.
Η έκφραση χρονική αξία του χρήματος χρησιμοποιείται στα οικονομικά διότι η αξία μιας δεδομένης ποσότητας χρήματος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Για παράδειγμα, αν αγοράσουμε ένα ομόλογο διάρκειας ενός έτους σε ονομαστική αξία 100 ευρώ και επιτόκιο 4% τότε δεν έχουμε πλέον αυτά τα 100 ευρώ σήμερα αλλά θα έχουμε 104 ευρώ σε ένα χρόνο. Επομένως 100 ευρώ είναι η σημερινή προεξοφλημένη αξία των «104 ευρώ σε ένα χρόνο». Ομοίως, η παρούσα αξία ενός ποσού π.χ. 100 ευρώ σε ένα χρόνο θα είναι ίση με την αγοραστική αξία που θα έχει αυτό το ποσό σε ένα χρόνο, π.χ. για ετήσιο πληθωρισμό 4% θα είναι 100/1,04=96 ευρώ και 15 λεπτά.
Η έννοια της χρονικής αξίας του χρήματος είναι δηλαδή συνδεδεμένη με την έννοια του τόκου (ή του πληθωρισμού) και αυτού που οι οικονομολόγοι ονομάζουν κόστος ευκαιρίας του χρήματος.
Βασικές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη μελέτη και την επίλυση των προβλημάτων για τη χρονική αξία του χρήματος είναι το κεφάλαιο, ο χρόνος, ο τόκος και το επιτόκιο.
Κεφάλαιο (C) είναι κάθε οικονομικό αγαθό που μετράται σε χρηματικές μονάδες και χρησιμοποιείται για «παραγωγικούς» σκοπούς.
Χρόνος (t) λέγεται το χρονικό διάστημα της παραγωγικής χρησιμοποίησης του κεφαλαίου.
Τόκος (I) λέγεται η αύξηση του κεφαλαίου, κατά το χρονικό διάστημα της παραγωγικής του ικανότητας.
Επιτόκιο (i) είναι ο τόκος μιας νομισματικής μονάδας στη μονάδα του χρόνου.
Το άθροισμα C+I, που προκύπτει από την ενσωμάτωση του τόκου I στο κεφάλαιο C λέγεται τελική αξία ή μελλοντική αξία του κεφαλαίου και συμβολίζεται με FV (future value). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε λέγεται κεφαλαιοποίηση. Υπάρχουν δύο συστήματα κεφαλαιοποίησης σε ευρεία χρήση, ανάλογα με το πότε προκύπτει η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο :
Απλή κεφαλαιοποίηση ή απλός τόκος (simple interest) είναι εκείνο το σύστημα στο οποίο ο τόκος ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο στο τέλος του χρονικού διαστήματος που το κεφάλαιο έχει επενδυθεί.
Σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός (compound interest) ονομάζεται το σύστημα στο οποίο ο τόκος κεφαλαιοποιείται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου στην οποία υποδιαιρείται το χρονικό διάστημα επένδυσης.
Απλός τόκος
Οι βασικές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του απλού τόκου είναι το αρχικό κεφάλαιο, η παρούσα αξία, ο χρόνος και το επιτόκιο.
Αρχικό κεφάλαιο (principal) είναι το ποσό των χρημάτων που δανείζεται κάποιος κατά την σύναψη ενός δανείου.
Παρούσα αξία (present value) ονομάζεται το ποσό που λαμβάνει ο δανειζόμενος. Στον απλό τόκο το αρχικό κεφάλαιο είναι ίσο με την παρούσα αξία του δανείου.
Χρόνος (time or term) του δανείου είναι η περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ο δανειζόμενος έχει χρήση όλου ή μέρους του δανειζόμενου ποσού.
Επιτόκιο (rate or interest) είναι η τιμή ενός δανείου απλού τόκου και είναι σταθερό κλάσμα του κεφαλαίου το οποίο πρέπει να πληρωθεί για τη χρήση του δανείου (παρουσιάζεται συνήθως ως ένα ποσοστό ανά μονάδα χρόνου).
