίων ἔσται ἡ περίμετρος.
Ἕτερον τμῆμα ἔλασσον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ βάσις
σχοινίων <ιβ>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <δ>· εὑρεῖν τὸ ἐμ–
βαδόν. ποίησον οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον·
γίνονται <ιϛ>· ὧν ἥμισυ γίνεται <η>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <δ> τῆς
καθέτου· γίνονται <λβ>. καὶ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γί–
νονται <ϛ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>· ὧν τὸ ιδʹ· γί–
νονται <β> #0ʹ ιδʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς <λβ>· γίνονται <λδ> #0ʹ
ιδʹ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος.
ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
Τὴν δὲ περίμετρον τούτου εὑρήσεις οὕτως· πολυ–
πλασίασον τὰ <ιβ> τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>·
καὶ τὰ <δ> τῆς καθέτου ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιϛ>· ταῦτα
τετράκις· γίνονται <ξδ>· ταῦτα πρόσθες τοῖς <ρμδ>· γίνον–
ται <ση>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <ιδ> γʹ ιβʹ παρὰ
τὸ σύνεγγυς. τούτοις πρόσθες τῶν <δ> τῆς καθέτου τὸ
τέταρτον ἤγουν μονάδα μίαν· γίνονται <ιε> γʹ ιβʹ· τοσ–
ούτων σχοινίων ἔσται ἡ περίμετρος τοῦ τοιούτου
τμήματος.
Ἔστω ἔλαττον ἡμικυκλίου, ἡ κάθετος ποδῶν <ϛ>, ἡ
δὲ βάσις ποδῶν <ιδ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ
οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ κάθετον· γίνονται πόδες
<κ>· ὧν #0ʹ· γίνονται πόδες <ι>· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον·
γίνονται πόδες <ξ>. ἀλλὰ ποιῶ καὶ βάσεως μέρος #0ʹ· γίνον–
ται πόδες <ζ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες <μθ>· ὧν
ιδʹ· γίνονται <γ> #0ʹ. ταῦτα προστιθῶ τοῖς <ξ>· γίνονται
πόδες <ξγ> #0ʹ· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν <ξγ> #0ʹ.
Ἔστω τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου καὶ ἐχέτω τὴν μὲν
βάσιν ποδῶν <μ>, τὴν δὲ κάθετον ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· πάντοτε συντίθει τὴν
διάμετρον καὶ τὴν κάθετον ὁμοῦ· γίνονται πόδες <ν>·
ὕφαιρε καθολικῶς τούτων τὸ δʹ· γίνονται πόδες <ιβ> #0ʹ·
λοιπὸν μένουσι πόδες <λζ> #0ʹ. τούτοις προστίθει καθ–
ολικῶς τούτων τὸ δʹ· γίνονται πόδες <θ> δʹ ηʹ· σύνθες
ὁμοῦ· γίνονται πόδες <μϛ> #0ʹ δʹ ηʹ· τοσούτων ποδῶν ἔστω
ἡ περίμετρος τοῦ τμήματος. ὑφείλαμεν δὲ δʹ καὶ προσ–
εθήκαμεν δʹ, ἐπειδὴ ἡ κάθετος τέταρτον μέρος ἐστὶ
τῆς βάσεως.
Ἔστω τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου ἔχον τὴν βάσιν πο–
δῶν <η>, τὴν δὲ κάθετον ποδῶν <γ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
περίμετρον. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐφ´ ἑαυτήν· γί–
νονται πόδες <ξδ>· καὶ τὴν κάθετον ἐφ´ ἑαυτήν· γίνον–
ται πόδες <θ>· ταῦτα ποιῶ τετράκις· γίνονται πόδες <λϛ>.
ταῦτα προστιθῶ τοῖς <ξδ>· γίνονται <ρ>· ὧν πλευρὰ τε–
τραγωνικὴ γίνεται πόδες <ι>· ἐξ ὧν ἀφαιρῶ τὰ <η> τῆς
βάσεως· γίνονται <β>. καὶ ἐπειδὴ ἡ κάθετος ποδῶν <γ>
καὶ ἡ βάσις ποδῶν <η>, μερίζω τὰ <γ> τῆς καθέτου παρὰ
τὰ <η> τῆς βάσεως· γίνεται ποδὸς δʹ ηʹ. ταῦτα ποιῶ
δίς· γίνεται #0ʹ δʹ· ταῦτα προστιθῶ τοῖς <ι>· γίνονται
<ι> #0ʹ δʹ, ὅ ἐστιν ἡ περίμετρος τοῦ τμήματος ποδῶν
<ι> #0ʹ δʹ.
Τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου μετρεῖται οὕτως· βάσεως
πόδες <ιβ>, καθέτου πόδες <δ>. συντίθει τὴν βάσιν καὶ
τὴν κάθετον· γίνονται πόδες <ιϛ>· ὧν τὸ #0ʹ· γίνονται
πόδες <η>· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες <λβ>.
καὶ τὸ #0ʹ τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτό· γίνονται πόδες <λϛ>·
τούτων τῶν <λϛ> τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες <β> #0ʹ ιδʹ· ταῦτα
προστίθει τοῖς <λβ>· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος
ποδῶν <λδ> #0ʹ ιδʹ.
{Περὶ τμημάτων μειζόνων ἡμικυκλίου.}
Ἔστω τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις
σχοινίων <ιβ>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <θ>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· προσαναπληρούσθω διὰ
παντὸς ἡ κάθετος, ἕως οὗ συμπέσῃ τῷ κύκλῳ, καὶ
διαιρείτω τὰ τῆς βάσεως σχοινία μέσον· γίνονται <ϛ>.
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <λϛ>· ταῦτα μέριζε παρὰ τὴν
κάθετον, τουτέστι παρὰ τὰ <θ>· γίνονται <δ>. ἔσται οὖν
τοῦ ἐλάσσονος τμήματος ἡ κάθετος σχοινίων <δ>· ὥστε
ἡ διάμετρος τοῦ ὅλου κύκλου σχοινίων <ιγ>. ἐὰν οὖν
μετρήσωμεν ἔλαττον τμῆμα, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶ σχοι–
νίων <ιβ>, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων <δ>, μετρήσωμεν δὲ καὶ
κύκλον, οὗ ἡ διάμετρός ἐστιν σχοινίων <ιγ>, ἀφέλωμεν
δὲ ἀπὸ τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον τμῆμα, ἕξομεν καὶ τὸ
λοιπὸν μέγιστον τμῆμα τοῦ κύκλου μεμετρημένον. οἷον
ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ὅλου κύκλου σχοινίων <ιγ>. ταῦτα
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρξθ>· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται
<͵αωνθ>· τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται <ρλβ> #0ʹ δʹ κηʹ· τοσούτων
σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου κύκλου. ἀπὸ τούτων
ὑπεξαιρεθήτω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος,
ὅπερ ἐστὶ κατὰ τὴν προεκτεθεῖσαν ἔφοδον σχοινίων
<λδ> #0ʹ ιδʹ· καὶ τὰ λοιπὰ ἤγουν τὰ <Ϟη> ζʹ ιδʹ ἔστω τοῦ
μείζονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ ἥμισυ ἔσται ὁ
μοδισμός.
Τὴν δὲ περίμετρον τοῦ ὅλου κύκλου εὑρεῖν. ποίησον
τὴν διάμετρον τρισσάκις· γίνονται <λθ>· τούτοις πρόσθες
καὶ τὸ ζʹ τῶν <ιγ> ἤγουν <α> #1ʹ ζʹ καʹ· γίνονται <μ> #1ʹ ζʹ καʹ·
τοσούτων σχοινίων ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου. ἀπὸ
τούτων ὑπέξελε τὸν ἀριθμὸν τῆς περιφερείας τοῦ ἐλάσ–
σονος τμήματος, ὅς ἐστι κατὰ τὴν προγραφεῖσαν μέθ–
οδον σχοινίων <ιε> γʹ ιβʹ· καὶ τὰ περιλιμπανόμενα ἤγουν
τὰ <κε> γʹ ιβʹ μβʹ ἔσται ὁ ἀριθμὸς τῆς περιφερείας τοῦ
μείζονος τμήματος.
Ἔστω μεῖζον ἡμικυκλίου,
ἡ βάσις ποδῶν <κδ>, ἡ δὲ
κάθετος ποδῶν <ιϛ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ
οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν
κάθετον· γίνονται πόδες
<τπδ>· ταῦτα ἑνδεκάκις· γί–
νονται πόδες <͵δσκδ>· ὧν τὸ
ιδʹ· γίνονται πόδες <τα> #0ʹ
ζʹ ιδʹ· τοσούτου ἔσται τὸ
ἐμβαδόν.
Ἕτερον τμῆμα μεῖζον
ἡμικυκλίου, οὗ ἡ βάσις
σχοινίων <κδ>· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
ἤχθω κάθετος διὰ τοῦ κέν–
τρου ἐπὶ τὴν βάσιν, ἥτις
ἐστὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ μετρη–
θεῖσα ἔστω σχοινίων <ιϛ>,
καὶ προσαναπληρούσθω ὁ
κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ
κάθετος καὶ διαιρείτω εἰς
δύο μέρη τὰ τῆς βάσεως,
ὡς εἶναι τὰ τοῦ ἑνὸς τμή–
ματος σχοινία <ιβ>. ταῦτα
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>·
ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ <ιϛ>
τῆς καθέτου· γίνονται <θ>·
τοσούτων ἔσται σχοινίων
ἡ ἐπιβληθεῖσα τῇ καθέτῳ·
ὡς εἶναι ὁμοῦ τὴν ὅλην
κάθετον ἤτοι διάμετρον
σχοινίων <κε>. ταῦτα ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <χκε>· ταῦτα
δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται
<͵ϛωοε>· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται
<υϞα> ιδʹ· τοσούτων ἔσται
σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου.
Ἐὰν δὲ θέλῃς διαστεῖλαι καὶ γνῶναι ἰδίως τοῦ τε
μείζονος καὶ τοῦ ἥττονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν, ποίει
οὕτως· μέτρει τμῆμα κύκλου ἧττον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ
μὲν βάσις σχοινίων <κδ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων <θ>,
κατὰ τὸ προγραφὲν ὑπόδειγμα, καὶ τὸ γινόμενον ἐξ
αὐτοῦ ἐμβαδὸν ὕφειλον ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου,
καὶ τὸ ὑπολιμπανόμενον μέτρον ἔστω τοῦ μείζονος τμή–
ματος. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι· σύνθες βάσιν καὶ κάθ–
ετον τοῦ ἥττονος ἡμικυκλίου, τουτέστι τὰ <κδ> καὶ <θ>·
γίνονται <λγ>· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται <ιϛ> #0ʹ· ταῦτα ἐπὶ τὰ
<θ> τῆς καθέτου· γίνονται <ρμη> #0ʹ. καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βά–
σεως ἤγουν τὰ <ιβ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>· ὧν τὸ ιδʹ·
γίνονται <ι> δʹ κηʹ· ταῦτα πρόσθες τοῖς <ρμη> #0ʹ· γίνονται
<ρνη> #0ʹ δʹ κηʹ· τοσούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ἥττονος ἡμικυκλίου. ταῦτα ὕφειλον ἀπὸ τοῦ ὅλου ἐμ–
βαδοῦ τοῦ κύκλου ἤγουν ἀπὸ τῶν <υϞα> καὶ τοῦ ιδʹ·
καὶ ὑπολιμπάνονται <τλβ> δʹ κηʹ, ἅτινα ἔσται τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ μείζονος τμήματος.
Ἐὰν δὲ θέλῃς τοῦ τε μείζονος καὶ τοῦ ἥττονος τμή–
ματος τὴν περιφέρειαν εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ <κδ>
τῆς βάσεως ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <φοϛ>· καὶ τὰ <θ> τῆς
καθέτου ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <πα>· ταῦτα τετράκις· γί–
νονται <τκδ>. ταῦτα σύνθες τοῖς <φοϛ>· γίνονται ὁμοῦ <ϡ>·
ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <λ>· ἐξ ὧν ὕφειλον τὰ
τῆς βάσεως <κδ> σχοινία· λοιπὰ <ϛ>. καὶ ἐπειδήπερ ἡ μὲν
κάθετός ἐστιν σχοινίων <θ>, ἡ δὲ βάσις σχοινίων <κδ>,
ποίει οὕτως· τὰ <θ> τῆς καθέτου πόστον μέρος ἐστὶ τῶν
<κδ> τῆς βάσεως; ἔστιν οὖν <γ> ηʹ· τῶν τοίνυν ἓξ λαβὲ
τὸ <γ> ηʹ· γίνονται <β> δʹ· ταῦτα σύνθες τοῖς <λ>· γίνονται
<λβ> δʹ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τοῦ ἐλάττονος τμήμα–
τος ἡ περίμετρος. καὶ ἐπειδὴ ἡ τοῦ ὅλου κύκλου περί–
μετρός ἐστιν σχοινίων <οη> #0ʹ ιδʹ, ὕφειλον ἐξ αὐτῶν τὰ
<λβ> δʹ· καὶ τὰ περιλιμπανόμενα ἤγουν τὰ <μϛ> δʹ ιδʹ
ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ μείζονος τμήματος.
Ἔστω τμῆμα ἡμικυκλίου
μεῖζον καὶ ἐχέτω τὴν βάσιν
ποδῶν <κ>, τὴν δὲ πρὸς ὀρ–
θὰς ἤτοι κάθετον ποδῶν
<λ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβα–
δόν. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ
μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου,
προσαναπληρῶ τὸν κύκλον
καὶ εὑρίσκω τοῦ ἐλάσσονος
τμήματος τὴν κάθετον οὕ–
τως· λαμβάνω τὸ #0ʹ τῆς
βάσεως· γίνονται πόδες <ι>·
ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<ρ>. ταῦτα μερίζω παρὰ τοὺς
<λ> τῆς καθέτου· γίνονται
πόδες <γ> γʹ· ταῦτα προσ–
τιθῶ τοῖς <λ>· γίνονται <λγ>
γʹ. αἴρω ἀπὸ τούτων τὰ <λ>·
λοιπὸν μένει πόδες <γ> γʹ·
ἔστω τοῦ ἐλάσσονος τμή–
ματος τὸ ὕψος ποδῶν <γ> γʹ,
τουτέστιν ἡ κάθετος. ἄρτι
εὑρίσκω ὅλου τοῦ κύκλου
τὸ ἐμβαδόν· γίνεται πο–
δῶν <ωογ>, ὡς προδέδεικται.
καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήμα–
τος εὑρίσκω τὸ ἐμβαδόν,
ὡς προέδειξα, καὶ αἴρω ἀπὸ
ὅλου τοῦ κύκλου· καὶ τὸ
λοιπὸν ἔστω τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ μείζονος τμήματος,
καθὼς προεῖπον.