Ο απλός τόκος δίνεται από τη σχέση:
\( {\displaystyle I\ =\ P\cdot i\cdot t} \)
I = ο απλός τόκος
P = το αρχικό κεφάλαιο
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους, έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί ο προηγούμενος τύπος.
\( {\displaystyle I\ =\ P\cdot i\cdot ({\frac {m}{12}})} \)
I = ο απλός τόκος
P = το αρχικό κεφάλαιο
i = το επιτόκιο
m = ο αριθμός μηνών κατά τους οποίους είναι εκτοκισμένο το κεφάλαιο
Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία, συμβολίζεται με S και δίνεται από τη σχέση:
\( {\displaystyle S\ =\ P+I}
\( {\displaystyle S\ =\ P+(P\cdot i\cdot t)}
\( {\displaystyle S\ =\ P\cdot [1+(i\cdot t)]}} \)
S = η τελική αξία
I = ο απλός τόκος
P = το αρχικό κεφάλαιο
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Ανατοκισμός
Τελική αξία
Τελική αξία ή μελλοντική αξία ( terminal value or future value ) είναι η αξία που θα έχει στο μέλλον ένα χρηματικό ποσό το οποίο θα επενδύεται σήμερα. Η τελική αξία δίνεται από τον τύπο:
\( {\displaystyle FV\ =\ C\cdot (1+i)^{t}}} \)
FV = η τελική αξία
C = το κεφάλαιο
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Ο συντελεστής \( {\displaystyle (1+i)^{t}} } \) ονομάζεται συντελεστής ανατοκισμού ( compound factor ).
Παρούσα αξία
Παρούσα αξία ( present value ) είναι η αξία που έχει σήμερα ένα συγκεκριμένο ποσό που θα δοθεί σε μία ορισμένη ημερομηνία στο μέλλον. Η παρούσα αξία μπορεί να καθοριστεί και ως το αρχικό κεφάλαιο το οποίο θα έχει τελική αξία ένα συγκεκριμένο ποσό σε μια ορισμένη μελλοντική ημερομηνία.
Η παρούσα αξία μιας μελλοντικής χρηματοροής C υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο:
\( {\displaystyle PV\ =\ {\frac {C}{(1+i)^{t}}}}} \)
PV = η παρούσα αξία
C = το κεφάλαιο
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Ο συντελεστής \( {\displaystyle (1+i)^{t}}} \) ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής σε παρούσα αξία ( discount factor ).
Ράντες
Μία ακολουθία χρηματικών ποσών ( εισροών ή εκροών ) που λήγουν ( εισπράττονται ή πληρώνονται ) σε ισαπέχουσες μεταξύ τους χρονικές στιγμές ονομάζεται ράντα ή σειρά πληρωμών. Κάθε χρηματικό ποσό λέγεται όρος της ράντας.
Οι ράντες διακρίνονται σε σταθερές, όταν οι όροι τους είναι ίσοι μεταξύ τους, και σε μη σταθερές, όταν οι όροι τους δεν είναι ίσοι (π.χ. οι όροι αυξάνουν κατά ένα σταθερό ποσό ή με ένα σταθερό ρυθμό).
Διακρίνονται, επίσης, σε πρόσκαιρες, όταν αρχίζουν και τελειώνουν μέσα σε συγκεκριμένο χρόνο, και σε διηνεκείς, όταν το πλήθος των όρων τους τείνει στο άπειρο. Τέλος, διακρίνουμε και τις ράντες ζωής ή τις τυχαίες ράντες, στις οποίες το πλήθος των όρων τους εξαρτάται από τη διάρκεια ζωής ενός ανθρώπου ή μίας μονάδας ανθρώπου.
Εάν οι όροι της ράντας λήγουν στο τέλος κάθε χρονικού διαστήματος ( περιόδου ), η ράντα λέγεται ληξιπρόθεσμη. Εάν οι όροι λήγουν στην αρχή κάθε περιόδου, η ράντα λέγεται προκαταβλητέα.
Όπως είναι προφανές, ο αριθμός κατηγοριών ραντών είναι μεγάλος διότι μία ράντα μπορεί να έχει οποιοδήποτε συνδυασμό των ανωτέρω χαρακτηριστικών. Ιδιαίτερα χρήσιμη για σκοπούς ανάλυσης των ραντών, είναι η περίπτωση που ο όρος μιας σταθερής ράντας είναι ένα ευρώ, οπότε η ράντα λέγεται μοναδιαία.