Ἄλλο τμῆμα μεῖζον ἡμι–
κυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις
σχοινίων <κ>, ἡ δὲ πρὸς ὀρ–
θὰς σχοινίων <λ>· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· ἐπειδήπερ μεῖζόν
ἐστι τοῦ ἡμικυκλίου, προσ–
αναπλήρου τὸν κύκλον, καὶ
εὑρήσεις τοῦ ἐλάττονος τμή–
ματος τὸ ὕψος τῆς καθ–
έτου. καὶ λαβὲ τῆς βάσεως
τὸ ἥμισυ· γίνονται <ι>· ταῦτα
πολυπλασίασον ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <ρ>. ταῦτα μέρισον
εἰς τὰ <λ>· γίνονται <γ> γʹ·
ταῦτα πρόσθες τοῖς <λ>· γί–
νονται <λγ> γʹ· τοσούτων
ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος
ἤτοι διάμετρος τοῦ ὅλου
κύκλου, ἤγουν τοῦ μὲν
μείζονος τμήματος σχοι–
νίων <λ>, τοῦ δὲ ἥττονος
σχοινίων <γ> γʹ. εὑρίσκεται
τοίνυν τοῦ ὅλου κύκλου τὸ
ἐμβαδὸν ἀπὸ τοῦ προκει–
μένου ὑποδείγματος σχοι–
νίων <ωογ> καὶ λεπτοῦ ἑξη–
κοστοτρίτου ἑνός. ὁμοίως
εὑρίσκεται καὶ τοῦ ἥττο–
νος τμήματος τὸ ἐμβαδὸν
ἀπὸ τοῦ προκειμένου ὑπο–
δείγματος σχοινίων <μϛ> καὶ
λεπτῶν ἑξηκοστοτρίτων <β>.
εἶτα ὑπεξαιρεῖται ἀπὸ τοῦ
ὅλου κύκλου τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ἐλάττονος τμήματος,
καὶ τὸ ὑπολιμπανόμενον
ἔσται τοῦ μείζονος τμή–
ματος.
Ὅλου δὲ τοῦ κύκλου τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσεις οὕτως·
τὰ <λγ> γʹ ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <͵αρια> θʹ· ταῦτα ἀεὶ δε–
κάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται α̈ <͵βσκβ> ϛʹ ιηʹ· ὧν ἀεὶ τὸ ιδʹ·
γίνονται <ωογ> καὶ ξγʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ὅλου κύκλου.
Τοῦ δὲ ἐλάττονος τμήματος τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσεις
οὕτως· σύνθες τούτου τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον
ἤγουν τὰ <κ> καὶ <γ> γʹ· γίνονται <κγ> γʹ· τούτων λαβὲ τὸ
ἥμισυ· γίνονται <ια> #1ʹ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ <γ> γʹ
τῆς καθέτου· γίνονται <λη> #1ʹ ϛʹ ιηʹ. εἶτα λαβὲ τὸ ἥμισυ
τῆς βάσεως· γίνονται <ι>· ταῦτα πολυπλασίασον ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται <ζ> ζʹ· ταῦτα σύνθες
τοῖς <λη> #1ʹ ϛʹ ιηʹ· γίνονται μονάδες <μϛ> καὶ λεπτὰ ἑξη–
κοστότριτα <β>· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
ἐλάττονος τμήματος· ὧν ὑφελομένων ἀπὸ τοῦ ὅλου
κύκλου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν <ωογ> καὶ τοῦ ἑνὸς ἑξη–
κοστοτρίτου, ὑπολιμπάνονται σχοινία <ωκζ> παρὰ λεπτὸν
ἑξηκοστότριτον <α>, ἅτινά εἰσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος
τμήματος.
Τὴν δὲ περίμετρον τοῦ ὅλου κύκλου εὑρεῖν. ποίησον
τὴν διάμετρον τρισσάκις καὶ ζʹ· γίνονται <ρδ> #0ʹ ζʹ ιδʹ
καʹ· ἐξ ὧν τοῦ ἐλάττονος τμήματος τὴν περιφέρειαν·
καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται τοῦ μείζονος τμήματος ἡ περι–
φέρεια. εὑρήσεις δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος τὴν περι–
φέρειαν οὕτως· πολυπλασίασον τὰ <κ> τῆς βάσεως ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται <υ>· ὁμοίως καὶ τὰ <γ> γʹ τῆς καθέτου
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ια> θʹ· ταῦτα τετράκις· γίνονται
<μδ> γʹ θʹ. ταῦτα πρόσθες τοῖς <υ>· γίνονται ὁμοῦ <υμδ>
γʹ θʹ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται <κα> ιβʹ παρὰ τὸ
σύνεγγυς· τούτοις πρόσθες τὸ τέταρτον τῆς καθέτου,
ὅ ἐστιν #0ʹ γʹ· γίνονται <κα> #0ʹ γʹ ιβʹ· τοσούτων σχοινίων
ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἐλάττονος τμήματος. ταῦτα
ἆρον ἀπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου, τουτέστιν ἀπὸ
τῶν <ρδ> καὶ τοῦ #0ʹ ζʹ ιδʹ καʹ· λοιπὰ <πβ> #0ʹ γʹ πδʹ· τοσ–
ούτων σχοινίων ἔσται καὶ ἡ τοῦ μείζονος τμήματος
περιφέρεια.
Τμήματος δὲ κύκλου ὑποκειμένου καὶ τῆς βάσεως
ὑπεστρωμένης καὶ φανερᾶς οὔσης καὶ τῆς καθέτου,
ἥτις καὶ πρὸς ὀρθὰς καλεῖται, ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς
κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθείσης καὶ ἐστηριγμένης εὑ–
ρεῖν, πότερον ἡμικύκλιόν ἐστιν ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον τοῦ
ἡμικυκλίου. εὑρίσκεται δὲ οὕτως· ἐὰν ἡ πρὸς ὀρθὰς
ἴση τῷ ἡμίσει μέρει τῆς βάσεως τυγχάνῃ, ἡμικύκλιόν
ἐστι πλῆρες, ἐὰν δὲ μείζων, τοῦ ἡμικυκλίου μεῖζον,
ἐὰν δὲ ἐλάσσων, ἔλασσον.
Δύο δὲ κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ
μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν
εὑρεῖν μετρήσαντι ἅμα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφ–
ελόντι μετὰ τοῦτο ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα.
οἷον ἔστωσαν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κύκλοι δύο, ὁ μὲν
μείζων, ὁ δὲ ἐλάττων, καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος κύκλου
διάμετρος ἔστω σχοινίων <κϛ>, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος σχοι–
νίων <ιδ>. ἐὰν οὖν μετρήσωμεν ἑκάτερον κύκλον καὶ
ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάττονα, ἕξομεν καὶ
τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον μεμετρημέ–
νον. οἷον ἔστω τοῦ μείζονος κύκλου ἡ διάμετρος σχοι–
νίων <κϛ>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <χοϛ>· ταῦτα δεκάκις
καὶ ἅπαξ· γίνονται <͵ζυλϛ>· τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται <φλα>
ζʹ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύ–
κλου. ὁμοίως ἔστω καὶ ἡ τοῦ ἐλάττονος κύκλου διά–
μετρος σχοινίων <ιδ>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρϞϛ>·
ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται <͵βρνϛ>· τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται
<ρνδ>· τοσούτων ἔσται σχοινίων καὶ τοῦ ἐλάττονος κύ–
κλου τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν οὖν ἀφέλωμεν τὰ <ρνδ> ἀπὸ τῶν
<φλα> ζʹ, ὑπολιμπάνονται <τοζ> ζʹ, ἅπερ εἰσὶ τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν τῶν δύο κύκλων χωρίου.
καλεῖται δὲ τὸ τοιοῦτον ἴτυς.
{Ὅρος κύκλου εὑρεθεὶς ἐν ἄλλῳ βιβλίῳ τοῦ Ἥρωνος.}
Ἔχει ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον λόγον, οἷον
<κβ> πρὸς <ζ>.
ὥστε, ἐὰν δοθῇ ἡ τοῦ
κύκλου διάμετρος μονάδων
<ιδ>, καὶ χρῇ τὴν περίμετρον
ἀπὸ τῆς διαμέτρου εὑρεῖν,
δεῖ ποιήσαντας τὰ <ιδ> ἐπὶ
τὰ <κβ> καὶ τούτων τὸ ζʹ
λαβόντας τοσούτου ἀπο–
φαίνεσθαι τὴν περιφέρειαν.
οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ
κύκλου μονάδων <ιδ>. ταῦτα
εἰκοσάκις καὶ δίς· γίνονται
<τη>· τούτων τὸ ζʹ· γίνονται
<μδ>· ἔσται οὖν ἡ τοῦ κύκλου
περίμετρος μονάδων <μδ>.
Πάλιν, ἐὰν δοθῇ ἡ περι–
φέρεια μονάδων <μδ>, καὶ
χρῇ τὴν διάμετρον ἀπὸ τῆς
περιμέτρου εὑρεῖν, δεῖ ποι–
ήσαντας τὰ <μδ> ἑπτάκις καὶ
τῶν ἐκ τούτων γενομένων
τὸ κβʹ λαβόντας τοσούτου
ἀποφαίνεσθαι τὴν διάμε–
τρον. οἷον ἔστω ἡ τοῦ
κύκλου περίμετρος μονά–
δων <μδ>. ταῦτα ἑπτάκις·
γίνονται <τη>· τούτων τὸ
κβʹ· γίνονται <ιδ>· καὶ ἔστιν
ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος
μονάδων <ιδ>.
Δοθείσης τῆς περιμέτρου
καὶ τῆς διαμέτρου ἐν ἀριθ–
μοῖς τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου
καὶ τῆς διαμέτρου τετρα–
πλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου,
τὸ δὲ ὑπὸ τῆς περιμέτρου
καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου δι–
πλάσιον. ὥστε, ἐὰν δοθῇ
ἡ περιφέρεια μονάδων <μδ>
καὶ ἡ διάμετρος μονάδων
<ιδ>, καὶ λαβόντες τὰ <ιδ> τῆς
διαμέτρου πολυπλασιάσω–
μεν ἐπὶ τὰ <μδ> τῆς περι–
μέτρου, καὶ τῶν γενομένων
τὸ τέταρτον ληψόμεθα· ἔστι
δὲ μονάδες <ρνδ>· τοσούτου
ἐροῦμεν εἶναι τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ κύκλου.
ὥστε, ἐὰν ᾖ τοῦ κύκλου,
εἰ τύχοι, ἡ διάμετρος μο–
νάδων <ιδ>, δεῖ ποιήσαντα
τὰ <ιδ> ἐπὶ τὰ <κβ> καὶ τού–
των τὸ ζʹ λαβόντα ἀπο–
φαίνεσθαι τοσούτων τὴν
περιφέρειαν· ἔστι δὲ <μδ>.
Καὶ πάλιν, ἐὰν δοθῇ ἡ
περιφέρεια <μδ>, καὶ βουλώ–
μεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν,
ποιήσαντες τὰ <μδ> ἑπτάκις
τῶν γινομένων τὸ κβʹ ἕξο–
μεν τὴν διάμετρον· ἔστι
δὲ δεκατέσσαρες.
Δείκνυσι δὲ ἐν τῇ τοῦ
κύκλου μετρήσει, ὅτι τὸ
ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ
κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ
κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ
κύκλου. ὥστε, ἐὰν δοθῇ
ἡ περιφέρεια μονάδων <μδ>,
λαβόντες τῆς διαμέτρου τὸ
#0ʹ· ἔστι δὲ μονάδες <ζ>· πο–
λυπλασιάζομεν ἐπὶ τὰ <μδ>
καὶ τῶν γενομένων τὸ #0ʹ
ληψόμεθα· ἔστι δὲ μονά–
δες <ρνδ>· τοσούτων ἐροῦμεν
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἐὰν δὲ λάβωμεν τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ, ὅ ἐστι
μονάδες ἑπτά, καὶ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὰ <μδ> τῆς
περιμέτρου καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ ληψόμεθα·
ἔστι δὲ καὶ οὕτως μονάδες <ρνδ>· τοσούτου ἀποφαινό–
μεθα εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ἔστιν οὖν τῷ
κύκλῳ ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ τοῦ ἡμίσεος
τῆς περιφερείας. ὥστε, ἐὰν λάβωμεν τὸ ἥμισυ τῆς δια–
μέτρου, ὅ ἐστι μονάδες <ζ>, καὶ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὸ
ἥμισυ τῆς περιφερείας, τουτέστιν ἐπὶ τὰ εἰκοσιδύο·
γίνεται δὲ καὶ οὕτως <ρνδ>· τοσούτου ἐροῦμεν εἶναι τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ὁμοίως καὶ τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τοῦ τετάρτου
τῆς περιφερείας ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ. τῆς γὰρ διαμέτρου
οὔσης μονάδων <ιδ> καὶ τῆς περιμέτρου μονάδων <μδ>,
ἐὰν λάβωμεν τῆς περιμέτρου τὸ τέταρτον, ὅ ἐστι μο–
νάδες <ια>, καὶ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὴν ὅλην διάμετρον
ἤγουν ἐπὶ τὰ <ιδ>· ἔστι δὲ καὶ οὕτως <ρνδ>· τοσούτου
ἐροῦμεν εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου
ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον ποιήσασθαι, δεῖ
λαβόντας τὸ ιαʹ μέρος τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τοῦτο ποιήσαν–
τας τεσσαρεσκαιδεκάκις, εἶτα τῶν γενομένων πλευρὰν
τετραγωνικὴν λαβόντας τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὴν
τοῦ κύκλου διάμετρον. οἷον ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δο–
θέντος χωρίου μονάδων <ρνδ>. τούτων τὸ ιαʹ· γίνονται
<ιδ>· ταῦτα τεσσαρεσκαιδεκάκις· γίνονται <ρϞϛ>· τούτων
πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται <ιδ>· ἔσται οὖν ἡ διάμετρος
τοῦ κύκλου μονάδων <ιδ>, ἐκ δὲ τῆς διαμέτρου δῆλος ὁ
κύκλος ἐκ τῶν προειρημένων.