Το βασικό πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε με μία ράντα είναι ο υπολογισμός της αξίας της σε κάποιο συγκεκριμένο χρόνο. Συνήθως, υπολογίζουμε την παρούσα αξία της ράντας, δηλαδή την αξία της στον χρόνο της έναρξης, και την τελική αξία της ράντας, δηλαδή την αξία της στον χρόνο της λήξης. Στην αντιμετώπιση ορισμένων προβλημάτων είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε επίσης την αξία μιας ράντας σε κάποιο χρόνο που είναι είτε προγενέστερος είτε μεταγενέστερος του χρόνου έναρξής της.
Άμεσες, σταθερές, πρόσκαιρες και ληξιπρόθεσμες ράντες (ordinary annuity)
Η κατηγορία αυτή ραντών αποτελεί την πλέον συνήθη περίπτωση ραντών που χρησιμοποιείται στα οικονομικά μαθηματικά και την αξιολόγηση επενδύσεων.
Παρούσα αξία
Η παρούσα αξία μίας μοναδιαίας, άμεσης, σταθερής, πρόσκαιρης και ληξιπρόθεσμης ράντας διάρκειας t περιόδους και επιτόκιο i σταθερό για τη διάρκεια ζωής της ράντας δίνεται από τον τύπο:
\( {\displaystyle A_{ti}\ =\ {\frac {1-(1+i)^{-t}}{i}}}} \)
A = η αξία μιας μοναδιαίας ράντας
t = ο χρόνος
i = το επιτόκιο
Η παρούσα αξία, PV, ράντας, αυτών των χαρακτηριστικών, με όρο P ευρώ ανά περίοδο ισούται με:
\( {\displaystyle PV\ =\ P\cdot A_{it}}} \)
PV = η παρούσα αξία
P = o όρος της ράντας
Τελική αξία
Η τελική αξία, S t i {\displaystyle S_{ti}}, μια μοναδιαίας, άμεσης, σταθερής, πρόσκαιρης και ληξιπρόθεσμης ράντας, διάρκειας t περιόδους και επιτόκιο i σταθερό για τη διάρκεια ζωής της ράντας δίνεται από τον τύπο:
\( {\displaystyle S_{ti}\ =\ {\frac {(1+i)^{t}-1}{i}}}} \)
S = η αξία μοναδιαίας ράντας
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Αντίστοιχα η τελική αξία, FV, ράντας, αυτών των χαρακτηριστικών και με όρο P ευρώ ανά περίοδο ισούται με:
\( {\displaystyle FV\ =\ P\cdot S_{ti}}} \)
FV = η τελική αξία
P = o όρος της ράντας
Άμεσες, σταθερές, πρόσκαιρες και προκαταβλητές ράντες (annuity due)
Η περίπτωση αυτή των ραντών αφορά περιπτώσεις που ο όρος της ράντας καταβάλλεται στην αρχή μιας περιόδου.