Δοθέντων συναμφοτέρων τῶν ἀριθμῶν ἤγουν τῆς
διαμέτρου, τῆς περιμέτρου καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύ–
κλου ἐν ἀριθμῷ ἑνὶ διαστεῖλαι καὶ εὑρεῖν ἕκαστον
ἀριθμόν. ποίει οὕτως· ἔστω ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς μονάδες
<σιβ>. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ <ρνδ>· γίνονται μυριάδες <γ> καὶ
<͵βχμη>. τούτοις προστίθει καθολικῶς <ωμα>· γίνονται μυ–
ριάδες τρεῖς καὶ <͵γυπθ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται
<ρπγ>· ἀπὸ τούτων κούφισον <κθ>· λοιπὰ <ρνδ>· ὧν μέρος
ιαʹ γίνεται <ιδ>· τοσούτου ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου. ἐὰν
δὲ θέλῃς καὶ τὴν περιφέρειαν εὑρεῖν, ὕφειλον τὰ <κθ>
ἀπὸ τῶν <ρπγ>· λοιπὰ <ρνδ>· ταῦτα ποίησον δίς· γίνονται
<τη>· τούτων λαβὲ μέρος ζʹ· γίνονται <μδ>· τοσούτου ἡ
περίμετρος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ <ιδ>
τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ <μδ> τῆς περιμέτρου· γίνονται
<χιϛ>· τούτων λαβὲ μέρος τέταρτον· γίνονται <ρνδ>· τοσ–
οῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὁμοῦ τῶν τριῶν ἀριθ–
μῶν μονάδες <σιβ>.
Δοθέντος κύκλου ἐντὸς τετραγώνου καὶ τῆς δια–
μέτρου τοῦ κύκλου οὔσης μονάδων <ζ> εὑρεῖν τὸ ἐμβα–
δὸν τῶν ἔξωθεν τοῦ κύκλου <δ> τμημάτων τοῦ τετρα–
γώνου. ποίει οὕτως· τὰ <ζ> τῆς διαμέτρου ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <μθ>· ὧν τὸ ζʹ ιδʹ· γίνονται <ι> #0ʹ· τοσούτων ἔσται
τὸ ἐμβαδὸν τῶν ἔξω τοῦ κύκλου τεσσάρων τμημάτων
τοῦ τετραγώνου.
Ἄλλως. τὰ <ζ> τῆς διαμέτρου ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<μθ>· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται <ρμζ>· τούτων τὸ ιδʹ·
γίνονται <ι> #0ʹ· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τῶν τεσσάρων
τμημάτων.
Ἑνὸς δὲ ἑκάστου τμήματος τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσεις
οὕτως· λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ #0ʹ· γίνονται <γ> #0ʹ· ταῦτα
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιβ> δʹ· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται
<λϛ> #0ʹ δʹ· τούτων μέρος ιδʹ γίνεται <β> #0ʹ ηʹ· τοσούτων
τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τμήματος.
Πενταγώνιον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ
ποδῶν <λε>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ
<λε> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <͵ασκε>· ταῦτα δὴ δωδεκάκις· γί–
νονται α̈ <͵δψ>· ὧν τὸ ζʹ· γίνονται <͵βρ>· τοσούτων ἔσται
ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
Ἐν ἄλλῳ βιβλίῳ τοῦ Ἥρωνος εὑρέθη οὕτως· ἔστω
ἑκάστη πλευρὰ ποδῶν δέκα· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<ρ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ε>· γίνονται <φ>· ὧν τὸ γʹ· γίνονται
<ρξϛ> #1ʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
Ἑξάγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ πο–
δῶν <λ>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ <λ>
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ϡ>· ταῦτα ἀεὶ τρισκαιδεκάκις· γί–
νονται α̈ <͵αψ>· ὧν τὸ εʹ· γίνονται <͵βτμ>· τοσούτων ἔσται
ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγωνίου.
Ἄλλως ἐν ἄλλῳ βιβλίῳ. ἔστω ἡ πλευρὰ τοῦ ἑξα–
γώνου ποδῶν <λ>. ποίει τὴν πλευρὰν ἐφ´ ἑαυτήν· γί–
νονται <ϡ>· τούτων τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται <τϞ>· ταῦτα
ἑξάκις· γίνονται <͵βτμ>· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ ἑξαγώνου. οὗτος γὰρ ἀκριβέστερος· τρι–
γώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τῇ μεθόδῳ ἐμέρισε τὸ ἑξάγω–
νον καὶ ἔστησε τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. οὕτως κεῖται καὶ
εἰς τὰ πλάτη τοῦ Ἥρωνος.
Ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη
πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ
<μγ>· γίνονται <͵δτ>· ὧν τὸ ιβʹ· γίνονται <τνη> γʹ· τοσούτων
ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.
Ὀκταγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη
πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα δὲ ἐπὶ τὰ
<κθ>· γίνονται <βϡ>· τούτων τὸ ϛʹ· γίνονται <υπγ> γʹ· τοσού–
των ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου.
Ἐνναγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη
πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <να>·
γίνονται <͵ερ>· τούτων τὸ ηʹ· γίνονται <χλζ> #0ʹ· τοσούτων
ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐνναγώνου.
Δεκαγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη
πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει
οὕτως· τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιε>·
γίνονται πόδες <͵αφ>· τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται πόδες <ψν>·
τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.
Ἑνδεκαγώνιον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ
ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
ποίει οὕτως· τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα ἐπὶ
τὰ <ξϛ>· γίνονται πόδες <͵ϛχ>· τούτων τὸ ζʹ· γίνονται πό–
δες <ϡμβ> #0ʹ γʹ μβʹ· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ ἑνδεκαγώνου.
Δωδεκαγώνιον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ
ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν <ι>· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβα–
δόν. ποίει οὕτως· τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρ>· ταῦτα
ἀεὶ ἐπὶ τὰ <με>· γίνονται <͵δφ>· ὧν τὸ δʹ· γίνονται <͵αρκε>·
τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δωδεκαγώνου.
Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὐκ ἔστιν ἰσό–
πλευρα καὶ ἰσογώνια, ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρού–
μενα μετρεῖται. τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχη–
μάτων, ὅσα δύνανται μετρεῖσθαι, ἐν τοῖς προλαβοῦσι
κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐξεθέμεθα.
Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει
δείκνυσιν, ὡς <ια> τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ
κύκλου ἴσα γίνεται ὡς ἔγγιστα δεκατέσσαρσι κύκλοις·
ὥστε, ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν <ι>,
δεήσει τὰ <ι> ἐφ´ ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ
τὰ <ια>, καὶ τούτων τὸ ιδʹ· γίνονται <οη> #0ʹ ιδʹ· τοσούτων
ἀποφαίνεσθαι χρὴ τοῦ κύκλου τὸ ἐμβαδόν.
{Προσθήκη Πατρικίου λαμπροτάτου θεωρήματος.}
Παραληφθέντος χωρίου ἄνισα πλάτη ἔχοντος καὶ
εἰς μῆκος πολλαπλάσιον ἐκτεινομένου, ἐπί τι μέρος
πλάτους ποδῶν <ζ>, προιόντα πάλιν ποδῶν <ε>, ἔτι προ–
ιόντα ποδῶν <γ>, εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως·
σύνθες τοῦς <γ> τόπους· γίνονται <ιε>· τούτων κράτει τὸ
τρίτον μέρος· γίνονται <ε>· ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος, εἰσὶ δὲ
τοῦ μήκους πόδες <κ>, γίνονται <ρ>· τοσούτων ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ ἀνισοπλατοῦς χωρίου.
Ἐὰν δὲ τοῦ αὐτοῦ χωρίου εἰς πλείονας τόπους
δεήσῃ λαβεῖν τὰ πλάτη διὰ τὸ διαφόρως αὐτὸ εἶναι
εἰς πλείονας τόπους ἄνισον, ὁσάκις ἐὰν λάβῃς τὰ πλάτη,
συνθήσας ταῦτα τοσαύτην μοῖραν λαβὼν ποίει ἐπὶ τὸ
μῆκος. οἷον, ἐὰν πεντάκις μετρήσῃς, τῶν συντεθέντων
τὸ εʹ κράτει, ἐὰν ἑπτάκις, τὸ ζʹ· καὶ οὕτως ἐφεξῆς τὸ
συναγόμενον ἐπὶ τὸ μῆκος ποίει, ὡς προείρηται.
Πεπλήρωται ἡ τῶν ἐπιπέδων κατὰ ἔκθεσιν Ἥρωνος
μέτρησις.
Προσθήκη Μακαρίου λαμπροτάτου θεωρήματος.
Εἰ ἀπὸ ἐμβαδοῦ τινος θέλω συστήσασθαι τρίγωνον
ἰσόπλευρον, ποιῶ οὕτως· τριακοντάκις τὸ προβληθὲν
ἐμβαδόν, καὶ τῶν γινομένων λαβὼν μερίδα ιγʹ τὸν ἐφ´
ἑαυτὴν πολυπλασιασμὸν τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς εἶναι
ἡγοῦμαι· εἶτα τούτου τὸν τετραγωνισμὸν ποιῶν σαφῶς
ἔχω τὸν ἀριθμὸν τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.
Τοῦ αὐτοῦ.
Ἔτι τριγώνου ἰσοπλεύρου ἡμῖν προβεβλήσθω κάθε–
τος ἔχουσα μονάδας <ϛ> πρὸς τοῖς <κ>. ἐὰν ἀπὸ ταύτης
θέλω εὑρεῖν τὸ ποσὸν μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς, ποιῶ
οὕτως· τὴν κάθετον ἀεὶ ἐπὶ τὰ δύο· εἶτα τῶν γινο–
μένων μερίδα γʹ λαμβάνων προστίθεμαι ταῖς κατὰ τὴν
κάθετον μονάσι καὶ οὕτως ἀποφαίνομαι τὴν πλευρὰν
τοῦ τριγώνου, πόσων ἐστὶ μονάδων.
Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ὀξυγωνίου αἱ περὶ τὴν
ὀρθὴν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης μεί–
ζονές εἰσιν ἐφ´ ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι.
καὶ παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ἀμβλυγωνίου αἱ
περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς
ὑποτεινούσης ἥττονές εἰσι πολυπλασιαζόμεναι πρὸς
ἑαυτάς.
καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρ–
θὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῇ λοιπῇ τῇ ὑποτεινούσῃ ἴσαι
εἰσὶν ἐφ´ ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι.
παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευ–
ραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντη
μεταλαμβανόμεναι.
καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου
τριπλάσιός ἐστι καὶ ἐφέβδομος.
{Εὐκλείδου εὐθυμετρικά.}
Τῶν εὐθυμετρικῶν δια–
στημάτων μέτρα ἐστὶ τάδε
δάκτυλος, παλαιστής, σπι–
θαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα,
ὀργυιά, ἄκενα, πλέθρον,
στάδιον, μίλιον· τούτων
δὲ ἐλάχιστόν ἐστι δάκτυ–
λος. ἔχει μὲν ὁ παλαιστὴς
δακτύλους <δ>, οὐγγίας <γ>,
ἡ δὲ σπιθαμὴ ἔχει παλαι–
στὰς <γ>, δακτύλους <ιβ>, οὐγ–
γίας <θ>, ὁ δὲ ποὺς ἔχει
παλαιστὰς <δ>, δακτύλους <ιϛ>,
οὐγγίας <ιβ>. ὁ πῆχυς ἔχει
πόδα <α> #0ʹ. τὸ βῆμα ἔχει
πήχεις <β>, πόδας <γ>. ἡ ὀρ–
γυιὰ ἔχει πήχεις <δ>, πόδας
<ϛ>. ἡ ἄκενα ἔχει πήχεις <ϛ> β̸,
πόδας <ι>. τὸ δὲ πλέθρον
τὸ εὐθυμετρικὸν ἔχει πή–
χεις <ξϛ> β̸, πόδας <ρ>. τὸ στά–
διον ἔχει πλέθρα <ϛ>, ὀρ–
γυιὰς <ρ>, πήχεις <υ>, πόδας
<χ>. τὸ μίλιον ἔχει στάδια
<ζ> #0ʹ, πόδας <͵δφ>, τὸ δὲ Ῥω–
μαϊκὸν μίλιον ἔχει πόδας
<͵ευ> τὸ καλούμενον παρ´
αὐτοῖς.
Εἰδέναι χρή, ὅτι ὁ δάκ–
τυλος πρῶτός ἐστιν καὶ
ὥσπερ μονάς. ὁ παλαιστὴς
δακτύλους ἔχει <δ>. ὁ ποὺς
ἔχει παλαιστὰς <δ>. ὁ πῆχυς
ἔχει πόδα <α> #0ʹ, τουτέστι
παλαιστὰς <ϛ>, δακτύλους
<κδ>. τὸ βῆμα ἔχει πῆχυν
<α> καὶ πόδα <α>, ὅ ἐστι πό–
δας <β> #0ʹ, παλαιστὰς <ι>, δακ–
τύλους <μ>. ἡ ὀργυιὰ ἔχει
βήματα <β> καὶ πόδα <α>, ὅ
ἐστι πήχεις <δ>, τουτέστι
πόδας <ϛ>, παλαιστὰς <κδ>,
δακτύλους <Ϟϛ>. ἡ ἄκενα
ἔχει ὀργυιὰν <α> #1ʹ, ὅ ἐστι
βήματα τέσσαρα, τουτέστι
πήχεις <ϛ> παὶ πόδα <α>, τουτ–
έστι πόδας <ι>, παλαιστὰς
<μ>, δακτύλους <ρξ>. τὸ πλέ–
θρον ἔχει ἀκένας <ι>· γίνον–
ται ὀργυιαὶ <ιϛ> πόδες <δ>,
τουτέστι βήματα <μ> ἢ πή–
χεις <ξϛ> καὶ ποὺς <α>· πόδας
<ρ>, παλαιστὰς <υ>. τὸ στά–
διον ἔχει πλέθρα <ϛ>, ἀκέ–
νας <ξ>, ὀργυιὰς <ρ>, βήματα
<σμ>, πήχεις <υ>, πόδας <χ>. τὸ
μίλιον ἔχει στάδια <ζ> ἥμισυ,
πλέθρα <με>, ἀκένας <υν>, ὀρ–
γυιὰς <ψν>, βήματα <͵αω>, πή–
χεις <͵γ>, πόδας <͵δφ>.
Τοῦ δὲ ποδός ἐστιν εἴδη <γ>, εὐθυμετρικός, ἐπίπεδος,
στερεός. εὐθυμετρικὸς μέν ἐστιν ὁ ἔχων μῆκος καὶ
πλάτος· τούτου δὲ τὸ μῆκος καταμετρεῖται. ἐπίπεδος
δέ ἐστιν ὁ ἔχων μῆκος ποδὸς <α>, πλάτος ποδὸς <α>· τού–
του δὲ τὰ ἐπίπεδα σχήματα καταμετρεῖται. ὁ δὲ στε–
ρεὸς ποὺς ἔχει μῆκος ποδὸς <α>, πλάτος ποδὸς <α>, πάχος
ποδὸς <α>· τούτου δὲ τὰ στερεὰ σχήματα καταμετρεῖται.
χωρεῖ δὲ ὁ στερεὸς ποὺς κεράμιον <α>, μοδίους <γ>, ἕκαστος
μόδιος ἀπὸ ξεστῶν Ἰταλικῶν ἀριθμῷ <ιϛ>.
Τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευ–
ρὰν ἐφ´ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιγ>· ὧν λʹ ἔστω τὸ ἐμ–
βαδόν. ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν πλευρὰν ἐφ´ ἑαυτήν· καὶ
τῆς βάσεως τὸ #0ʹ ἐφ´ ἑαυτό· ὕφειλον ἀπὸ τῶν συν–
αχθέντων καὶ τῶν καταλειφθέντων ποίει πλευρὰν τε–
τραγωνικήν· ἔστω ἡ κάθετος.
Ἐὰν δὲ ζητήσωμεν ἄλλου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
οἱουδηποτοῦν, πάντοτε ποίει τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθε–
τον· ὧν #0ʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Τετραγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν
πλευρὰν ἐφ´ ἑαυτήν· καὶ ἕξεις τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ τὴν
διαγώνιον τοῦ αὐτοῦ τετραγώνου, δὶς τὸ ἐμβαδόν· ὧν
πλευρὰ τετραγωνική.
Τετραγώνου ἑτερομήκους τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν
πλευρὰν ἐπὶ τὴν πλευράν· ἔστω τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ
τὴν διαγώνιον τοῦ αὐτοῦ ἑτερομήκους, ἑκάστην πλευ–
ρὰν ἐφ´ ἑαυτὴν μίξας· ὧν πλευρὰ τετράγωνος ἔστω ἡ
διαγώνιος.
Πενταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ε>· ὧν γʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Ἑξαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ϛ>· ὧν γʹ καὶ ιʹ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἑπταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <μγ>· ὧν ιβʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Ὀκταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <κθ>· ὧν ϛʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <να>· ὧν ηʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Δεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ιε>· ὧν #0ʹ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν πλευρὰν ἐφ´ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ
τὰ <λη>· ὧν εʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν. αὕτη ἡ ἀκριβεστέρα ἐστίν.
Ἑνδεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ξϛ>· ὧν ζʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Δωδεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ´
ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <με>· ὧν δʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Κύκλου ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίει τὴν διάμετρον ἐφ´ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ια>· ὧν
ιδʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Κύκλου τὴν περίμετρον εὑρεῖν. τὴν διάμετρον τρι–
πλασίασον καὶ πρόσβαλε τὸ ζʹ τῆς διαμέτρου· καὶ ἕξεις
τὴν περίμετρον. ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν διάμετρον ἐπὶ
τὰ <κβ> πολυπλασιάσας μέριζε· ὧν ζʹ.
Ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει τὴν
περίμετρον ἐφ´ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ζ>· ὧν πηʹ ἔστω
τὸ ἐμβαδόν.
Ἀπὸ περιμέτρου καὶ διαμέτρου, τουτέστιν ἐὰν μίξω
τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον, τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν.
ποίει οὕτως· ἀπὸ διαμέτρου καὶ περιμέτρου χωρίσαι
τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον· ποιῶ οὕτως· τὰς
ἀμφοτέρας φωνὰς ἐπὶ τὰ <ζ> καὶ μέριζε· ὧν κθʹ· ἕξεις
τὴν διάμετρον· καὶ τὰ ὑπολειφθέντα ἔστω ἡ περίμετρος.
τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὸ #0ʹ τῆς περιμέτρου πολυ–
πλασίασον, καὶ ἕξεις τὸ ἐμβαδόν.
{Περὶ ἡμικυκλίων.}
Τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν ἀπὸ τῆς διαμέτρου. τὴν διά–
μετρον ἐφ´ ἑαυτήν· ταῦτα <ια>· ὧν κηʹ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
Τὴν περίμετρον εὑρεῖν. τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ <κβ>
πολυπλασίαζε καὶ μέριζε· ὧν ιδʹ ἔστω ἡ περίμετρος.
Ἀπὸ τῆς περιμέτρου εὑρεῖν τὴν διάμετρον. τὴν
περίμετρον ἐπὶ τὰ <ιδ>· ὧν κβʹ ἔστω ἡ διάμετρος.
Ἀπὸ περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν περί–
μετρον ἐφ´ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ <ζ>· ὧν μδʹ ἔστω τὸ
ἐμβαδόν.
Ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τὴν περίμετρον εὑρεῖν. ποίει τὸ
ἐμβαδὸν ἐπὶ τὰ <μδ> καὶ μέριζε· ὧν ζʹ· καὶ τῶν γενα–
μένων λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· ἔστω ἡ περί–
μετρος.
Ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τὴν διάμετρον εὑρεῖν. ποίει τὸ
ἐμβαδὸν ἐπὶ τὰ <κη> καὶ μέριζε· ὧν ιαʹ· καὶ τῶν συν–
αχθέντων λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· ἔστω ἡ
διάμετρος.
{Ἥρωνος εἰσαγωγαί.}
Ἡ πρώτη γεωμετρία, καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδά–
σκει λόγος, τὰ περὶ τὴν γεωμετρίαν καὶ διανομὰς
κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ γὰρ
τῆς μετρήσεως ἐπίνοια παρ´ Αἰγυπτίοις ηὑρέθη διὰ
τὴν τοῦ Νείλου ἀνάβασιν· πολλὰ γὰρ φανερὰ ὄντα
χωρία πρὸ τῆς ἀναβάσεως τῇ ἀναβάσει ἀφανῆ ἐποίει,
πολλὰ δὲ μετὰ τὴν ἀπόβασιν φανερὰ ἐγίνετο, καὶ οὐκέτι
ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρῖναι τὰ ἴδια· ἐξ οὗ ἐπενό–
ησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν τῆς ἀπολειπο–
μένης ἀπὸ τοῦ Νείλου γῆς. χρῶνται δὲ τῇ μετρήσει
πρὸς ἑκάστην πλευρὰν τοῦ χωρίου ὅτε μὲν τῷ καλου–
μένῳ σχοινίῳ, ὅτε δὲ καλάμῳ, ὅτε δὲ πήχει, ὅτε δὲ
καὶ ἑτέροις μέτροις. χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς
ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος,
ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν
τῶν μετρήσεων καὶ τῶν διανομῶν.
Εἰς οὖν τὸν περὶ τῶν μετρήσεων λόγον ἀναγκαῖόν
ἐστιν εἰδέναι τὴν τῶν μέτρων ἰδέαν, πρὸς ὃ βούλεταί
τις ἀναμετρεῖν, καὶ ἑκάστου σχήματος τὸ εἶδος, καὶ
πῶς δεῖ ἀναμετρεῖν. ὑποδείξομεν δὲ πρῶτον τὴν τῶν
μέτρων ἰδέαν.
{Περὶ εὐθυμετρικῶν.}
Εὐθυμετρικὸν μὲν οὖν ἐστι πᾶν τὸ κατὰ μῆκος
μόνον μετρούμενον, ὥσπερ ἐν ταῖς σκουτλώσεσιν οἱ
στροφίολοι καὶ ἐν τοῖς ξυλικοῖς τὰ κυμάτια, καὶ ὅσα
πρὸς μῆκος μόνον μετρεῖται.
Ἔστι τῶν μέτρων εἴδη τάδε· δάκτυλος, παλαιστής,
διχάς, σπιθαμή, πούς, πυγών, πῆχυς, βῆμα, ξύλον, ὀρ–
γυιά, κάλαμος, ἄκενα, ἄμμα, πλέθρον, ἰούγερον, στά–
διον, δίαυλον, μίλιον, σχοῖνος, παρασάγγης [ἐλάχιστον
δὲ τούτων ἐστὶ δάκτυλος, καὶ πάντα τὰ ἐλάττονα μόρια
καλεῖται].
Ὁ μὲν οὖν παλαιστὴς ἔχει δακτύλους <δ>, ἡ δὲ διχὰς
ἔχει παλαιστὰς <β>, δακτύλους <η>.
Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς <γ>, δακτύλους <ιβ>· κα–
λεῖται δὲ καὶ [ὁ] ξυλοπριστικὸς πῆχυς.
Ὁ ποὺς ὁ μὲν βασιλικὸς καὶ Φιλεταίρειος λεγόμε–
νος ἔχει παλαιστὰς <δ>, δακτύλους <ιϛ>, ὁ δὲ Ἰταλικὸς ποὺς
ἔχει δακτύλους <ιγ> γʹ.
Ἡ πυγὼν ἔχει παλαιστὰς <ε>, δακτύλους <κ>.
Ὁ πῆχυς ἔχει παλαιστὰς <ϛ>, δακτύλους <κδ> [καλεῖται
δὲ καὶ ξυλοπριστικὸς πῆχυς].
Τὸ βῆμα ἔχει πῆχυν <α> β̸, παλαιστὰς <ι>, δακτύλους <μ>.
Τὸ ξύλον ἔχει πήχεις <γ>, πόδας <δ> #0ʹ, παλαιστὰς <ιη>,
δακτύλους <οβ>.
Ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις <δ>, πόδας Φιλεταιρείους <ϛ>,
Ἰταλικοὺς <ζ> εʹ.
Ὁ κάλαμος ἔχει πήχεις <ϛ> β̸, πόδας Φιλεταιρείους <ι>,
Ἰταλικοὺς <ιβ>.
Τὸ ἄμμα ἔχει πήχεις <μ>, πόδας Φιλεταιρείους <ξ>,
Ἰταλικοὺς <οβ>.
Τὸ πλέθρον ἔχει ἀκένας <ι>, πήχεις <ξϛ> β̸, πόδας Φιλ–
εταιρείους μὲν <ρ>, Ἰταλικοὺς δὲ <ρκ> [ἡ δὲ ἄκενα ἔχει
πόδας Φιλεταιρείους <ι> ἤτοι δακτύλους <ρξ>].
Τὸ ἰούγερον ἔχει πλέθρα <β>, ἀκένας <κ>, πήχεις <ρλγ> γʹ,
πόδας Φιλεταιρείους μὲν μήκους <σ>, πλάτους <ρ>, Ἰτα–
λικοὺς δὲ μήκους πόδας <σμ>, πλάτους <ρκ> [ὡς γίνεσθαι
ἐμβαδοὺς ἐν τετραγώνῳ β̈ <͵ηω>].
Τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα <ϛ>, ἀκένας <ξ>, πήχεις <υ>, πό–
δας Φιλεταιρείους μὲν <χ>, Ἰταλικοὺς δὲ <ψκ>.
Τὸ δίαυλον ἔχει στάδια <β>, πλέθρα <ιβ>, ἀκένας <ρκ>,
πήχεις <ω>, πόδας Φιλεταιρείους μὲν <͵ασ>, Ἰταλικοὺς δὲ
πόδας <͵αυμ>.
Τὸ μίλιον ἔχει στάδια <ζ> #0ʹ, πλέθρα <με>, ἀκένας <υν>,
πήχεις <͵γ>, πόδας Φιλεταιρείους μὲν <͵δφ>, Ἰταλικοὺς
δὲ <͵ευ>.
Ἡ σχοῖνος ἔχει μίλια <δ>, σταδίους <λ>.
Ὁ παρασάγγης ἔχει μίλια <δ>, σταδίους <λ>· ἔστι δὲ τὸ
μέτρον Περσικόν.
[Ἀλλὰ ταῦτα μὲν κατὰ τὴν παλαιὰν ἔκθεσιν· τὴν
δὲ νῦν κρατοῦσαν δύναμιν ἐν τοῖς προοιμίοις τοῦ
λόγου ὑπετάξαμεν].
Τὰ μὲν οὖν εὐθυμετρικὰ εἴδη εἰσὶν <ια>, δάκτυλος,
οὐγκία, παλαιστής, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, ὀρ–
γυιά, ἄκενα, πλέθρον, στάδιον· ἐλάχιστον δὲ τούτων
ἐστὶ δάκτυλος, καὶ πάντα τὰ ἐλάττονα μόρια καλεῖται.
Ἡ οὐγκία ἔχει δακτύλους <α> γʹ.
Ὁ παλαιστὴς ἔχει δακτύλους <δ>, οὐγκίας <γ>.
Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς <γ>, δακτύλους <ιβ>.
Ὁ ποὺς ἔχει παλαιστὰς <δ>, δακτύλους <ιϛ>.
Ὁ πῆχυς ἔχει παλαιστὰς <ϛ>, δακτύλους <κδ>.
Τὸ βῆμα ἔχει παλαιστὰς <ι>, δακτύλους <μ>.
Ἡ ὀργυιὰ ἔχει δακτύλους <Ϟϛ>, πόδας <ϛ>.
Ἡ ἄκενα ἔχει δακτύλους <ρξ>, πόδας <ι> Φιλεταιρείους·
καλεῖται δὲ ῥωμαϊστὶ περτίκα.
Τὸ πλέθρον ἔχει τὸ Ἑλληνικὸν πόδας <ρ> τὸ μῆκος
καὶ τὸ πλάτος πόδας <ρ> ἐν τετραγώνῳ.
Τὸ ἰούγερον ἔχει τὸ Ἑλληνικὸν τὸ μὲν μῆκος πό–
δας <σμ>, τὸ δὲ πλάτος πόδας <ρκ>, ὡς γίνεσθαι ἐμβα–
δοὺς ἐν τετραγώνῳ πόδας β̈ <͵ηω>.
Τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα <ϛ>, ἀκένας <ξ>.
Τὸ μίλιον ἔχει πόδας <͵ε>, βήματα <͵β>, ἀκένας <φ>.
Ἡ οὐγκία ἔχει ἐν τετραγώνῳ δάκτυλον <α> β̸ θʹ.
Ὁ παλαιστὴς ἔχει ἐν τετραγώνῳ δακτύλους <ιϛ>, ὁ
δὲ στερεὸς παλαιστὴς ἔχει οὐγκίας <κζ>, δακτύλους <ξδ>.
Ἡ δὲ τετράγωνος σπιθαμὴ ἔχει οὐγκίας <πα>, δακτύ–
λους <ρμδ>· ἡ δὲ στερεὰ σπιθαμὴ ἔχει οὐγκίας <ψκθ>,
δακτύλους <͵αψκη>.
Ὁ ποὺς ὁ τετράγωνος ἔχει οὐγκίας <ρμδ>, δακτύλους
<σνϛ>, στερεὸς δὲ οὐγκίας <͵αψκη>, δακτύλους <͵δϞϛ>.