Παρούσα αξία
Αποδεικνύεται εύκολα ότι η παρούσα αξία, μιας μοναδιαίας, άμεσης, σταθερής, πρόσκαιρης και προκταβλητέας ράντας, διάρκειας t περιόδους και επιτόκιο i σταθερό για τη διάρκεια ζωής της ράντας ισούται με την προεξοφλημένη αξία της αντίστοιχης ληξιπρόθεσμης ράντας. Η παρούσα αξία της προκαταβλητέας ράντας λοιπόν, δίνεται από τον τύπο:
\( {\displaystyle A_{ti}^{\prime }\ =\ (1+i)\cdot {\frac {1-(1+i)^{-t}}{i}}}} \)
\( {\displaystyle A_{ti}^{\prime }\ =\ (1+i)\cdot A_{ti}}} \)
\( {\displaystyle A_{ti}^{\prime }}} \) = η αξία της ράντας
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Προφανώς η παρούσα αξία, PV, ράντας αυτών των χαρακτηριστικών και με όρο P ευρώ ανά περίοδο ισούται με:
\( {\displaystyle PV\ =\ P\cdot A_{ti}^{\prime }}} \)
PV = η παρούσα αξία
P = o όρος της ράντας
Τελική αξία
Η τελική αξία μιας μοναδιαίας, άμεσης, σταθερής, πρόσκαιρης και προκαταβλητέας ράντας, διάρκειας t περιόδους και επιτόκιο i σταθερό για τη διάρκεια ζωής της ράντας κατ' αντιστοιχία με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, δίνεται από τον τύπο:
\( {\displaystyle S_{ti}^{\prime }\ =\ (1+i)\cdot {\frac {(1+i)^{t}-1}{i}}}} \)
\( {\displaystyle S_{ti}^{\prime }} } \) = η αξία της ράντας
i = το επιτόκιο
t = ο χρόνος
Αντίστοιχα, η τελική αξία, FV, ράντας αυτών των χαρακτηριστικών και με όρο P ευρώ ανά περίοδο ισούται με:
\( {\displaystyle FV\ =\ P\cdot S_{ti}^{\prime }}} \)
FV = η τελική αξία
P = o όρος της ράντας
Παραδείγματα
Παράδειγμα 1: Απλός τόκος
Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:
\( {\displaystyle I\ =\ P\cdot i\cdot ({\frac {m}{12}})}
Ο τόκος θα ανέρχεται σε : \( {\displaystyle I\ =\ 100.000\cdot 0,12\cdot ({\frac {8}{12}})\ =\ 8.000} } \) ευρώ.
Παράδειγμα 2: Ανατοκισμός - Τελική αξία
Ο κ.Σταύρου αγόρασε μία τηλεόραση και θα την εξοφλήσει σε 4 τριμηνιαίες δόσεις των 45 ευρώ έκαστη. Η πρώτη δόση καταβάλλεται με την αγορά της τηλεόρασης. Αν το επιτόκιο είναι 3% το τρίμηνο, ποια είναι η τελική αξία των δόσεων που θα πληρώσει ο κ.Σταύρου;
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:
\( {\displaystyle FV\ =\ C\cdot (1+i)^{t}}} \)
Η τελική αξία των δόσεων δίνεται από την εξίσωση:
\( {\displaystyle FV\ =\ 45\cdot (1+3\%)^{3}+45\cdot (1+3\%)^{2}+45\cdot (1+3\%)^{1}+45\cdot (1+3\%)^{0}=45\cdot 1,0927+45\cdot 1,0609+45\cdot 1,03+45=188,26} } \) ευρώ
Ο εκθέτης στην παραπάνω εξίσωση αναφέρεται στο χρόνο που μένει μέχρι τη λήξη της υποχρέωσης. Δεδομένου ότι οι δόσεις πληρώνονται συνήθως στο τέλος του τριμήνου, είναι προφανές ότι μετά την πρώτη δόση μένουν τρία τρίμηνα μέχρι τη λήξη, μετά τη δεύτερη δύο και μετά την τελευταία μηδέν.
Παράδειγμα 3: Ανατοκισμός - Παρούσα αξία
Ο κ.Λάμπρου υποσχέθηκε στο παιδί του ότι τα επόμενα χρόνια θα του δωρίσει 1.000, 1.500 και 2.000 ευρώ το πρώτο, το δεύτερο και το τρίτο έτος αντίστοιχα. Το ποσό θα καταβάλλεται στο τέλος κάθε έτους. Αν το επιτόκιο ανέρχεται σε 4% ετησίως, ποια είναι η παρούσα αξία του δώρου;
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:
\( {\displaystyle PV\ =\ {\frac {C}{(1+i)^{t}}}}} \)
Η παρούσα αξία των πληρωμών του κ.Λάμπρου προς το παιδί του δίνεται από την εξίσωση:
\( {\displaystyle PV\ =\ {\frac {1.000}{1+4\%}}+{\frac {1.500}{(1+4\%)^{2}}}+{\frac {2.000}{(1+4\%)^{3}}}=4.126,37} } \) ευρώ
Όπως φαίνεται και από το παραπάνω παράδειγμα, η παρούσα αξία μιας σειράς χρηματικών ροών είναι πάντοτε μικρότερη του αθροίσματος τους.