Ὁ δὲ στερεὸς πῆχυς ἔχει οὐγκίας <͵εωλβ>, παλαιστὰς
<σιϛ>, δακτύλους <α><͵γωκδ>.
Τὸ βῆμα ἔχει ἐν τετραγώνῳ παλαιστὰς <ρ>, οὐγκίας
<ϡ>, δακτύλους <͵αχ>.
Ἡ τετράγωνος ὀργυιὰ ἔχει πόδας <λϛ>, ἡ δὲ τετρά–
γωνος ἄκενα ἔχει πόδας <ρ>.
Τὸ μίλιον ἔχει σταδίους <ζ> #0ʹ.
Ἡ σχοῖνος ἔχει σταδίους <μη>.
Ὁ παρασάγγης ἔχει σταδίους <ξ>.
Ὁ σταθμὸς ἔχει σταδίους <κ>.
Ὁ Ὀλυμπιακὸς ἀγὼν ἔχει ἱπποδρόμιον ἔχον στα–
δίους <η>, καὶ τούτου ἡ μὲν πλευρὰ ἔχει σταδίους <γ> καὶ
πλέθρον <α>, τὸ δὲ πλάτος πρὸς τὴν ἄφεσιν στάδιον <α>
καὶ πλέθρα <δ>· ὁμοῦ πόδες <͵δω>. καὶ πρὸς τῷ ἡρῴῳ τῷ
λεγομένῳ Ταραξίππου κάμπτοντες τρέχουσιν οἱ μὲν
ἡλικιῶται πάντες σταδίους <ϛ>, αἱ συνωρίδες αἱ μὲν πω–
λικαὶ κύκλους <γ>, αἱ δὲ τέλειαι <η>, ἅρματα τὰ μὲν πω–
λικὰ κύκλους <η>, τὰ δὲ τέλεια κύκλους <ιβ>.
Τὸ οὖν δεδηλωμένον ἐπεὶ τοσοῦτον ἔχει, ἀναγκαῖόν
ἐστι τῶν μέτρων δηλῶσαι μεθόδους, οἱ πόσοι πήχεις
πόσας δύνανται ὀργυιὰς ποιεῖν, οὕτως· ἡ ὀργυιὰ ἡ
εὐθυμετρικὴ ἔχει δακτύλους <Ϟϛ>, πόδας <ϛ>, πήχεις <δ>,
σπιθαμὰς <η>.
Ἄκενα εὐθυμετρικὴ ἔχει δακτύλους <ρξ>, πόδας <ι>,
πήχεις <ϛ> β̸, παλαιστὰς <μ>, σπιθαμὰς <ιγ> γʹ, ὀργυιὰν <α> β̸.
Πλεθρία εὐθυμετρικὴ ἔχει δακτύλους <͵αχ>, πόδας <ρ>,
πήχεις <ξϛ> β̸, παλαιστὰς <υ>, σπιθαμὰς <ρλγ> γʹ, ὀργυιὰς
<ιϛ> β̸, ἀκένας <ι>.
Πλινθίον εὐθυμετρικὸν ἔχει δακτύλους <͵βυ>, πόδας
<ρν>, πήχεις <ρ>, παλαιστὰς <χ>, σπιθαμὰς <σ>, ὀργυιὰς <κε>,
ἀκένας <ιε>, πλέθρον <α> #0ʹ.
Στάδιον εὐθυμετρικὸν ἔχει δακτύλους <͵θχ>, πόδας
<χ>, πήχεις <υ>, παλαιστὰς <͵βυ>, σπιθαμὰς <ω>, ὀργυιὰς <ρ>,
ἀκένας <ξ>, πλέθρα <ϛ>, πλινθία <δ>.
Μίλιον εὐθυμετρικὸν ἔχει δακτύλους <ζ><͵β>, πόδας
<͵δφ>, πήχεις <͵γ>, παλαιστὰς <α><͵η>, σπιθαμὰς <͵ϛτοε>, ὀργυιὰς
<ψν>, ἀκένας <υν>, πλέθρα <με>, πλινθία <λ>, στάδια <ζ> #0ʹ.
φασὶ δὲ καὶ τὸ βῆμα ἔχειν πήχεις <β>, ὡς καὶ ἐν τούτῳ
ἐπίστασθαι.
Εἰ δὲ θέλεις εἰς τὰ μέτρα παρεμβαλεῖν τι, σχοῖνος
εὐθυμετρικός, ἣν οἱ Αἰγύπτιοι πλειονεσ προσαγορεύ–
ουσιν ☩ ὁ παρασάγγης ἔχει δακτύλων <κη> μυριάδας <͵η>·
γίνονται πήχεις <α><͵β>, πόδες <α><͵η>, σπιθαμαὶ <β><͵δ>, πα–
λαισταὶ <ζ><͵β>, ὀργυιαὶ <͵γ>, ἄκεναι <͵αω>, πλέθρα <ρπ>, πλιν–
θία <ρκ>, στάδια <λ>, μίλια <δ>.
Περὶ μέτρων καὶ σταθμῶν ὀνομασίας.
Πᾶν τάλαντον ἰδίας ἔχει μνᾶς <ξ>, ἡ δὲ μνᾶ στα–
τῆρας <κε>, ὁ δὲ στατὴρ δραχμάς, αἵ εἰσιν ὁλκαί, <δ>· ἔχει
οὖν τὸ τάλαντον μνᾶς μὲν <ξ>, στατῆρας δὲ <͵αφ>, δραχμὰς
δὲ <͵ϛ>. ἡ δὲ δραχμὴ ὀβολοὺς ἔχει <ϛ>, ὁ δὲ ὀβολὸς χαλ–
κοῦς <η>· ἔχει οὖν ἡ δραχμὴ χαλκοῦς <μη>.
Τὸ Ἀττικὸν τάλαντον ἰσοστάσιον μὲν τῷ Πτολε–
μαικῷ καὶ Ἀντιοχικῷ καὶ ἰσάριθμον ἐν πᾶσι, δυνάμει
δὲ τοῦ μὲν Πτολεμαικοῦ κατὰ τὸ νόμισμα τετραπλάσιον,
ἐπίτριτον δὲ τοῦ Ἀντιοχικοῦ, τῷ δὲ Τυρίῳ ἴσον. ἀνα–
λόγως δὲ τῇ περὶ τὸ τάλαντον εἰρημένῃ διαφορᾷ καὶ
τἆλλα παραληφθήσεται· μνᾶ τε γὰρ μνᾶς καὶ στατὴρ
στατῆρος καὶ δραχμὴ δραχμῆς ταὐτὰ διοίσει, ὅσην αἱρεῖ
ἐπὶ τοῦτο διαφοράν.
Οἶδα δὲ καὶ ξυλικὸν ἐν Ἀντιοχεία τάλαντον ἕτερον,
ὃ μνᾶς μὲν ἰδίας ἔχει <ξ>, ἑξαπλάσιον δὲ σχεδὸν τῷ τοῦ
νομίσματος ἀριθμῷ· τό τε ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ξυλικὸν τῷ
πέμπτῳ διαφέρει πρὸς τὸ προειρημένον ἐπιχώριον
περιττεῦον.
Τὸ δὲ παρ´ Ὁμήρῳ τάλαντον ἴσον ἐδύνατο τῷ μετὰ
ταῦτα Δαρεικῷ· ἄγει οὖν τὸ χρυσοῦν τάλαντον Ἀττι–
κὰς δραχμὰς δύο, γράμματα <ϛ>, τετάρτας δηλαδὴ τέσ–
σαρες.
Οὐ λανθάνει δέ με καὶ τῶν δραχμῶν εἶναι πλείους
διαφοράς· τήν τε γὰρ Αἰγιναίαν καὶ τὴν Ῥοδίαν μνᾶν
τῆς Πτολεμαικῆς εἶναι πενταπλάσιον, ἑξαπλασίαν δὲ
τὴν νησιωτικὴν οὕτω προσαγορευομένην.
Τῇ οὖν Ἀττικῇ πρός τε σταθμὸν καὶ νόμισμα
χρηστέον· ἰσοδύναμος γάρ ἐστι καὶ ἰσοστάσιος τῇ Ἰτα–
λικῇ μνᾷ· στατήρων ἐστὶν <κε>, ἡ δὲ Ἰταλικὴ λίτρα στα–
τήρων <κδ>· αἱ δὲ λοιπαὶ μναῖ διάφοροι.
Ἡ λίτρα ποιεῖ οὐγγίας <ιβ> καὶ ἡ οὐγγία δραχμὰς <η>,
ἡ δὲ δραχμὴ γραμμάτων ἐστὶ τριῶν, τὸ γράμμα ὀβολοὶ
<β>. πάλιν τὸ γράμμα ψεμμῶν τριῶν, ὁ θέρμος κερα–
τίων <β>, ὡς εἶναι τὴν λίτραν δραχμῶν <Ϟϛ>, αἳ ποιοῦσι
κεράτια <͵αψκη>. γίνεται οὖν τὸ τάλαντον λιτρῶν <ξβ> #0ʹ
ἐν νομίσματι· τὸ δὲ ξυλικὸν ἐν Ἀντιοχείᾳ τάλαντόν
ἐστι λιτρῶν <τοε>.
Διαιρεῖται δὲ ἐκ περιουσίας καὶ τὸ δηνάριον κατὰ
Ῥωμαίους εἰς μέρη <͵ασνβ>· ἔχει γὰρ μέρη <ιβ>, νούμμους
<δ>, ἀσσάρια <ιϛ>· ὁ δὲ νοῦμμος οὐγγίαν ἔχει τῷ σταθμῷ.
τὸ ἀσσάριον διαιρεῖται εἴς τε #0ʹ καὶ γʹ καὶ δʹ καὶ ϛʹ
καὶ ηʹ καὶ θʹ καὶ ιʹ καὶ ιαʹ καὶ ιβʹ καὶ ιϛʹ καὶ ιηʹ
καὶ κδʹ καὶ λϛʹ καὶ μʹ καὶ νʹ καὶ οβʹ, τὰ δὲ μέρη ταῦτα
ἰδίας ὀνομασίας ἔχει παρὰ τοῖς Ῥωμαίοις λογισταῖς.
{Περὶ μέτρων.}
Ὁ ἀμφορεὺς παρ´ ἐνίοις λέγεται μετρητής· ἔχει
οὖν ἡμιαμφόρια δύο, ἃ καλοῦσί τινες κάδους, Ῥωμαῖοι
δὲ οὔρνας· βρόχους δὲ ἔχει <δ>, χόας <η>, οὓς δὴ κογγία
λέγουσι, κάβους δὲ ἡμεῖς. ὁ δὲ χοῦς χωρεῖ ξέστας <ϛ>,
ὡς τὸν ἀμφορέα εἶναι ξεστῶν <μη>. ὁ δὲ Ἀντιοχικὸς με–
τρητὴς τοῦ Ἰταλικοῦ ἐστι διπλάσιος καὶ ϛʹ.
Ὁ ξέστης διαιρεῖται εἰς κοτύλας <β>, ἡ κοτύλη εἰς
ὀξύβαφα <β>, τὸ ὀξύβαφον εἰς κυάθους <γ>, ὁ κύαθος εἰς
μύστρια <δ>, ἃ δὴ λίστρια ὀνομάζουσιν, ὁ μύστρος ἤτοι
τὸ λίστριον εἰς κοχλιάρια δύο. ὁ ξέστης ἀναλύεται εἰς
κοχλιάρια <Ϟϛ>, καὶ τὰ ἐλαιρὰ παραπλησίως, πλὴν ὅτι
ἀπὸ τοῦ καλουμένου κεντιναρίου τὴν ἀρχὴν ἔχει. ἔστι
δὲ ὁ μετρητὴς ἐλαιρὸς δυνατὰ ἔχων <ιϛ>, καὶ καλεῖται
ὁ μο εκ ταῖς.
Ὁ μόδιος ἔχει ἡμιέκτα δύο, τὸ ἡμίεκτον χοίνικας <δ>,
ὁ χοῖνιξ ξέστας <β>, ὡς τὸν μόδιον εἶναι ξέστας <ιϛ>. καὶ
τὰ λεπτὰ δὲ μέτρα τῶν ξηρῶν ὁμοίως τοῖς τῶν ὑ–
γρῶν. ὁ Πτολεμαικὸς δὲ μέδιμνος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ
Ἀττικοῦ καὶ συνέστηκεν ἐξ ἀρταβῶν μὲν τῶν παλαιῶν
<β>· ἦν γὰρ ἡ ἀρτάβη μοδίων <δ> #0ʹ, νῦν δὲ διὰ τὴν
Ῥωμαικὴν χρῆσιν ἡ ἀρτάβη χρηματίζει <γ> γʹ.
Ὁ κόρος ὁ Φοινικικὸς καλούμενος σάτων ἐστὶ <λ>, τὸ
σάτον μοδίου τὸ ϛʹ. ὁ χοῦς τὸ ἑξάξεστον μέτρον τὸ
μὲν τοῦ οἴνου σταθμῷ ἐστιν Λ̸ <θ>, τὸ δὲ τοῦ μέλιτος
Λ̸ <ιε>· καὶ πάσης ὕλης σταθμὸς διάφορος. ἡ οὐγγία
τοῦ πεπέρεος κόκκους ἔχει <υ>, ἡ δὲ λίτρα ὑφ´ ἓν <͵ε>.
{Ἥρωνος μετρικά.}
Τὸ ἰούγερον ἔχει ἀκαίνας <σ>, γεϊκῶν ποδῶν <͵βυ>·
μήκους γὰρ ἔχει ἀκαίνας <κδ>, διαιρεῖται δὲ εἰς <κ> μέρη
ἀνὰ <ιβ>· γίνονται πόδες <σμ>· πλάτους δὲ ἔχει δώδεκα
ἀκαίνας· γίνονται πόδες <ρκ>. ἐὰν δὲ τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ
πλάτος, γίνονται πόδες β̈ <͵ηω>. ἡ ἄκαινα πόδας ἔχει
<ιβ>· γίνονται παλαισταὶ <μη>. ὁ ποὺς ἔχει παλαιστὰς <δ>,
δακτύλους <ιϛ>. ὁ πῆχυς ὁ εὐθυμετρικὸς ἔχει πόδα ἕνα
#0ʹ· ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει ὁμοίως πόδα <α> #0ʹ, δακτύ–
λους <κδ>.
ἐὰν τὸ πλάτος τοὺς <κδ> ἐπὶ τοὺς <κδ>, γίνονται
δάκτυλοι <φοϛ>· τούτους ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται ἀγελαῖοι
δάκτυλοι α̈ <͵γωκδ>, ξέσται ὑγροὶ <μη>, ξηροὺς δὲ χωρεῖ
μοδίους Ἰταλικοὺς <λε>· ἐπὶ <λε>· γίνονται <͵ασκε>· καὶ ταῦτα
πολυπλασίασον ἑνδεκάκις· γίνονται α̈ <͵γυοε>.