Παράδειγμα 4: Ράντες - Παρούσα αξία
Ποια είναι η παρούσα αξία 10 δόσεων των 90 ευρώ έκαστη που πληρώνονται στο τέλος κάθε χρονιάς όταν το επιτόκιο είναι 8%;
Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους:
\( {\displaystyle A_{ti}\ =\ {\frac {1-(1+i)^{-t}}{i}}} και P V = P ⋅ A i t {\displaystyle PV\ =\ P\cdot A_{it}}} \)
Η αξία της αντίστοιχης μοναδιαίας ράντας είναι:
\( {\displaystyle {\frac {1-(1+8\%)^{-10}}{8\%}}=6,7101}} \)
άρα η παρούσα αξία των δόσεων αυτών ανέρχεται σε:
\( {\displaystyle 90\cdot 6,7101=603,91} } \) ευρώ
Παράδειγμα 5: Ράντες - Τελική αξία
Ποια είναι η τελική αξία 20 δόσεων των 80 ευρώ έκαστη που πληρώνονται στο τέλος κάθε χρονιάς όταν το επιτόκιο είναι 7%;
Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους:
\( {\displaystyle S_{ti}\ =\ {\frac {(1+i)^{t}-1}{i}}} και F V = P ⋅ S t i {\displaystyle FV\ =\ P\cdot S_{ti}}} \)
Η αξία της αντίστοιχης μοναδιαίας ράντας είναι:
\( {\displaystyle {\frac {(1+7\%)^{2}0-1}{7\%}}=40,9955}} \)
άρα η τελική αξία των δόσεων αυτών ανέρχεται σε:
\( {\displaystyle 80\cdot 40,9955=3.279,64}ευρώ
Συνεχής ανατοκισμός (continuous compounding)
Τα επιτόκια, μερικές φορές, μετατρέπονται στο επιτόκιο συνεχούς ανατοκισμού επειδή ο συνεχής ανατοκισμός είναι καταλληλότερος (π.χ. ευκολότερα διαφοροποιημένος). Κάθε ένας από τους παραπάνω τύπους μπορεί να επαναδιατυπωθεί στο συνεχή ανατοκισμό. Για παράδειγμα, η παρούσα αξία στη στιγμή 0 μιας μελλοντικής πληρωμής, την περίοδο t μπορεί να επαναδιατυπωθεί με τον ακόλουθο τρόπο, όπου e είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου και το r το συνεχές επιτόκιο:
\( {\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}} \)
Αυτό μπορεί να γενικευτεί στα προεξοφλητικά επιτόκια που ποικίλλουν με την πάροδο του χρόνου: αντί ενός σταθερού προεξοφλητικού επιτοκίου r, κάποιος χρησιμοποιεί μία μεταβλητή του χρόνου r ( t ) . {\displaystyle r(t).}. Σ' αυτή την περίπτωση ο συντελεστής προεξόφλησης, και έτσι και η παρούσα αξία, μιας ταμειακής ροής στην περίοδο Τ δίνεται από το ολοκλήρωμα του συνεχούς επιτοκίου r ( t ) : {\displaystyle r(t):}
\( {\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}} \)
Ένας βασικός λόγος που χρησιμοποιούμε το συνεχή ανατοκισμό είναι για να απλοποιήσουμε την ανάλυση των ποικίλων επιτοκίων προεξόφλησης.
Παραδείγματα
Ράντα (annuity)
\( {\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}} \)
Διηνεκής ράντα (perpetuity)
\( {\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}} \)
Αυξανόμενη ετήσια ράντα (growing annuity)
P\( {\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}} \)
Αυξανόμενη ετήσια διηνεκής ράντα (growing perpetuity)
\( {\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{(r-g)}-1}}} \)
Ράντα με συνεχείς πληρωμές (annuity with continuous payments)
\( {\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}} \)
Πηγές
Απόστολος Α. Μπάλλας, Δημοσθένης Λ. Χέβας - Χρηματοοικονομική Λογιστική Εκδόσεις Γ.Μπένου
Δημήτριος Βασιλείου, Νικόλαος Ηρειώτης - Χρηματοοικονομική Διοίκηση Εκδόσεις Rosili