Ἔστι δὲ ἡ λιπαρὰ γῆ ἐν σπόρου καὶ γεωμένων ἡ
μελάγγεως γῆ ἡ παρὰ πᾶσιν ἐπαινουμένη, οἵα στέγει
ὑετόν· ταύτῃ μετρεῖται ἰούγερα <ρ> γεϊκὸν ἓν τῆς με–
λαγγέου καὶ λιπαρᾶς· καὶ τῆς ποταμοχόου ταύτης μιᾶς
ἑκατοστῆς ἡ γεωμετρία ἐν ἰσότητι μετρεῖ ἰούγερα <ρ>
γεϊκὸν ἕν, τῆς δὲ ὑπογέου ἤτοι βαθυγέου μετρεῖ ἰούγερα
<ρκε> γεϊκὸν ἕν, τῆς δὲ ἐρυθρᾶς ἤτοι κοκκίνου μετρεῖ
ἰούγερα <ρκε> γεϊκὸν ἕν, τῆς δὲ παγάδος μετρεῖ ἰούγερα
<ρλγ> γεϊκὸν ἕν, τὴν δὲ ὑπὸ ποταμοῦ ἐπιψαμμιζομένην
μετρεῖ ἰούγερα <ρη> γεϊκὸν ἕν, τὴν δέ γε τραχεῖαν καὶ
ἀμμώδη μετρεῖ ἰούγερα <σν> γεϊκὸν ἕν. ἄμπελον νεοκέν–
τητον μετρεῖ ἰούγερα <ρ> γεϊκὸν ἕν· ἔρρουν ἔρρειθρον
μετρεῖ ἰούγερα <β> γεϊκὸν ἕν· ἐννιτρόγεων μετρεῖ ἰού–
γερα <ρ> κεφαλὴ μία· χορτοκοπίου ἰούγερα <ρκε> κεφαλὴ
μία. τὸ ἰούγερον ἔχει πήχεις <ρλγ> γʹ.
Εὑρεῖν δύο χωρία τετράγωνα, ὅπως τὸ τοῦ πρώτου
ἐμβαδὸν τοῦ τοῦ δευτέρου ἐμβαδοῦ ἔσται τριπλάσιον.
ποιῶ οὕτως· τὰ <γ> κύβισον· γίνονται <κζ>· ταῦτα δίς·
γίνονται <νδ>. νῦν ἆρον μονάδα <α>· λοιπὸν γίνονται <νγ>.
ἔστω οὖν ἡ μὲν μία πλευρὰ ποδῶν <νγ>, ἡ δὲ ἑτέρα
πλευρὰ ποδῶν <νδ>. καὶ τοῦ ἄλλου χωρίου οὕτως· θὲς
ὁμοῦ τὰ <νγ> καὶ τὰ <νδ>· γίνονται πόδες <ρζ>· ταῦτα ποίει
ἐπὶ τὰ <γ> ... λοιπὸν γίνονται πόδες <τιη>. ἔστω οὖν ἡ
τοῦ προτέρου πλευρὰ ποδῶν <τιη>, ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ
ποδῶν <γ>· τὰ δὲ ἐμβαδὰ τοῦ ἑνὸς γίνεται ποδῶν <ϡνδ>
καὶ τοῦ ἄλλου ποδῶν <͵βωξβ>.
Εὑρεῖν χωρίον χωρίου τῇ περιμέτρῳ ἴσον, τὸ δὲ
ἐμβαδὸν τοῦ ἐμβαδοῦ τετραπλάσιον. ποιῶ οὕτως· τὰ
<δ> κύβισον ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες <ξδ>· ἆρον μονάδα
<α>· λοιπὸν γίνονται πόδες <ξγ>· τοσούτου ἑκάστη τῶν
περιμέτρων τῶν <β> παραλλήλων πλευρῶν. διαστεῖλαι
οὖν τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· θὲς τὰ <δ>· ἆρον μο–
νάδα <α>· λοιπὸν <γ>· ἡ μία οὖν πλευρὰ ποδῶν <γ>. ἡ δὲ
ἑτέρα πλευρὰ οὕτως· τῶν <ξγ> ἆρον τὰ <γ>· λοιπὸν μένουσι
πόδες <ξ>. τοῦ δὲ ἑτέρου χωρίου ποίει οὕτως· τὰ <δ> ἐφ´
ἑαυτά· γίνονται πόδες <ιϛ>· ἀπὸ τούτων ἆρον μονάδα <α>·
λοιπὸν γίνονται πόδες <ιε>· τοσούτων ἔστω ἡ πρώτη
πλευρά, ποδῶν <ιε>. ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ οὕτως· ἆρον τὰ
<ιε> τῶν <ξγ>· λοιπὸν γίνονται πόδες <μη>· ἔστω ἡ ἄλλη
πλευρὰ ποδῶν <μη>· τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνὸς ποδῶν <ψκ>
καὶ τοῦ ἄλλου ποδῶν <ρπ>.
Χωρίον τετράγωνον ἔχον τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περι–
μέτρου ποδῶν <ωϞϛ>· διαχωρίσαι τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς
περιμέτρου. ποιῶ οὕτως· ἔκθου καθολικῶς μονάδας
<δ>· ὧν #0ʹ γίνεται πόδες <β>. ταῦτα ποίησον ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται πόδες <δ>. σύνθες ἄρτι μετὰ τῶν <ωϞϛ>· ὁμοῦ
γίνονται πόδες <ϡ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται
ποδῶν <λ>. καὶ ἀπὸ τῶν <δ> ὕφειλον τὸ #0ʹ· γίνονται πό–
δες <β>· λοιπὸν γίνονται πόδες <κη>. τὸ οὖν ἐμβαδόν
ἐστιν ποδῶν <ψπδ>, καὶ ἡ περίμετρος ἔστω ποδῶν <ριβ>·
ὁμοῦ σύνθες ἄρτι τὰ πάντα· γίνονται πόδες <ωϞϛ>· τοσ–
ούτων ἔστω τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου, πο–
δῶν <ωϞϛ>.
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔστω ἡ περίμετρος πο–
δῶν <ν>· διαχωρίσαι τὰς πλευρὰς ἀπ´ ἀλλήλων. ποιῶ
οὕτως κατὰ τὴν Πυθαγορικὴν μέθοδον· ἐπεί ἐστι τὸ
παρὰ Πυθαγόρου πρῶτον τρίγωνον ὀρθογώνιον ηὑρη–
μένον τὸ γʹ δʹ εʹ, ποίει κοινωνοὺς τοὺς <γ>· ὁ πρῶτος
ποδῶν <γ>, ὁ δεύτερος ποδῶν <δ>, ὁ γʹ ποδῶν <ε>, κοινὰ
δὲ αὐτοῖς τὰ πάντα ἔστω ποδῶν <ν>. ἔστω οὖν τῷ μὲν
πρώτῳ ποδῶν <ιβ> #0ʹ, τῷ δὲ δευτέρῳ ποδῶν <ιϛ> β̸, τῷ
δὲ τρίτῳ ποδῶν <κ> #0ʹ γʹ· ὁμοῦ ἔστω τὰ πάντα ποδῶν
<ν>, ὅ ἐστι περίμετρος τοῦ τριγώνου.
Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν <ε>· εὑρεῖν
τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· σκέψαι τὰ <ε> ἐπί τινα ἀριθ–
μὸν τετράγωνον ἔχοντα <ϛ>, ἵνα πολυπλασιασθέντα τρι–
γώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν ποιήσῃ. πολυπλασι–
ασθέντα δὲ ἐπὶ τὸν <λϛ> γίνονται πόδες <ρπ>, καὶ ἔσται
τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδόν, οὗ ἐστιν ἡ κάθετος
ποδῶν <θ>, ἡ δὲ βάσις ποδῶν <μ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα πο–
δῶν <μα>. καὶ τὰ <ρπ> μερίζω παρὰ τὸν <ε>, καὶ <λϛ> ἐστιν,
μήκει δὲ ἕξ. λαβὲ τὸ ϛʹ τῶν πλευρῶν, τουτέστι τῶν
<θ>· γίνεται ποὺς <α> #0ʹ· καὶ τῶν <μ> τὸ ϛʹ· γίνεται ποδῶν
<ϛ> β̸ ἡ βάσις· καὶ τῶν <μα> τὸ ϛʹ· γίνεται ποδῶν <ϛ> #0ʹ γʹ
ἡ ὑποτείνουσα. τὸ οὖν ἐμβαδὸν ποδῶν <ε>.
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν <ιβ>, ἡ
δὲ βάσις ποδῶν <ιϛ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν <κ>· γίνε–
ται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν <Ϟϛ>. ταῦτα μερίσαι εἰς ἄνδρας
<ιϛ> ἑκάστῳ πόδας <ϛ> ἐν ὀρθογωνίοις τριγώνοις. ποιῶ
οὕτως· μέρισον τὸν <Ϟϛ> εἰς <ϛ>· γίνονται πόδες <ιϛ>· ὧν
πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν <δ>. ἄρτι λαμβάνω
τῆς καθέτου τὸ δʹ· γίνονται πόδες <γ>· καὶ τῆς βάσεως
τὸ δʹ· γίνονται πόδες <δ>· καὶ τῆς ὑποτεινούσης τὸ δʹ·
γίνονται πόδες <ε>· καὶ ἔσται <ιϛ> τρίγωνα ἔχοντα τὴν
μὲν κάθετον ποδῶν <γ>, τὴν δὲ βάσιν ποδῶν <δ>, τὴν δὲ
ὑποτείνουσαν ποδῶν <ε>, τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <ϛ>.
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν <ιβ> [τὸ
ἐμβαδὸν <Ϟϛ>]· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν ὑποτεί–
νουσαν. ποιῶ οὕτως· προστιθῶ τοῖς <ιβ> τῆς καθέτου τὸ
γʹ· γίνονται πόδες <δ>· ὁμοῦ γίνονται πόδες <ιϛ>· τοσούτων
ἔστω ἡ βάσις, ποδῶν <ιϛ>. πάλιν προστιθῶ τῆς βάσεως
τὸ δʹ· γίνονται πόδες <δ>· ὁμοῦ γίνονται πόδες <κ>· ἔστω
ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν <κ>. τὸ ἐμβαδὸν ἔστω ποδῶν <Ϟϛ>.
Ἐὰν δὲ τριγώνου ὀρθογωνίου δοθείσης τῆς βάσεως
ποδῶν <κδ> ζητοῦμεν τὴν κάθετον καὶ τὴν ὑποτείνουσαν,
ποιῶ οὕτως· ὕφειλον τῆς βάσεως τὸ δʹ· γίνονται πό–
δες <ϛ>· λοιπὸν μένουσι πόδες <ιη>· ἔστω ἡ κάθετος πο–
δῶν <ιη>. πάλιν πρόσθες τῆς βάσεως τὸ δʹ· γίνονται
πόδες <ϛ>· ὁμοῦ πρόσθες τῇ βάσει· γίνονται πόδες <λ>·
ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν <λ>. τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν <σιϛ>.
ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης εὑρεῖν τὴν βάσιν
καὶ τὴν κάθετον, ποίει οὕτως· ἐάν ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα
ποδῶν <λ>, ὕφειλον τὸ εʹ μέρος τῶν <λ>· γίνονται <ϛ>· λοι–
πὸν μένουσι πόδες <κδ>· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν <κδ>. πάλιν
ἀπὸ τῶν <κδ> ποδῶν τῆς βάσεως ὕφειλον τὸ δʹ· γίνον–
ται πόδες <ϛ>· λοιπὸν μένουσι πόδες <ιη>· ἔστω ἡ κάθ–
ετος ποδῶν <ιη>. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <σιϛ>.
Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περι–
μέτρου ποδῶν <σπ>· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ εὑ–
ρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἀεὶ ζήτει τοὺς ἀπαρτί–
ζοντας ἀριθμούς· ἀπαρτίζει δὲ τὸν <σπ> ὁ δὶς τὸν <ρμ>,
ὁ δʹ τὸν <ο>, ὁ εʹ τὸν <νϛ>, ὁ ζʹ τὸν <μ>, ὁ ηʹ τὸν <λε>, ὁ
ιʹ τὸν <κη>, ὁ ιδʹ τὸν <κ>. ἐσκεψάμην, ὅτι ὁ <η> καὶ <λε>
ποιήσουσι τὸ δοθὲν ἐπίταγμα. τῶν <σπ> τὸ ηʹ· γίνονται
πόδες <λε>. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν <η>· λοιπὸν
μένουσιν <ϛ> πόδες. τὰ οὖν <λε> καὶ τὰ <ϛ> ὁμοῦ γίνονται
πόδες <μα>. ταῦτα ποίει ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες
<͵αχπα>. τὰ <λε> ἐπὶ τὰ <ϛ>· γίνονται πόδες <σι>· ταῦτα ποίει
ἀεὶ ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται πόδες <͵αχπ>. ταῦτα ἆρον ἀπὸ
τῶν <͵αχπα>· λοιπὸν μένει <α>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
γίνεται <α>. ἄρτι θὲς τὰ <μα> καὶ ἆρον μονάδα <α>· λοιπὸν
<μ>· ὧν #0ʹ γίνεται <κ>· τοῦτό ἐστιν ἡ κάθετος, ποδῶν <κ>.
καὶ θὲς πάλιν τὰ <μα> καὶ πρόσθες <α>· γίνονται πόδες
<μβ>· ὧν #0ʹ γίνεται πόδες <κα>· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν
<κα>. καὶ θὲς τὰ <λε> καὶ ἆρον τὰ <ϛ>· λοιπὸν μένουσι
πόδες <κθ>. ἄρτι θὲς τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν· ὧν
#0ʹ γίνεται πόδες <σι>· καὶ αἱ τρεῖς πλευραὶ περιμετρού–
μεναι ἔχουσι πόδας <ο>· ὁμοῦ σύνθες μετὰ τοῦ ἐμβαδοῦ·
γίνονται πόδες <σπ>.
Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περι–
μέτρου ποδῶν <σο>· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ τὸ
ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἀεὶ ζήτει τοὺς ἀπαρτίζοντας
ἀριθμούς, ὡς καὶ ἐπὶ τοῦ πρώτου· ἀπαρτίζει μονάδας
τὸν <σο> ὁ δὶς τὸν <ρλε>, ὁ γʹ τὸν Ϟ, ὁ εʹ τὸν <νδ>, ὁ ϛʹ
τὸν <με>, ὁ θʹ τὸν <λ>, ὁ ιʹ τὸν <κζ>. ἐσκεψάμην, ὅτι <ϛ> καὶ
<με> ποιήσει τὸ ἐπιταχθέν. τὸ ϛʹ τῶν <σο>· γίνονται
<με> πόδες. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν <ϛ>· λοιπὸν
<δ>. τὰ <με> καὶ τὰ <δ> ὁμοῦ σύνθες· γίνονται <μθ>. ταῦτα
ποιήσομεν ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες <͵βυα>· καὶ τὰ <με>
ποίησον ἐπὶ τὰ <δ>· γίνονται πόδες <ρπ>. ταῦτα διὰ παν–
τὸς ποίει ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται πόδες <͵αυμ>. ἆρον αὐτὰ
ἀπὸ τῶν <͵βυα>· λοιπὸν μένουσιν <ϡξα>· ὧν πλευρὰ τε–
τραγωνικὴ γίνεται ποδῶν <λα>. ἄρτι θὲς τὰ <μθ> καὶ
ἆρον τὰ <λα>· γίνονται πόδες <ιη>· ὧν #0ʹ γίνεται πόδες
<θ>· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν <θ>. καὶ θὲς τὰ <μθ> καὶ τὰ
<λα>· ὁμοῦ <π> γίνονται πόδες. ὧν #0ʹ γίνεται <μ>· ἔστω ἡ
βάσις ποδῶν <μ>. καὶ θὲς τὰ <με> καὶ ἆρον τὰ <δ>· λοιπὸν
μένουσι πόδες <μα>· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν <μα>. τὸ
δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <ρπ>. ἄρτι σύνθες ὁμοῦ τὰς <γ> πλευ–
ρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες <σο>.
Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περι–
μέτρου ποδῶν <ρ>· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ τὸ
ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σκέπτου τὸν ἀπαρτίζοντα ἀριθ–
μόν· ἐσκεψάμην, ὅτι ὁ <ε> καὶ ὁ <κ> τὸ ἐπιταχθὲν ποιήσου–
σιν. τὸ εʹ τῶν <ρ>· γίνονται πόδες <κ>. διὰ παντὸς λάμ–
βανε δυάδα τῶν <ε>· λοιπὸν μένουσι <γ>. τὰ οὖν <γ> καὶ
τὰ <κ> σύνθες· γίνονται πόδες <κγ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <φκθ>. καὶ τὰ <κ> ποίησον ἐπὶ τὰ <γ>· γίνονται
πόδες <ξ>· ταῦτα διὰ παντὸς ἐπὶ τὰ <η>· γίνονται πόδες
<υπ>. ἆρον ἀπὸ τῶν <φκθ>· λοιπὸν μένουσι πόδες <μθ>· ὧν
πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν <ζ>. λοιπὸν μένουσι
<ιϛ>. ὧν #0ʹ γίνεται <η>· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν <η>. θὲς
πάλιν τὰ <κγ> καὶ πρόσθες τὰ <ζ>· ὁμοῦ γίνονται πόδες
<λ>. ὧν #0ʹ γίνεται <ιε>· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν <ιε>. καὶ θὲς
τὰ <κ> καὶ ἆρον τὰ <γ>· λοιπὸν μένουσι πόδες <ιζ>· ἔστω
ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν <ιζ>. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <ξ>.
ὁμοῦ σύνθες τὰς <γ> πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται
πόδες <ρ>.
Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περι–
μέτρου ποδῶν <Ϟ>· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ τὸ
ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἐσκεψάμην, ὅτι ὁ <ε> καὶ ὁ <ιη>
ποιήσει τὸ ἐπιταχθέν, οὕτως· τὸ εʹ τῶν <Ϟ>· γίνονται
πόδες <ιη>. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν <ε>· μένουσι
<γ>· σύνθες τὰ <ιη> καὶ τὰ <γ>· γίνονται πόδες <κα>. ταῦτα
ἐπὶ τὰ <γ>· γίνονται πόδες <νδ>· ταῦτα πάντοτε ποίει ἐπὶ
τὰ <η>· γίνονται πόδες <υλβ>. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν <υμα>·
λοιπὸν <θ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν <γ>.
θὲς τὰ <κα> καὶ ἆρον τὰ <γ>· λοιπὸν <ιη>· ὧν #0ʹ γίνεται
πόδες <θ>· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν <θ>. καὶ θὲς πάλιν τὰ
<κα> καὶ πρόσθες τὰ <γ>· ὁμοῦ γίνονται πόδες <κδ>· ὧν #0ʹ
γίνεται <ιβ>· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν <ιβ>. καὶ θὲς πάλιν τὰ
<ιη> καὶ ἆρον τὰ <γ>· λοιπὸν <ιε>· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα πο–
δῶν <ιε>. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <νδ>. ὁμοῦ σύνθες τὰς <γ>
πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες <Ϟ>.
Ἐν τῷ δοθέντι τριγώνῳ εὑρεῖν τὸ ἐγγραφόμενον τε–
τράγωνον. ποιῶ οὕτως· ἐὰν ἔχῃ τὴν κάθετον ποδῶν
<κα> καὶ τὴν βάσιν ποδῶν <κη> καὶ τὴν ὑποτείνουσαν
ποδῶν <λε>, καὶ ἐγγεγράφθω τετράγωνον, εὑρεῖν αὐτοῦ
τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον
πολυπλασιάζω, τὰ <κα> ἐπὶ τὰ <κη>· γίνονται πόδες <φπη>·
καὶ σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· ὁμοῦ γίνονται πόδες
<μθ>. ἄρτι μερίζω τῶν <φπη> τὸ μθʹ· γίνονται πόδες <ιβ>·
ἔσται ἑκάστη πλευρὰ ποδῶν <ιβ>.
Ἔστω τετράγωνον καὶ ἐχέτω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν <ρ>·
τούτου τὰς πλευρὰς εὑρήσομεν. ποιῶ οὕτως· λαμβάνω
τῶν <ρ> πλευρὰν τετραγωνικὴν ποδῶν <ι>· ἔστω ἡ πλευρὰ
τοῦ τετραγώνου.
Ἔστω ἑτερόμηκες καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν <η>, τὸ
δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <μ>· τούτου πλευρὰν εὕρομεν. λαμ–
βάνω τῶν <μ> τὸ ηʹ· γίνονται πόδες <ε>· ἔσται τὸ πλευ–
ρὸν ποδῶν <ε>.
Ἔστω τετράγωνον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ
ποδῶν <δ>, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
διάμετρον. εὑρεθήσεται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου, ὅση
ἐστὶν ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου.
Ἔστω τετράγωνον καὶ ἐχέτω ἑκάστην
πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν <δ>, καὶ περιγεγρά–
φθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμε–
τρον. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὰ <δ>
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ιϛ>. ταῦτα δίς· γί–
νονται <λβ>. τούτων λαμβάνω πλευρὰν
τετραγωνικήν· γίνονται πόδες <ε> #0ʹ ιδʹ· τοσούτου ἔστω
ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
Ἔστω τετράγωνον ἑτερόμηκες καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος
ποδῶν <δ>, τὴν δὲ πλευρὰν ποδῶν <γ>, καὶ ἐγγεγράφθω
κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. καὶ εὑρεθήσεται
τοσούτου, ὅσου τοῦ ἑτερομήκους ἐστὶν ἡ πλευρά, πο–
δῶν <γ>.
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν <γ>,
ἡ δὲ βάσις ποδῶν <δ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν <ε>· τοῦ
ἐγγραφομένου τετραγώνου εἰπεῖν τὰς πλευράς. ποιῶ
οὕτως· τὴν πρὸς ὀρθὰς πολυπλασιάζω ἐπὶ τὴν βάσιν·
γίνονται πόδες <ιβ>· καὶ συντιθῶ τὰς πλευράς, τὰ <γ>
καὶ τὰ <δ>· γίνονται <ζ>· καὶ λαμβάνω τῶν <ιβ> τὸ ζʹ· γί–
νεται <α> #0ʹ ζʹ ιδʹ.
Τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ κάθετος ποδῶν <ιε>, ἡ δὲ
βάσις ποδῶν <κ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν <κε>, καὶ μετὰ
<β> πόδας ἄλλο τρίγωνον περιγεγράφθω· ζητῶ αὐτοῦ
τὰς πλευράς. ἔστι δὲ ἡ μὲν κάθετος αὐτοῦ ποδῶν
<κα> β̸, ἡ δὲ βάσις ποδῶν <κη> #0ʹ δʹ ηʹ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα
ποδῶν <λϛ> θʹ. προσλαμβάνουσιν αἱ ἔξω τὰς αὐτὰς
ψήφους καὶ γʹ θʹ αὐτῶν.
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἤχθω
κάθετος ἡ ΒΔ. ἡ μὲν ΑΔ ἐπὶ τὴν ΓΔ πολυπλασιαζο–
μένη ποιεῖ, ὅσον ἡ ΒΔ ἐφ´ ἑαυτήν, ἡ δὲ ΑΔ ἐπὶ τὴν
ΓΑ πολυπλασιαζομένη τοσοῦτον ποιεῖ, ὅσον ἡ ΑΒ ἐφ´
ἑαυτήν.
Τριγώνου ὀρθογωνίου
ἡ κάθετος ποδῶν <κα>, ἡ
δὲ τοῦ ἐγγραφομένου τε–
τραγώνου πλευρὰ ποδῶν
<ιβ>· εὑρεῖν τὰς πλευράς.
ποιῶ οὕτως· αἴρω ἀπὸ τῶν
<κα> τὰ <ιβ>· λοιπὸν μένουσι
πόδες <θ>. καὶ ποιῶ τὰ <κα> ἐπὶ τὰ <ιβ>· γίνονται πόδες <σνβ>.
ἄρτι μερίζω παρὰ τὰ <θ>· γίνονται πόδες <κη>· ἔστω ἡ
βάσις, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἔστω ποδῶν <λε>.
Τρίγωνον ἰσόπλευρον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν ποδῶν
<λ>, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τετράγωνον· εὑρεῖν αὐτοῦ
τὰς πλευρὰς οὕτως. ζητῶ τοῦ τριγώνου τὴν κάθετον·
γίνεται ποδῶν <κϛ>. μῖξον μετὰ τῶν <λ> ποδῶν τῆς πλευ–
ρᾶς· γίνονται πόδες <νϛ>. καὶ ποιῶ τὴν πλευρὰν ἐπὶ
τὴν κάθετον· γίνονται πόδες <ψπ>. ἄρτι μερίζω παρὰ
τὰ <νϛ>· γίνονται πόδες <ιγ> β̸ ζʹ ιδʹ καʹ· τοσούτων ἔσται
τοῦ τετραγώνου ἡ πλευρά.
Ὁμοίως ἐπὶ παντὸς τριγώνου ἔχοντος ἐγγραφόμενον
τετράγωνον ἰσχύει ἡ αὐτὴ μέθοδος· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν
κάθετον, καὶ μῖξον βάσιν καὶ κάθετον, καὶ μέρισον
τὸ ἐμβαδόν· καὶ ἕξεις τὰς πλευρὰς τοσούτου.
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ ἐχέτω τὴν κάθετον
ποδῶν <ϛ> καὶ τὴν βάσιν ποδῶν <η>, τὴν δὲ ὑποτείνουσαν
ποδῶν <ι>, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
διάμετρον. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὴν κάθετον καὶ τὴν
βάσιν· γίνονται πόδες <ιδ>. αἴρω ἀπὸ τούτων τὴν ὑπο–
τείνουσαν· λοιπὸν μένουσι πόδες <δ>· ἔστω ἡ διάμετρος
τοῦ κύκλου ποδῶν <δ>.
Ἄλλως δὲ πάλιν εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ ἐγγρα–
φομένου κύκλου. ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τρι–
γώνου ἐστὶ ποδῶν <κδ>· ταῦτα ποιῶ τετράκις· γίνονται
πόδες <Ϟϛ>. ἄρτι σύνθες τὰς <γ> πλευρὰς τοῦ τριγώνου·
ὁμοῦ γίνονται πόδες <κδ>. ἄρτι μερίζω τῶν <Ϟϛ> ποδῶν
τὸ κδʹ· γίνονται πόδες <δ>· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύ–
κλου ποδῶν <δ>.
Ἐὰν δὲ τρίγωνον ὀρθογώνιον ᾖ, καὶ ἐμπεριγεγράφθω
κύκλος, πόσου ἕξει τὴν διάμετρον; τοσούτου, ὅσου ἡ
ὑποτείνουσα τοῦ τριγώνου.
Τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὰ σκέλη ἀνὰ ποδῶν <ιε>
καὶ τὴν βάσιν ποδῶν <ιη>, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑ–
ρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδὸν
τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν <ρη>· ταῦτα ἐπὶ τὰ <δ>· γίνον–
ται πόδες <υλβ>. ἄρτι σύνθες τὰς <γ> πλευρὰς τοῦ τρι–
γώνου· γίνονται πόδες <μη>. ἄρτι μερίζω τὰ <υλβ> παρὰ
τὸν <μη>· γίνονται πόδες <θ>· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύ–
κλου ποδῶν <θ>.
Τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὰ σκέλη ἀνὰ ποδῶν <ιε>
καὶ τὴν βάσιν ποδῶν <ιη>, καὶ περιγεγράφθω κύκλος·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ πρῶτον
σκέλος ἐφ´ ἑαυτό, τουτέστι τὰ <ιε> ἐπὶ τὰ <ιε>· γίνονται
πόδες <σκε>. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου τοσ–
ούτου ἐστί, ποδῶν <ιβ>. ἄρτι μερίζω τὸ ιβʹ τῶν <σκε>·
γίνονται πόδες <ιη> #0ʹ δʹ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου
τοσούτου.
Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευ–
ρὰν ἀνὰ ποδῶν <λ>, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδόν ἐστι
ποδῶν <τϞ>. ταῦτα ἐπὶ τὰ <δ>· γίνονται πόδες <͵αφξ>. ἄρτι
σύνθες τὰς <γ> πλευράς· γίνονται πόδες <Ϟ>. ἄρτι μερίζω
τῶν <͵αφξ> τὸ Ϟʹ· γίνονται πόδες <ιζ> γʹ· τοσούτου ἡ διά–
μετρος τοῦ κύκλου.
Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευ–
ρὰν ἀνὰ ποδῶν <λ>, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὰ <λ> ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <ϡ>. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου
ἔσται ποδῶν <κϛ>. ἄρτι μερίζω τῶν <ϡ> τὸ κϛʹ· γίνονται
πόδες <λδ> #0ʹ ηʹ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου τοσούτων.
Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρότερον σκέ–
λος ποδῶν <ιγ> καὶ τὸ μεῖζον ποδῶν <ιε> καὶ ἡ βάσις πο–
δῶν <ιδ>, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
διάμετρον. ποιῶ οὕτως· φανερόν, ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
τριγώνου ἐστὶ ποδῶν <πδ>. ταῦτα ἐπὶ τὰ <δ>· γίνονται
πόδες <τλϛ>. ἄρτι σύνθες τὰς <γ> πλευρὰς τοῦ τριγώνου·
γίνονται πόδες <μβ>. νῦν μερίζω τῶν <τλϛ> τὸ μβʹ· γί–
νονται πόδες <η>· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου πο–
δῶν <η>.
Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρότερον σκέ–
λος ποδῶν <ιγ> καὶ τὸ μεῖζον ποδῶν <ιε> καὶ ἡ βάσις
ποδῶν <ιδ>, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ
μεῖζον, τὰ <ιγ> ἐπὶ τὰ <ιε>· γίνονται πόδες <ρϞε>. φανερόν,
ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν <ιβ>. ἄρτι με–
ρίζω τῶν <ρϞε> τὸ ιβʹ· γίνονται πόδες <ιϛ> δʹ· τοσούτων
ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον καὶ ἐχέτω τὴν μίαν
πλευρὰν ποδῶν <ι> καὶ τὴν βάσιν ποδῶν <θ> καὶ τὴν
ὑποτείνουσαν ποδῶν <ιζ>, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑ–
ρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· φανερόν, ὅτι
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν <λϛ>. ταῦτα ἐπὶ
τὰ <δ>· γίνονται πόδες <ρμδ>· καὶ σύνθες τὰς <γ> πλευρὰς
τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες <λϛ>. ἄρτι μερίζω τῶν <ρμδ>
τὸ λϛʹ· γίνονται πόδες <δ>· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐγγρα–
φομένου κύκλου ποδῶν <δ>.
Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον καὶ ἐχέτω τὸ μικρό–
τερον σκέλος ποδῶν <ι> καὶ τὴν βάσιν ποδῶν <θ> καὶ τὴν
ὑποτείνουσαν ποδῶν <ιζ>, καὶ περιγεγράφθω κύκλος·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ μικρό–
τερον σκέλος ἐπὶ τὸ μεῖζον, τὰ <ι> ἐπὶ τὰ <ιζ>· γίνονται
πόδες <ρο>. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου ἐστὶ
ποδῶν <η>. ἄρτι μερίζω τὸ ηʹ τῶν <ρο>· γίνονται πόδες
<κα> δʹ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν <κα> δʹ.
Τρίγωνον σκαληνόν, οὗ τὸ ἔλαττον σκέλος ποδῶν
<ιγ>, τὸ δὲ μεῖζον ποδῶν <ιε>, ἡ δὲ βάσις ποδῶν <ιδ>, καὶ
ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν <γ> πλευ–
ρῶν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποίει οὕτως· ζήτει
τοῦ σκαληνοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· καί ἐστιν, ὡς
ἐμάθομεν, ποδῶν <πδ>. ταῦτα καθολικῶς ποιῶ <δ>· γί–
νονται πόδες <τλϛ>. καὶ σύνθες τὴν περίμετρον τοῦ
τριγώνου· γίνονται πόδες <μβ>. ἄρτι μερίζω τὰ <τλϛ> παρὰ
τὸν <μβ>· γίνονται πόδες <η>· τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ
διάμετρος τοῦ κύκλου.
Ἔστω τρίγωνον σκαληνόν, οὗ τὸ ἔλαττον σκέλος
ποδῶν <ιγ> καὶ ἡ βάσις ποδῶν <ιδ>, ἡ δὲ ὑποτείνουσα
ποδῶν <ιε>, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν
διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ
μεῖζον, τὰ <ιγ> ἐπὶ τὰ <ιε>· γίνονται πόδες <ρϞε>. φανερόν,
ὅτι ἡ κάθετός ἐστιν τοῦ τριγώνου ποδῶν <ιβ>. ἄρτι
μερίζω τὸ ιβʹ τῶν <ρϞε>· γίνονται πόδες <ιϛ> δʹ· ἔστω ἡ
διάμετρος τοῦ κύκλου.
Δοθέντος κύκλου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν <ζ>, ζητεῖς
τὸ ἐξώτερον τετράγωνον τί φέρει. ποιῶ οὕτως· τὰ <ζ>
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες <μθ>. θέλεις εὑρεῖν καὶ τοῦ
ἐγγραφομένου κύκλου τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ <ζ>
ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται πόδες <μθ>· ὧν #0ʹ γίνεται πόδες
<κδ> #0ʹ. πρόσθες νῦν τῶν <μθ> δʹ καὶ τὸ κηʹ· γίνονται
πόδες <λη> #0ʹ· τοσούτου ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐγγραφο–
μένου κύκλου [ποδῶν <λη> #0ʹ] εἰς τὸ δοθέν μοι τετρά–
γωνον.
Ἄλλως δὲ πάλιν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ἀπὸ
τετραγώνου. ποιῶ οὕτως· τὰ <ζ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
<μθ>. ὕφειλον τῶν <μθ> τὸ ζʹ καὶ τὸ ιδʹ· γίνονται <ι> #0ʹ·
λοιπὸν μένει <λη> #0ʹ· τοσούτου ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
κύκλου. εἰ δὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ποδῶν <λη> #0ʹ,
θέλεις εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου, ποίει
οὕτως· τῶν <λη> #0ʹ τὸ δʹ καὶ τὸ μδʹ· γίνονται πόδες <ι> #0ʹ·
ταῦτα σύνθες μετὰ τῶν <λη> #0ʹ· γίνονται <μθ>· ἔστω τὸ ἐμ–
βαδὸν τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου ποδῶν <μθ>. εἰ δὲ θέλεις
εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου ἀπὸ τῶν <μθ>, ποιεῖς τὰ
<μθ>, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν <ζ>· ἔστω ἡ διά–
μετρος τοῦ κύκλου καὶ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου ποδῶν <ζ>.
Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν <κη> καὶ ἡ
περίμετρος ποδῶν <πη>, τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν <χιϛ> [τοῦ
κύκλου τὴν μέθοδον ἐν τοῖς δηλουμένοις]· ἐξ αὐτοῦ
θέλεις διελεῖν ὀκτάεδρον. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου
τὸ #0ʹ· γίνονται πόδες <ιδ>. καὶ τὰ <ιδ> πολυπλασιάζω ἐπὶ
τὰ <ια>· γίνονται πόδες <ρνδ>. τούτων τὸ #0ʹ· γίνονται πόδες
<οζ>. ταῦτα ὀκτάκις· γίνονται πόδες <χιϛ>· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
Μέθοδος, ἐὰν θέλῃς ἀπὸ ἐμβαδοῦ κύκλου εὑρεῖν
περίμετρον. ποίει οὕτως· ἐὰν ἔχῃ τὸ ἐμβαδὸν πόδας <ρνδ>,
ποιεῖς τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ τὰ <πη>· γίνονται πόδες <α><͵γφνβ>·
ὧν τὸ ζʹ· γίνονται πόδες <͵αϡλϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ
γίνεται ποδῶν <μδ>· ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν <μδ>.
Εἰ δὲ θέλεις μῖξαι τὴν διάμετρον καὶ τὴν περί–
μετρον καὶ θέλεις ἀποδιαστεῖλαι τὴν διάμετρον ἀπὸ
τῆς περιμέτρου, ποιεῖς οὕτως· ἐὰν ἔχωσι τὰ ἀμφότερα
πόδας <νη>, ποιεῖς πάντοτε τὰ <νη> ἐπὶ τὸν <ζ>· γίνονται
πόδες <υϛ>. ἄρτι μερίζω· ὧν κθʹ· γίνονται πόδες <ιδ>·
ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν <ιδ> καὶ ἡ περίμετρος ποδῶν
<μδ>. ὁμοῦ γίνονται πόδες <νη>· τοσούτων ἔστω ὁ κύκλος.
Εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς δια–
μέτρου, ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος πόδας <ιδ>, ποιεῖς πάντοτε
τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ <κβ>· γίνονται πόδες <τη>. ἄρτι
μερίζω· ὧν ζʹ· γίνονται πόδες <μδ>· ἔστω ἡ περίμετρος
ποδῶν <μδ>.
Ἄλλως δὲ πάλιν· ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος πόδας <ιδ>,
πάντοτε ποίει τὴν διάμετρον τριπλασίονα· γίνονται
<μβ>· καὶ τὸ ζʹ τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες <β>. ταῦτα
πρόσθες τοῖς <μβ>· ὁμοῦ γίνονται <μδ>· ἔστω ἡ περίμετρος
ποδῶν <μδ>.
Ἐὰν μίξω τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον καὶ
τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου καὶ μίξας εὕρω τὰς ἀμφοτέρας
φωνὰς ποδῶν ἀριθμὸν <σιβ>, ἀποδιαστήσομεν ἕκαστον
ἀριθμὸν ἀπ´ ἀλλήλων. ποιῶ οὕτως· τὰ <σιβ> πολυπλα–
σιάζω ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ καθολικῶς ἐπὶ τὰ <ρνδ>· γί–
νονται <γ><͵βχμη>. τούτοις καθολικῶς προστίθημι <ωμα>·
ὁμοῦ γίνονται <γ><͵γυπθ>. τούτων πάντοτε ποίει πλευρὰν
τετραγωνικήν· γίνονται πόδες <ρπγ>· καὶ ἀπὸ τούτων
ὕφειλον <κθ> καθολικῶς· λοιπὸν <ρνδ>· ὧν ιαʹ γίνεται
πόδες <ιδ>· τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ διάμετρος, ἡ δὲ
περίμετρος ποδῶν <μδ>. φανερὸν δέ, ὅτι τὸ ἐμβαδόν
ἐστι ποδῶν <ρνδ>. ὁμοῦ σύνθες τὰ πάντα· γίνονται πό–
δες <σιβ>.
Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἐπὶ τῶν <ζ> εὑρεῖν τὴν αὐτὴν
μέθοδον, ποίει οὕτως· μίξας τὴν διάμετρον καὶ τὴν
περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδὸν ὁμοῦ γίνονται πόδες <ξζ> #0ʹ·
ἀποδιαστήσομεν ἕκαστον ἀριθμὸν ἀπ´ ἀλλήλων. ποιῶ
οὕτως· τὰ <ξζ> #0ʹ πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ <ρνδ> καθολικῶς·
ὁμοῦ γίνονται πόδες <α><τϞε>. τούτοις πάντοτε προστιθῶ
<ωμα>· ὁμοῦ γίνονται πόδες <α><͵ασλϛ>. τούτων ποιεῖς πλευ–
ρὰν τετραγωνικήν· γίνονται πόδες <ρϛ>· ἀπὸ τούτων
ὕφειλον καθολικῶς <κθ>· λοιπὸν μένουσιν <οζ>· ὧν τὸ ιαʹ·
γίνονται πόδες <ζ>· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν <ζ>, ἡ δὲ
περίμετρος ποδῶν <κβ>· τὸ δὲ ἐμβαδὸν φανερόν ἐστιν
ὅτι ποδῶν <λη> #0ʹ. ὁμοῦ τὰ ἀμφότερα μίξας εὑρήσεις
πόδας <ξζ> #0ʹ.
Κύκλου ἡ διάμετρος ποδῶν <κε>. ἔτεμον βάσιν πο–
δῶν <κδ>· ζητῶ τὰς καθέτους. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν
<κε> τὸ #0ʹ· γίνονται <ιβ> #0ʹ· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται
πόδες <ρνϛ> δʹ. ὁμοίως καὶ τῆς βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται
πόδες <ιβ>· ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <ρμδ>. ταῦτα ὕφει–
λον ἀπὸ τῶν <ρνϛ> δʹ· λοιπὸν <ιβ> δʹ· ὧν πλευρὰ τετρα–
γωνικὴ γίνεται ποδῶν <γ> #0ʹ. θὲς τὰ <ιβ> #0ʹ καὶ τὰ <γ> #0ʹ·
γίνονται ὁμοῦ <ιϛ>· ἔσται ἡ μείζων κάθετος ποδῶν <ιϛ>.
καὶ ἀπὸ τῶν <ιβ> #0ʹ ἆρον τὰ <γ> #0ʹ· λοιπὸν <θ>· ἡ ἐλάττων
κάθετος ἔσται ποδῶν <θ>.
Κύκλου ἡ διάμετρος ποδῶν <κε>. ἔτεμον εὐθεῖαν
ποδῶν <ιϛ>· ζητῶ τὴν βάσιν. ποιῶ οὕτως· τὴν εὐθεῖαν
ἐφ´ ἑαυτήν· γίνονται πόδες <σνϛ>· καὶ τὰ <θ> τὰ ὑπολει–
πόμενα τῆς διαμέτρου ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <πα>· σύνθες
ὁμοῦ· γίνονται <τλζ>. καὶ τὰ <κε> τῆς διαμέτρου ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται <χκε>. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ <τλζ>· λοιπὸν <σπη>.
ταῦτα δίς· γίνονται <φοϛ>· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γί–
νεται ποδῶν <κδ>· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν <κδ>.
Ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν εὐθεῖαν ἐπὶ τὴν διάμετρον,
τουτέστι τὰ <ιϛ> ἐπὶ τὰ <κε>· γίνονται <υ>. ἀπὸ τούτων
ἆρον τὰ <ιϛ> ἐφ´ ἑαυτά· γίνονται <σνϛ>· λοιπὸν <ρμδ>. ταῦτα
τετράκις· γίνονται <φοϛ>· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται
ποδῶν <κδ>· ἡ [δὲ] βάσις ποδῶν <κδ>.
Τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν διάμετρος ἤτοι
βάσις ποδῶν <ιϛ> καὶ ἡ κάθετος ποδῶν <ιϛ>. ποίει τῆς
βάσεως τὸ #0ʹ· γίνονται πόδες <η>. ταῦτα ἐφ´ ἑαυτά·
γίνονται πόδες <ξδ>. ταῦτα μέρισον παρὰ τὴν κάθετον·
γίνονται <δ>· ἔστω ἡ λοιπὴ κάθετος τοῦ κύκλου τῆς
διαμέτρου τῶν <κ> ποδῶν <δ>. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παν–
τὸς κύκλου ποδῶν <τιδ> δʹ κηʹ. καὶ πάλιν μετροῦμεν
τμῆμα ἔλαττον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν <ιϛ>,
ἡ δὲ κάθετος ποδῶν <δ>· καί ἐστι ποδῶν <μδ> #0ʹ ιδʹ. λοι–
πὸν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος τμήματος ποδῶν <σξθ> #0ʹ κηʹ.

Κείμενα

Hellenica World - Scientific Library

Γεωμετρικά, Ήρων ο Αλεξανδρεύς

.